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La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura ) es el estudio de la geometría sin el uso de coordenadas o fórmulas . Se basa en el método axiomático y las herramientas directamente relacionadas con ellos, es decir, el compás y la regla , para sacar conclusiones y resolver problemas.

Sólo después de la introducción de los métodos de coordenadas hubo una razón para introducir el término "geometría sintética" para distinguir este enfoque de la geometría de otros enfoques. Otros enfoques de la geometría están incorporados en geometrías analíticas y algebraicas , donde se usarían técnicas de análisis y algebraicas para obtener resultados geométricos.

Según Felix Klein

La geometría sintética es la que estudia las figuras como tales, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica utiliza sistemáticamente fórmulas que pueden escribirse después de la adopción de un sistema de coordenadas apropiado. [1]

La geometría presentada por Euclides en los Elementos es el ejemplo por excelencia del uso del método sintético. Fue el método preferido de Isaac Newton para la solución de problemas geométricos. [2]

Los métodos sintéticos fueron más prominentes durante el siglo XIX cuando los geómetras rechazaron los métodos de coordenadas al establecer los cimientos de la geometría proyectiva y las geometrías no euclidianas . Por ejemplo, el geómetra Jakob Steiner (1796-1863) odió la geometría analítica y siempre dio preferencia a los métodos sintéticos. [3]

Síntesis lógica [ editar ]

El proceso de síntesis lógica comienza con algún punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivas y axiomas sobre estas primitivas:

  • Los primitivos son las ideas más básicas. Por lo general, incluyen tanto objetos como relaciones. En geometría, los objetos son cosas como puntos , líneas y planos , mientras que una relación fundamental es la de incidencia , de un objeto que se encuentra o se une a otro. Los términos en sí mismos no están definidos. Hilbert comentó una vez que en lugar de puntos, líneas y planos, también se podría hablar de mesas, sillas y jarras de cerveza, [4] el punto es que los términos primitivos son solo marcadores de posición vacíosy no tienen propiedades intrínsecas.
  • Los axiomas son declaraciones sobre estos primitivos; por ejemplo, dos puntos cualesquiera inciden juntos con una sola línea (es decir, que para dos puntos cualesquiera, solo hay una línea que pasa por ambos). Se asume que los axiomas son verdaderos y no se prueban. Son los componentes básicos de los conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades que tienen las primitivas.

A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis procede como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando se demuestra rigurosamente un resultado significativo, se convierte en un teorema .

Propiedades de los conjuntos de axiomas [ editar ]

No existe un conjunto de axiomas fijo para la geometría, ya que se puede elegir más de un conjunto coherente . Cada uno de estos conjuntos puede dar lugar a una geometría diferente, mientras que también hay ejemplos de conjuntos diferentes que dan la misma geometría. Con esta plétora de posibilidades, ya no es apropiado hablar de "geometría" en singular.

Históricamente, el postulado paralelo de Euclides ha resultado ser independiente de los otros axiomas. Descartarlo simplemente da geometría absoluta , mientras que negarlo produce geometría hiperbólica . Otros conjuntos de axiomas consistentes pueden producir otras geometrías, como geometría proyectiva , elíptica , esférica o afín .

Los axiomas de continuidad e "intermediación" también son opcionales, por ejemplo, se pueden crear geometrías discretas descartándolas o modificándolas.

Siguiendo el programa de Erlangen de Klein , la naturaleza de cualquier geometría dada puede verse como la conexión entre la simetría y el contenido de las proposiciones, más que como el estilo de desarrollo.

Historia [ editar ]

El tratamiento original de Euclides permaneció indiscutido durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas por Gauss , Bolyai , Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar los supuestos subyacentes de Euclides. [5]

Uno de los primeros analistas franceses resumió la geometría sintética de esta manera:

Los Elementos de Euclides se tratan mediante el método sintético. Este autor, después de haber planteado los axiomas y formado los requisitos, estableció las proposiciones que prueba sucesivamente apoyándose en lo anterior, procediendo siempre de lo simple a lo compuesto , que es el carácter esencial de la síntesis. [6]

Se puede considerar que el apogeo de la geometría sintética fue el siglo XIX, cuando los métodos analíticos basados ​​en coordenadas y cálculo fueron ignorados por algunos geómetras como Jakob Steiner , en favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva . Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo a partir de axiomas de incidencia es en realidad una teoría más amplia (con más modelos ) que la que se encuentra al comenzar con un espacio vectorial de dimensión tres. La geometría proyectiva tiene de hecho la expresión sintética más simple y elegante de cualquier geometría. [ cita requerida ]

En su programa de Erlangen , Felix Klein minimizó la tensión entre los métodos sintéticos y analíticos:

Sobre la antítesis entre el método sintético y el analítico en la geometría moderna:
La distinción entre síntesis moderna y geometría analítica moderna ya no debe considerarse esencial, en la medida en que tanto el tema como los métodos de razonamiento han ido tomando gradualmente una forma similar en ambos. Elegimos por tanto en el texto como denominación común de ambos el término geometría proyectiva. Aunque el método sintético tiene más que ver con la percepción del espacio y, por lo tanto, imparte un encanto raro a sus primeros desarrollos simples, el ámbito de la percepción del espacio no está cerrado al método analítico, y las fórmulas de la geometría analítica pueden considerarse como una declaración precisa y clara de relaciones geométricas. Por otro lado, la ventaja para la investigación original de un análisis bien formulado no debe subestimarse, una ventaja debido a que se mueve, por así decirlo, antes que el pensamiento.Pero siempre se debe insistir en que un tema matemático no debe considerarse agotado hasta que se haya vuelto intuitivamente evidente, y el progreso logrado con la ayuda del análisis es solo un primer paso, aunque muy importante.[7]

El estrecho estudio axiomático de la geometría euclidiana llevó a la construcción del cuadrilátero de Lambert y del cuadrilátero de Saccheri . Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana donde se niega el axioma paralelo de Euclides. Gauss , Bolyai y Lobachevski construyeron independientemente la geometría hiperbólica , donde las líneas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se volvió ampliamente accesible a través del modelo de disco de Poincaré , donde los movimientos vienen dados por transformaciones de Möbius . Similar,Riemann , un estudiante de Gauss, construyó la geometría riemanniana , de la cual la geometría elíptica es un caso particular.

Otro ejemplo concierne a la geometría inversa, tal como adelantó Ludwig Immanuel Magnus , que puede considerarse sintética en espíritu. La operación de reciprocidad estrechamente relacionada expresa el análisis del plano.

Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, eran de hecho consecuencias de la incidencia de líneas en configuraciones geométricas . David Hilbert demostró [8] que la configuración de Desargues desempeñaba un papel especial. Ruth Moufang y sus alumnos realizaron más trabajos . Los conceptos han sido uno de los motivadores de la geometría de incidencia .

Cuando las líneas paralelas se toman como primarias, la síntesis produce una geometría afín . Aunque la geometría euclidiana es tanto una geometría afín como una métrica , en general, a los espacios afines les puede faltar una métrica. La flexibilidad adicional así otorgada hace que la geometría afín sea apropiada para el estudio del espacio-tiempo , como se analiza en la historia de la geometría afín .

En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley emitieron una nota nostálgica por la geometría sintética:

Aunque de mala gana, los geómetras deben admitir que la belleza de la geometría sintética ha perdido su atractivo para la nueva generación. Las razones son claras: no hace mucho tiempo, la geometría sintética era el único campo en el que el razonamiento procedía estrictamente de axiomas, mientras que esta apelación, tan fundamental para muchas personas interesadas en las matemáticas, ahora la realizan muchos otros campos. [9]

Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal , topología y teoría de grafos donde el tema se desarrolla a partir de los primeros principios y las proposiciones se deducen mediante pruebas elementales .

El estudiante de hoy de la geometría tiene axiomas que no sean de Euclides: vea axiomas de Hilbert y axiomas de Tarski .

Ernst Kötter publicó un informe (alemán) en 1901 sobre "El desarrollo de la geometría sintética de Monge a Staudt (1847)" ; [10]

Pruebas que utilizan geometría sintética [ editar ]

Las demostraciones sintéticas de teoremas geométricos hacen uso de construcciones auxiliares (como líneas auxiliares ) y conceptos como igualdad de lados o ángulos y semejanza y congruencia de triángulos. Ejemplos de tales pruebas se pueden encontrar en los artículos de la mariposa teorema , la bisectriz del ángulo teorema , el teorema de Apolonio , teorema de bandera británica , el teorema de Ceva , Igualdad incircles teorema , geométrica teorema , la fórmula de Herón , isósceles teorema triángulo , ley de los cosenos , y otros que están vinculados a aquí.

Geometría sintética computacional [ editar ]

Junto con la geometría computacional , se ha fundado una geometría sintética computacional que tiene una estrecha conexión, por ejemplo, con la teoría matroide . La geometría diferencial sintética es una aplicación de la teoría topos a los fundamentos de la teoría de la variedad diferenciable .

Ver también [ editar ]

  • Fundamentos de la geometría
  • Geometría de incidencia
  • Geometría diferencial sintética

Notas [ editar ]

  1. Klein , 1948 , pág. 55
  2. ^ Boyer 2004 , p. 148
  3. ^ "Steiner (solo para imprimir)" . History.mcs.st-and.ac.uk . Consultado el 20 de septiembre de 2012 .
  4. ^ Greenberg 1974 , p. 59
  5. ^ Mlodinow 2001, Parte III La historia de Gauss
  6. ^ SF Lacroix (1816) Essais sur L'Enseignement en Général, et sur celui des Mathématiques en Particulier , página 207, Libraire pur les Mathématiques.
  7. ^ Felix Klein (1872) Traductor de Ralf Stephan (2006) "Una revisión comparativa de las investigaciones en geometría"
  8. ^ David Hilbert , 1980 (1899). The Foundations of Geometry , 2da edición, §22 Teorema de Desargues, Chicago: Open Court
  9. ^ Herbert Busemann y Paul J. Kelly (1953) Geometría proyectiva y métricas proyectivas , Prefacio, página v, Academic Press
  10. ^ Ernst Kötter (1901). Die Entwickelung der Synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847) .(Reimpresión de 2012 como ISBN 1275932649 ) 

Referencias [ editar ]

  • Boyer, Carl B. (2004) [1956], Historia de la geometría analítica , Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas / Desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Halsted, GB (1896) Geometría sintética elemental a través de Internet Archive
  • Halsted, George Bruce (1906) Geometría proyectiva sintética , vía Internet Archive .
  • Hilbert & Cohn-Vossen, Geometría e imaginación .
  • Klein, Felix (1948), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado / geometría , Nueva York: Dover
  • Mlodinow, Leonard (2001), Euclid's Window / The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace , Nueva York: The Free Press, ISBN 0-684-86523-8