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Simetría (izquierda) y asimetría (derecha)
Un grupo de simetría esférica con simetría octaédrica . La región amarilla muestra el dominio fundamental .
Una forma similar a un fractal que tiene simetría de reflexión , simetría rotacional y auto-semejanza , tres formas de simetría. Esta forma se obtiene mediante una regla de subdivisión finita .

La simetría (del griego συμμετρία symmetria "acuerdo en dimensiones, debida proporción, disposición") [1] en el lenguaje cotidiano se refiere a una sensación de armonía y hermosa proporción y equilibrio. [2] [3] [a] En matemáticas, "simetría" tiene una definición más precisa y generalmente se usa para referirse a un objeto que es invariante bajo algunas transformaciones ; incluyendo traslación , reflexión , rotación o escalado . [4] Aunque estos dos significados de "simetría" a veces se pueden distinguir, están intrincadamente relacionados y, por lo tanto, se analizan juntos en este artículo.

Se puede observar simetría matemática con respecto al paso del tiempo ; como relación espacial ; a través de transformaciones geométricas ; a través de otro tipo de transformaciones funcionales; y como un aspecto de los objetos abstractos , incluidos los modelos teóricos , el lenguaje y la música . [5] [b]

Este artículo describe la simetría desde tres perspectivas: en matemáticas , incluida la geometría , el tipo de simetría más familiar para muchas personas; en ciencia y naturaleza ; y en las artes, abarcando arquitectura , arte y música .

Lo opuesto a la simetría es la asimetría , que se refiere a la ausencia o violación de la simetría.

En matemáticas [ editar ]

En geometría [ editar ]

El triskelion tiene una simetría rotacional triple.

Una forma u objeto geométrico es simétrico si se puede dividir en dos o más piezas idénticas que están dispuestas de forma organizada. [6] Esto significa que un objeto es simétrico si hay una transformación que mueve piezas individuales del objeto, pero no cambia la forma general. El tipo de simetría viene determinado por la forma en que se organizan las piezas, o por el tipo de transformación:

  • Un objeto tiene simetría de reflexión ( simetría lineal o especular) si hay una línea (o en 3D un plano) que lo atraviesa y lo divide en dos piezas que son imágenes especulares entre sí. [7]
  • Un objeto tiene simetría rotacional si se puede rotar alrededor de un punto fijo (o en 3D alrededor de una línea) sin cambiar la forma general. [8]
  • Un objeto tiene simetría de traslación si se puede trasladar (moviendo cada punto del objeto a la misma distancia) sin cambiar su forma general. [9]
  • Un objeto tiene simetría helicoidal si se puede trasladar y rotar simultáneamente en un espacio tridimensional a lo largo de una línea conocida como eje de tornillo . [10]
  • Un objeto tiene simetría de escala si no cambia de forma cuando se expande o contrae. [11] Los fractales también exhiben una forma de simetría de escala, donde porciones más pequeñas del fractal son similares en forma a porciones más grandes. [12]
  • Otras simetrías incluyen la simetría de reflexión por deslizamiento (una reflexión seguida de una traslación) y la simetría de rotorreflexión (una combinación de una rotación y una reflexión [13] ).

En lógica [ editar ]

Una relación diádica R = S × S es simétrica si para cada elemento a , b en S , siempre que sea cierto que Rab , también es cierto que Rba . [14] Por tanto, la relación "tiene la misma edad que" es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.

En lógica proposicional, las conectivas lógicas binarias simétricas incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que la conectiva si (→) no es simétrica. [15] Otras conectivas lógicas simétricas incluyen nand (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y ni (no-o, o ⊽).

Otras áreas de las matemáticas [ editar ]

Generalizando a partir de la simetría geométrica en la sección anterior, se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada , si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto. [16] El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo .

En general, todo tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo , grupos simétricos en álgebra abstracta , matrices simétricas en álgebra lineal , [4] y grupos de Galois en la teoría de Galois . En estadística , la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría , la asimetría de distribuciones. [17]

En ciencia y naturaleza [ editar ]

En física [ editar ]

La simetría en física se ha generalizado para significar invariancia , es decir, falta de cambio, bajo cualquier tipo de transformación, por ejemplo, transformaciones de coordenadas arbitrarias . [18] Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica , ya que se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza se originan en simetrías. De hecho, este papel inspiró al premio Nobel PW Anderson a escribir en su artículo More is Different, ampliamente leído de 1972, que "es sólo una ligera exageración decir que la física es el estudio de la simetría". [19] Ver el teorema de Noether(que, en una forma muy simplificada, establece que para cada simetría matemática continua, hay una cantidad conservada correspondiente, como energía o momento; una corriente conservada, en el idioma original de Noether); [20] y también, la clasificación de Wigner , que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza. [21]

Las simetrías importantes en física incluyen simetrías continuas y simetrías discretas del espacio-tiempo ; simetrías internas de partículas; y supersimetría de las teorías físicas.

En biología [ editar ]

Muchos animales son aproximadamente simétricos en espejo, aunque los órganos internos a menudo están dispuestos asimétricamente.
El ' Hombre de Vitruvio ' de Leonardo da Vinci (ca. 1487) se utiliza a menudo como representación de la simetría en el cuerpo humano y, por extensión, en el universo natural.

En biología, la noción de simetría se usa principalmente de manera explícita para describir las formas corporales. Los animales bilaterales , incluidos los humanos, son más o menos simétricos con respecto al plano sagital que divide el cuerpo en mitades izquierda y derecha. [22] Los animales que se mueven en una dirección necesariamente tienen lados superior e inferior, extremos de cabeza y cola y, por lo tanto, un lado izquierdo y otro derecho. La cabeza se especializa con la boca y los órganos de los sentidos, y el cuerpo se vuelve bilateralmente simétrico para el movimiento, con pares simétricos de músculos y elementos esqueléticos, aunque los órganos internos a menudo permanecen asimétricos. [23]

Las plantas y los animales sésiles (adheridos) como las anémonas de mar suelen tener simetría radial o rotacional , lo que les conviene porque la comida o las amenazas pueden llegar desde cualquier dirección. Simetría quíntuple se encuentra en los equinodermos , el grupo que incluye estrellas de mar , erizos de mar , y lirios de mar . [24]

En biología, la noción de simetría también se utiliza como en física, es decir para describir las propiedades de los objetos estudiados, incluidas sus interacciones. Una propiedad notable de la evolución biológica son los cambios de simetría correspondientes a la aparición de nuevas partes y dinámicas. [25] [26]

En química [ editar ]

La simetría es importante para la química porque sustenta esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la capacidad de los científicos para ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos . Una comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en química cuántica y en las áreas aplicadas de espectroscopia y cristalografía.. La teoría y la aplicación de la simetría a estas áreas de la ciencia física se basa en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos . [27]

En psicología y neurociencia [ editar ]

Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más sobresalientes que otros, en particular el más sobresaliente es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro "El análisis de las sensaciones" (1897), [28] y esto implica que la percepción de simetría no es una respuesta general a todo tipo de regularidades. Tanto los estudios conductuales como los neurofisiológicos han confirmado la especial sensibilidad a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales. [29] Los primeros estudios dentro de la tradición Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva . Esto se conoce como la ley de la simetría.. El papel de la simetría en la agrupación y la organización figura / suelo ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría de reflexión es más rápida cuando se trata de una propiedad de un solo objeto. [30] Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de simetría es rápida, eficiente y robusta a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con presentaciones entre 100 y 150 milisegundos. [31]

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones del cerebro están activas durante la percepción de la simetría. Sasaki y col. [32] utilizó imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas de patrones con puntos simétricos o aleatorios. Hubo una fuerte actividad en las regiones extraestriadas de la corteza occipital, pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluyeron V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas. [33] En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrado en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de detectar y reconocer objetos. [34]

En interacciones sociales [ editar ]

Las personas observan la naturaleza simétrica, que a menudo incluye el equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estos incluyen evaluaciones de reciprocidad , empatía , simpatía , disculpa , diálogo , respeto, justicia y venganza . El equilibrio reflexivo es el equilibrio que puede lograrse mediante el ajuste deliberativo mutuo entre principios generales y juicios específicos . [35] Las interacciones simétricas envían la moralmensaje "todos somos iguales", mientras que las interacciones asimétricas pueden enviar el mensaje "Soy especial, mejor que tú". Las relaciones entre pares, como las que pueden regirse por la regla de oro , se basan en la simetría, mientras que las relaciones de poder se basan en la asimetría. [36] Las relaciones simétricas se pueden mantener hasta cierto punto mediante estrategias simples ( teoría de juegos ) que se ven en juegos simétricos como el ojo por ojo . [37]

En las artes [ editar ]

El techo de la mezquita de Lotfollah , Isfahan , Irán tiene 8 simetrías.

Existe una lista de revistas y boletines que se sabe que tratan, al menos en parte, con la simetría y las artes. [38]

En arquitectura [ editar ]

Arcadas simétricas de un pórtico en la Gran Mezquita de Kairouan también llamada Mezquita de Uqba, en Túnez .
Visto de lado, el Taj Mahal tiene simetría bilateral; desde arriba (en planta), tiene una simetría cuádruple.

La simetría encuentra su camino en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca , pasando por el diseño de los planos de planta individuales y hasta el diseño de elementos de construcción individuales como mosaicos de baldosas . Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita de Lotfollah hacen un elaborado uso de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación. [39] [40] Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos hechos usando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones. [41]

Se ha dicho que sólo los malos arquitectos se basan en una "disposición simétrica de bloques, masas y estructuras"; [42] La arquitectura modernista , comenzando con el estilo internacional , se basa en cambio en "alas y equilibrio de masas". [42]

En vasijas de cerámica y metal [ editar ]

Las vasijas de barro arrojadas sobre un torno de alfarería adquieren simetría rotacional.

Desde los primeros usos de las ruedas de alfarería para ayudar a dar forma a vasijas de arcilla, la alfarería ha tenido una fuerte relación con la simetría. La cerámica creada mediante una rueda adquiere una simetría rotacional completa en su sección transversal, al tiempo que permite una libertad sustancial de forma en la dirección vertical. Sobre este punto de partida inherentemente simétrico, los alfareros desde la antigüedad en adelante han agregado patrones que modifican la simetría rotacional para lograr objetivos visuales.

Los recipientes de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente de la cerámica hecha con ruedas, pero por lo demás brindaban una oportunidad similar para decorar sus superficies con patrones agradables para quienes los usaban. Los antiguos chinos , por ejemplo, usaban patrones simétricos en sus fundiciones de bronce ya en el siglo XVII a. C. Los vasos de bronce exhibieron un motivo principal bilateral y un diseño de borde traducido repetitivo. [43]

En alfombras y tapetes [ editar ]

Alfombra persa con simetría rectangular

Una larga tradición del uso de la simetría en alfombras y patrones de alfombras abarca una variedad de culturas. Los indios navajos estadounidenses usaban diagonales en negrita y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo , es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical (véase Geometría de cuatro grupos de Klein ). [44] [45]

En música [ editar ]

root of A minor triadthird of A minor triadfifth of A minor triadfifth of A minor triadroot of C major triadroot of C major triadthird of C major triadfifth of C major triadfifth of E minor triadfifth of E minor triadroot of E minor triadthird of E minor triadthird of G major triadfifth of G major triadroot of G major triadroot of G major triadfifth of D minor triadfifth of D minor triadroot of D minor triadthird of D minor triadthird of F major triadfifth of F major triadroot of F major triadroot of F major triad
Las tríadas mayores y menores en las teclas blancas del piano son simétricas a la D. (comparar artículo) (archivo)

La simetría no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música toca muchos aspectos de la creación y percepción de la música.

Forma musical [ editar ]

La simetría ha sido utilizada como una restricción formal por muchos compositores, como la forma de arco (oleaje) (ABCBA) utilizada por Steve Reich , Béla Bartók y James Tenney . En la música clásica, Bach utilizó los conceptos de simetría de permutación e invariancia. [46]

Estructuras de tono [ editar ]

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes , ya que la música tradicional o tonal está formada por grupos de tonos no simétricos , como la escala diatónica o el acorde mayor . Se dice que las escalas o acordes simétricos , como la escala de tono completo , el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida ( séptima disminuida-disminuida), carecen de dirección o sentido de movimiento hacia adelante, son ambiguas en cuanto a la tonalidad o el centro tonal, y tienen una funcionalidad diatónica menos específica. Sin embargo, compositores como Alban Berg , Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y / o ciclos de intervalo de forma análoga a las claves o centros tonales no tonales . [47] George Perle explica "C – E, D – F♯, [y] Eb – G, son instancias diferentes del mismo intervalo ... el otro tipo de identidad ... tiene que ver con ejes de simetría. C – E pertenece a una familia de díadas simétricamente relacionadas de la siguiente manera: " [47]

Por lo tanto, además de ser parte de la familia del intervalo 4, C – E también es parte de la familia de la suma 4 (con C igual a 0). [47]

Los ciclos de intervalo son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete tonos de C5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala diatónica mayor. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad. [47] [48]

La primera composición extendida basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue probablemente el Cuarteto de Alban Berg , op. 3 (1910). [48]

Equivalencia [ editar ]

Las filas de tonos o los conjuntos de clases de tono que son invariantes bajo retrógrado son horizontalmente simétricos, bajo inversión verticalmente. Consulte también Ritmo asimétrico .

En edredones [ editar ]

Bloque de edredón caleidoscopio de cocina

Como los edredones están hechos de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña generalmente consiste en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría. [49]

En otras artes y oficios [ editar ]

Nudos celtas que muestran simetría p4

Aparecen simetrías en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios , muebles , pinturas de arena , nudos , máscaras e instrumentos musicales . Las simetrías son fundamentales para el arte de MC Escher y las muchas aplicaciones de la teselación en formas de arte y artesanía como papel tapiz , azulejos de cerámica como en la decoración geométrica islámica , batik , ikat , fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados . [50]

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. [51] Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentúe partes del logotipo para que se destaque.

En estética [ editar ]

La relación de la simetría con la estética es compleja. Los humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractivos; [52] indica salud y aptitud genética. [53] [54] En oposición a esto, está la tendencia a que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan algo de simetría, pero con la complejidad suficiente para hacerlas interesantes. [55]

En literatura [ editar ]

La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura , un ejemplo simple es el palíndromo donde un texto breve lee lo mismo hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como en el patrón de subida: bajada de Beowulf . [56]

Ver también [ editar ]

  • Automorfismo
  • Lema de Burnside
  • Quiralidad
  • Funciones pares e impares
  • Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano : centro de simetría
  • Isotropía
  • Palíndromo
  • Simetrías del espacio-tiempo
  • Ruptura espontánea de la simetría
  • Restricciones que rompen la simetría
  • Relación simétrica
  • Simetrías de poliamantes
  • Simetrías de poliominós
  • Grupo de simetría
  • Grupo de papel tapiz

Notas [ editar ]

  1. Por ejemplo, Aristóteles atribuyó una forma esférica a los cuerpos celestes, atribuyendo esta medida geométrica de simetría formalmente definida al orden natural y la perfección del cosmos.
  2. ^ Los objetos simétricos pueden ser materiales, como una persona, cristal , colcha , baldosas o moléculas , o pueden ser unaestructura abstracta como una ecuación matemática o una serie de tonos ( música ).

Referencias [ editar ]

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  51. ^ "Cómo diseñar un logotipo perfecto con cuadrícula y simetría" .
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  55. ^ Arnheim, Rudolf (1969). Pensamiento visual . Prensa de la Universidad de California.
  56. ^ Jenny Lea Bowman (2009). "Estética simétrica de Beowulf" . Universidad de Tennessee, Knoxville.

Lectura adicional [ editar ]

  • La ecuación que no se pudo resolver: cómo el genio matemático descubrió el lenguaje de la simetría , Mario Livio , Souvenir Press 2006, ISBN 0-285-63743-6 

Enlaces externos [ editar ]

  • Simetría (definición) en la Encyclopædia Britannica
  • Simetría (física) en la Encyclopædia Britannica
  • Simetría (biología) en la Encyclopædia Britannica
  • Holandés: simetría alrededor de un punto en el plano
  • Chapman: estética de la simetría
  • Simetría ISIS
  • Symmetry , BBC Radio 4 discusión con Fay Dowker, Marcus du Sautoy e Ian Stewart ( In Our Time , 19 de abril de 2007)