Relaciones binarias | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad . |
Una relación simétrica es un tipo de relación binaria . Un ejemplo es la relación "es igual a", porque si a = b es verdadero, entonces b = a también es cierto. Formalmente, una relación binaria R sobre un conjunto X es simétrica si:
Si R T representa la inversa de R , entonces R es simétrica si y sólo si R = R T .
La simetría, junto con la reflexividad y la transitividad , son las tres propiedades definitorias de una relación de equivalencia .
Ejemplos de
En matemáticas
- "es igual a" ( igualdad ) (mientras que "es menor que" no es simétrico)
- "es comparable a", para elementos de un conjunto parcialmente ordenado
- "... y ... son raros":
Fuera de las matemáticas
- "está casado con" (en la mayoría de los sistemas legales)
- "es un hermano completamente biológico de"
- "es un homófono de"
- "es colaborador de"
- "es compañero de equipo de"
Relación con relaciones asimétricas y antisimétricas
Por definición, una relación no vacía no puede ser simétrica y asimétrica (donde si a está relacionada con b , entonces b no puede estar relacionada con a (de la misma manera)). Sin embargo, una relación no puede ser ni simétrica ni asimétrica, que es el caso de "es menor o igual que" y "se alimenta de").
Simétrico y antisimétrico (donde la única forma en que a puede relacionarse con b y b puede relacionarse con a es si a = b ) son realmente independientes entre sí, como muestran estos ejemplos.
Simétrico | No simétrico | |
Antisimétrico | igualdad | "es menor o igual que" |
No antisimétrico | congruencia en aritmética modular | "es divisible por", sobre el conjunto de números enteros |
Simétrico | No simétrico | |
Antisimétrico | "es la misma persona que y está casado" | "es el plural de" |
No antisimétrico | "es un hermano biológico completo de" | "se aprovecha de" |
Propiedades
- Una relación simétrica y transitiva es siempre cuasireflexiva .
- Una relación simétrica, transitiva y reflexiva se llama relación de equivalencia .
- Una forma de conceptualizar una relación simétrica en la teoría de grafos es que una relación simétrica es una arista, siendo los dos vértices de la arista las dos entidades así relacionadas. Por tanto, las relaciones simétricas y los gráficos no dirigidos son objetos combinatoriamente equivalentes.