- Para un tratamiento más general, pero mucho más técnico, de los vectores tangentes, consulte el espacio tangente .
En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R n . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el puntoes una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en.
Motivación
Antes de pasar a una definición general del vector tangente, discutimos su uso en cálculo y sus propiedades tensoriales .
Cálculo
Dejar ser una curva suave paramétrica . El vector tangente está dado por, donde hemos utilizado un primo en lugar del punto habitual para indicar la diferenciación con respecto al parámetro t . [1] El vector unitario tangente está dado por
Ejemplo
Dada la curva
en , el vector unitario tangente en es dado por
Contravarianza
Si se da paramétricamente en el sistema de coordenadas n- dimensionales x i (aquí hemos utilizado superíndices como índice en lugar del subíndice habitual) por o
luego el campo vectorial tangente es dado por
Bajo un cambio de coordenadas
el vector tangente en el sistema de coordenadas u i está dado por
donde hemos utilizado la convención de suma de Einstein . Por lo tanto, un vector tangente de una curva suave se transformará como un tensor contravariante de orden uno bajo un cambio de coordenadas. [2]
Definición
Dejar ser una función diferenciable y dejar ser un vector en . Definimos la derivada direccional en el dirección en un punto por
El vector tangente en el punto entonces puede definirse [3] como
Propiedades
Dejar ser funciones diferenciables, dejemos ser vectores tangentes en a , y deja . Luego
Vector tangente en colectores
Dejar ser una variedad diferenciable y dejar ser el álgebra de funciones diferenciables de valor real en . Entonces el vector tangente a en un punto en la variedad viene dada por la derivación que será lineal, es decir, para cualquier y tenemos
Tenga en cuenta que la derivación tendrá, por definición, la propiedad de Leibniz
Ver también
Referencias
Bibliografía
- Gray, Alfred (1993), Geometría diferencial moderna de curvas y superficies , Boca Raton: CRC Press.
- Stewart, James (2001), Cálculo: conceptos y contextos , Australia: Thomson / Brooks / Cole.
- Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , Nueva York: McGraw-Hill.