En cálculo , el teorema de Taylor da una aproximación de una función diferenciable k veces alrededor de un punto dado por un polinomio de grado k , llamado polinomio de Taylor de k -ésimo orden . Para una función suave , el polinomio de Taylor es el truncamiento en el orden k de la serie de Taylor de la función. El polinomio de Taylor de primer orden es la aproximación lineal de la función, y el polinomio de Taylor de segundo orden a menudo se denomina aproximación cuadrática . [1] Hay varias versiones del teorema de Taylor, algunas de las cuales ofrecen estimaciones explícitas del error de aproximación de la función por su polinomio de Taylor.
El teorema de Taylor lleva el nombre del matemático Brook Taylor , quien declaró una versión de ella en 1715, [2] aunque una versión anterior del resultado ya fue mencionado en 1671 por James Gregory . [3]
El teorema de Taylor se enseña en cursos de cálculo de nivel introductorio y es una de las herramientas elementales centrales en el análisis matemático . Proporciona fórmulas aritméticas simples para calcular con precisión los valores de muchas funciones trascendentales , como la función exponencial y las funciones trigonométricas . Es el punto de partida del estudio de las funciones analíticas , y es fundamental en diversas áreas de las matemáticas, así como en el análisis numérico y la física matemática . El teorema de Taylor también se generaliza a funciones multivariadas y con valores vectoriales .
Motivación
Si una función f ( x ) de valor real es diferenciable en el punto x = a , entonces tiene una aproximación lineal cerca de este punto. Esto significa que existe una función h 1 ( x ) tal que
Aquí
es la aproximación lineal de f ( x ) para x cerca del punto a , cuya gráfica y = P 1 ( x ) es la recta tangente a la gráfica y = f ( x ) en x = a . El error en la aproximación es:
Como x tiende a a, este error llega a cero mucho más rápido que, haciendo una aproximación útil.
Para una mejor aproximación de f ( x ), podemos ajustar un polinomio cuadrático en lugar de una función lineal:
En lugar de simplemente emparejar una derivada de f ( x ) en x = a , este polinomio tiene la misma primera y segunda derivadas, como es evidente en la diferenciación.
El teorema de Taylor asegura que la aproximación cuadrática es, en una vecindad suficientemente pequeña de x = a , más precisa que la aproximación lineal. Específicamente,
Aquí el error en la aproximación es
que, dado el comportamiento limitante de , va a cero más rápido que como x tiende a a .
De manera similar, podríamos obtener aún mejores aproximaciones de f si usamos polinomios de mayor grado, ya que entonces podemos hacer coincidir aún más derivadas con f en el punto base seleccionado.
En general, el error al aproximar una función por un polinomio de grado k llegará a cero mucho más rápido quecomo x tiende a a . Sin embargo, hay funciones, incluso infinitamente diferenciables, para las que aumentar el grado del polinomio de aproximación no aumenta la precisión de la aproximación: decimos que tal función no es analítica en x = a : no está determinada (localmente) por sus derivados en este punto.
El teorema de Taylor es de naturaleza asintótica: solo nos dice que el error R k en una aproximación por un polinomio de Taylor de k -ésimo orden P k tiende a cero más rápido que cualquier polinomio de k -ésimo grado distinto de cero cuando x → a . No nos dice qué tan grande es el error en cualquier vecindad concreta del centro de expansión, pero para este propósito existen fórmulas explícitas para el término restante (que se dan a continuación) que son válidas bajo algunos supuestos de regularidad adicionales en f . Estas versiones mejoradas del teorema de Taylor generalmente conducen a estimaciones uniformes para el error de aproximación en una pequeña vecindad del centro de expansión, pero las estimaciones no son necesariamente válidas para vecindades que son demasiado grandes, incluso si la función f es analítica . En esa situación, uno puede tener que seleccionar varios polinomios de Taylor con diferentes centros de expansión para tener aproximaciones de Taylor confiables de la función original (ver animación a la derecha).
Hay varias formas en que podemos usar el término restante:
- Estime el error para un polinomio P k ( x ) de grado k estimando f ( x ) en un intervalo dado ( a - r , a + r ). (Dados el intervalo y el grado, encontramos el error).
- Encuentre el grado más pequeño k para el cual el polinomio P k ( x ) se aproxima a f ( x ) dentro de una tolerancia de error dada en un intervalo dado ( a - r , a + r ). (Dado el intervalo y la tolerancia al error, encontramos el grado).
- Encuentre el intervalo más grande ( a - r , a + r ) en el que P k ( x ) se aproxima a f ( x ) dentro de una tolerancia de error dada. (Dado el grado y la tolerancia al error, encontramos el intervalo).
Teorema de Taylor en una variable real
Declaración del teorema
El enunciado preciso de la versión más básica del teorema de Taylor es el siguiente:
El teorema de Taylor [4] [5] [6] - Vamos k ≥ 1 sea un número entero y dejar que la función f : R → R sea k veces diferenciable en el punto de un ∈ R . Entonces existe una función h k : R → R tal que
y
Esto se llama la forma Peano del resto .
El polinomio que aparece en el teorema de Taylor es el polinomio de Taylor de orden k -ésimo
de la función f en el punto a . El polinomio de Taylor es el único polinomio de "mejor ajuste asintótico" en el sentido de que si existe una función h k : R → R y un polinomio p de k -ésimo orden tal que
entonces p = P k . El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término restante
que es el error de aproximación al aproximar f con su polinomio de Taylor. Usando la notación pequeña-o , el enunciado del teorema de Taylor se lee como
Fórmulas explícitas para el resto
Bajo supuestos de regularidad más fuertes en f, existen varias fórmulas precisas para el término restante R k del polinomio de Taylor, siendo las más comunes las siguientes.
Formas de valor medio del resto - Let f : R → R sea k + 1 veces diferenciable en el intervalo abierto con f ( k ) continuas en el intervalo cerrado entre una y x . [7] Entonces
para algún número real de ξ L entre una y x . Esta es la forma de Lagrange [8] del resto.
Similar,
por algún número real ξ C entre una y x . Esta es la forma de Cauchy [9] del resto.
Estos refinamientos del teorema de Taylor generalmente se prueban usando el teorema del valor medio , de ahí el nombre. También se pueden encontrar otras expresiones similares. Por ejemplo, si G ( t ) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con un no-desaparición derivado en el intervalo abierto entre una y x entonces,
para algún número ξ entre una y x . Esta versión cubre las formas de Lagrange y Cauchy del resto como casos especiales, y se demuestra a continuación utilizando el teorema del valor medio de Cauchy .
El enunciado para la forma integral del resto es más avanzado que los anteriores y requiere la comprensión de la teoría de integración de Lebesgue para la generalidad completa. Sin embargo, también se cumple en el sentido de la integral de Riemann siempre que la derivada ( k + 1) ésima de f sea continua en el intervalo cerrado [ a , x ].
Forma integral del resto [10] - Let f ( k ) sea absolutamente continua en el intervalo cerrado entre una y x . Luego
Debido a la continuidad absoluta de f ( k ) en el intervalo cerrado entre una y x , su derivada f ( k 1) existe como una L 1 -Función, y el resultado puede ser probada mediante un cálculo formal, usando el teorema fundamental del cálculo y integración por partes .
Estimaciones para el resto
A menudo es útil en la práctica poder estimar el término restante que aparece en la aproximación de Taylor, en lugar de tener una fórmula exacta para ello. Suponga que f es ( k + 1) veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a . Suponga que existen constantes reales q y Q tales que
a lo largo de I . Entonces el término restante satisface la desigualdad [11]
si x > a , y una estimación similar si x < a . Esta es una simple consecuencia de la forma de Lagrange del resto. En particular, si
en un intervalo I = ( a - r , a + r ) con algunos , luego
para todo x ∈ ( a - r , a + r ). La segunda desigualdad se llama estimación uniforme , porque se mantiene uniformemente para todo x en el intervalo ( a - r , a + r ).
Ejemplo
Suponga que deseamos encontrar el valor aproximado de la función f ( x ) = e x en el intervalo [−1,1] mientras nos aseguramos de que el error en la aproximación no sea mayor que 10 −5 . En este ejemplo, pretendemos que solo conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial:
( ⁎ )
De estas propiedades se deduce que f ( k ) ( x ) = e x para todo k , y en particular, f ( k ) (0) = 1 . Por lo tanto, el polinomio de Taylor de k -ésimo orden de f en 0 y su término restante en la forma de Lagrange están dados por
donde ξ es un número entre 0 y x . Dado que e x aumenta en ( ⁎ ), simplemente podemos usar e x ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para estimar el resto en el subintervalo [−1, 0]. Para obtener un límite superior para el resto en [0,1], usamos la propiedad e ξ < e x para 0 < ξ < x para estimar
utilizando la expansión de Taylor de segundo orden. Luego resolvemos para e x para deducir que
simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador . Combinando estas estimaciones para e x vemos que
por lo que la precisión requerida se alcanza ciertamente, cuando
(Ver factorial o calcular a mano los valores 9! =362 880 y 10! =3 628 800 ). Como conclusión, cables teorema de Taylor a la aproximación
Por ejemplo, esta aproximación proporciona una expresión decimal e ≈ 2.71828, corrige hasta cinco lugares decimales.
Relación con la analiticidad
Expansiones de Taylor de funciones analíticas reales
Sea I ⊂ R un intervalo abierto . Por definición, una función f : I → R es analítica real si está definida localmente por una serie de potencias convergentes . Esto significa que para cada a ∈ I existe algo r > 0 y una secuencia de coeficientes c k ∈ R tal que ( a - r , a + r ) ⊂ I y
En general, el radio de convergencia de una serie de potencias se puede calcular a partir de la fórmula de Cauchy-Hadamard
Este resultado se basa en la comparación con una serie geométrica , y el mismo método muestra que si la serie de potencias basada en a converge para algún b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado [ a - r b , a + r b ] , donde r b = | b - a |. Aquí solo se considera la convergencia de la serie de potencias, y bien podría ser que ( a - R , a + R ) se extienda más allá del dominio I de f .
Los polinomios de Taylor de la función analítica real f en a son simplemente los truncamientos finitos
de su serie de potencia que define localmente, y los términos restantes correspondientes están dados localmente por las funciones analíticas
Aquí las funciones
también son analíticas, ya que sus series de potencias definitorias tienen el mismo radio de convergencia que la serie original. Suponiendo que [ a - r , a + r ] ⊂ I y r < R , todas estas series convergen uniformemente en ( a - r , a + r ) . Naturalmente, en el caso de funciones analíticas se puede estimar el término restante R k ( x ) por la cola de la secuencia de las derivadas f ′ ( a ) en el centro de la expansión, pero usando análisis complejo también surge otra posibilidad, que se describe a continuación .
Teorema de Taylor y convergencia de series de Taylor
La serie de Taylor de f convergerá en algún intervalo en el que todas sus derivadas estén limitadas y no crezcan demasiado rápido cuando k llegue al infinito. (Sin embargo, incluso si la serie de Taylor converge, es posible que no converja af , como se explica a continuación; entonces se dice que f no es analítica ).
Uno podría pensar en la serie de Taylor
de una función infinitamente diferenciable f : R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en a . Ahora bien, las estimaciones para el resto implican que si, para cualquier r , se sabe que las derivadas de f están acotadas ( a - r , a + r ), entonces para cualquier orden k y para cualquier r > 0 existe una constante M k, r > 0 tal que
( ⁎⁎ )
para cada x ∈ ( a - r , a + r ). A veces, las constantes M k, r se pueden elegir de tal manera que M k, r esté acotado arriba, para r fijo y todo k . Entonces la serie de Taylor de f converge uniformemente a alguna función analítica
(También se obtiene convergencia incluso si M k, r no está acotado por encima siempre que crezca lo suficientemente lento).
La función límite T f es siempre analítica por definición, pero no es necesariamente igual a la función original f , incluso si f es infinitamente diferenciable. En este caso, decimos que f es una función suave no analítica , por ejemplo, una función plana :
Usando la regla de la cadena repetidamente por inducción matemática , se muestra que para cualquier orden k ,
para algún polinomio p k de grado 2 ( k - 1). La funcióntiende a cero más rápido que cualquier polinomio cuando x → 0 , por lo que f es infinitamente diferenciable y f ( k ) (0) = 0 para cada entero positivo k . Todos los resultados anteriores son válidos en este caso:
- La serie de Taylor de f converge uniformemente a la función cero T f ( x ) = 0, que es analítica con todos los coeficientes iguales a cero.
- La función f no es igual a esta serie de Taylor y, por lo tanto, no es analítica.
- Para cualquier orden k ∈ N y radio r > 0 existe M k, r > 0 que satisface el límite del resto ( ⁎⁎ ) anterior.
Sin embargo, a medida que k aumenta para r fijo , el valor de M k, r crece más rápidamente que r k , y el error no llega a cero .
Teorema de Taylor en análisis complejo
El teorema de Taylor se generaliza a las funciones f : C → C que son complejas diferenciables en un subconjunto abierto U ⊂ C del plano complejo . Sin embargo, su utilidad se ve eclipsada por otros teoremas generales en el análisis complejo . Es decir, se pueden deducir versiones más sólidas de resultados relacionados para funciones diferenciables complejas f : U → C utilizando la fórmula integral de Cauchy de la siguiente manera.
Deje r > 0 tal que el disco de cierre B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) está contenida en U . Entonces la fórmula integral de Cauchy con una parametrización positiva γ ( t ) = z + re it del círculo S ( z , r ) con t ∈ [0, 2 π ] da
Aquí todos los integrandos son continuos en el círculo S ( z , r ), lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral. En particular, si f es una vez diferenciable complejo en el conjunto abierto U , entonces es realmente un número infinito de veces complejo diferenciable en U . También se obtienen las estimaciones de Cauchy [12]
para cualquier z ∈ U y r > 0 tal que B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Estas estimaciones implican que la compleja serie de Taylor
de f converge uniformemente en cualquier disco abierto B ( c , r ) ⊂ U con S ( c , r ) ⊂ U en alguna función T f . Además, usando las fórmulas integrales de contorno para las derivadas f ( k ) ( c ),
por lo que cualquier función diferenciable compleja f en un conjunto abierto U ⊂ C es de hecho analítica compleja . Todo lo que se dice para funciones analíticas reales aquí vale también para funciones analíticas complejas con el intervalo abierto I sustituye por un subconjunto abierto U ∈ C y unos intervalos -centrados ( un - r , un + r ) sustituido por c -centrados discos B ( c , r ). En particular, la expansión de Taylor se mantiene en la forma
donde el término restante R k es analítico complejo. Los métodos de análisis complejo proporcionan algunos resultados poderosos con respecto a las expansiones de Taylor. Por ejemplo, usando la fórmula integral de Cauchy para cualquier curva de Jordan orientada positivamente γ que parametriza el límite ∂ W ⊂ U de una región W ⊂ U , se obtienen expresiones para las derivadas f ( j ) ( c ) como arriba, y modificando ligeramente el cálculo para T f ( z ) = f ( z ) , se llega a la fórmula exacta
La característica importante aquí es que la calidad de la aproximación por un polinomio de Taylor en la región W ⊂ U está dominado por los valores de la función f en sí en la frontera ∂ W ⊂ T . De manera similar, aplicando las estimaciones de Cauchy a la expresión de la serie para el resto, se obtienen las estimaciones uniformes
Ejemplo
La función
es analítica real , es decir, determinada localmente por su serie de Taylor. Esta función se trazó anteriormente para ilustrar el hecho de que algunos polinomios de Taylor no pueden aproximarse a algunas funciones elementales en vecindarios del centro de expansión que son demasiado grandes. Este tipo de comportamiento se comprende fácilmente en el marco de un análisis complejo. Es decir, la función f se extiende a una función meromórfica
en el plano complejo compacto. Tiene polos simples en z = i y z = - i , y es analítico en otros lugares. Ahora su serie de Taylor centrada en z 0 converge en cualquier disco B ( z 0 , r ) con r <| z - z 0 |, donde los mismos serie converge Taylor en z ∈ C . Por lo tanto, la serie de Taylor de f centrada en 0 converge en B (0, 1) y no converge para ningún z ∈ C con | z | > 1 debido a los polos en i y - i . Por la misma razón, la serie de Taylor de f centrada en 1 converge en B (1, √2) y no converge para ninguna z ∈ C con | z - 1 | > √2.
Generalizaciones del teorema de Taylor
Diferenciabilidad de orden superior
Una función f : R n → R es derivable en a ∈ R n si y solo si existe una función lineal L : R n → R y una función h : R n → R tal que
Si este es el caso, entonces L = df ( a ) es el diferencial (definido unívocamente) de f en el punto a . Además, entonces las derivadas parciales de f existen en a y la diferencial de f en a está dada por
Introducir la notación de índices múltiples
para α ∈ N n y x ∈ R n . Si todas las derivadas parciales de k -ésimo orden de f : R n → R son continuas en a ∈ R n , entonces, según el teorema de Clairaut , se puede cambiar el orden de las derivadas mixtas en a , por lo que la notación
para las derivadas parciales de orden superior se justifica en esta situación. Lo mismo es cierto si todas las derivadas parciales de ( k - 1) -ésimo orden de f existen en alguna vecindad de a y son diferenciables en a . [13] Entonces decimos que f es k veces diferenciable en el punto a .
Teorema de Taylor para funciones multivariadas
Versión multivariante del teorema de Taylor [14] - Sea f : R n → R una función k -veces diferenciable en el punto a ∈ R n . Entonces existe h α : R n → R tal que
Si la función f : R n → R es k + 1 veces continuamente diferenciable en una bola cerrada para algunos , entonces se puede derivar una fórmula exacta para el resto en términos de derivadas parciales de ( k + 1) -ésimo orden de f en esta vecindad. [15] A saber,
En este caso, debido a la continuidad de las derivadas parciales de ( k + 1) -ésimo orden en el conjunto compacto B , se obtienen inmediatamente las estimaciones uniformes
Ejemplo en dos dimensiones
Por ejemplo, el polinomio de Taylor de tercer orden de una función suave f : R 2 → R es, que denota x - a = v ,
Pruebas
Prueba del teorema de Taylor en una variable real
Vamos [16]
donde, como en el enunciado del teorema de Taylor,
Es suficiente mostrar que
La prueba aquí se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital . Tenga en cuenta que, para cada j = 0,1,…, k −1 ,. Por tanto, cada una de las primeras k −1 derivadas del numerador en desaparece en , y lo mismo ocurre con el denominador. Además, dado que la condición de que la función f sea k veces diferenciable en un punto requiere diferenciabilidad hasta el orden k −1 en una vecindad de dicho punto (esto es cierto, porque la diferenciabilidad requiere que se defina una función en toda una vecindad de un punto ), el numerador y sus k - 2 derivadas son diferenciables en una vecindad de a . Claramente, el denominador también satisface dicha condición, y además, no se desvanece a menos que x = a , por lo tanto se cumplen todas las condiciones necesarias para la regla de L'Hopital, y se justifica su uso. Entonces
donde la penúltima igualdad sigue la definición de la derivada en x = a .
Derivación de las formas de valor medio del resto
Let G ser cualquier función de valor real, continua en el intervalo cerrado entre una y x y diferenciable con un no-desaparición derivado en el intervalo abierto entre una y x , y definir
Para . Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy ,
( ⁎⁎⁎ )
para algunos ξ en el intervalo abierto entre una y x . Tenga en cuenta que aquí el numerador F ( x ) - F ( a ) = R k ( x ) es exactamente el resto del polinomio de Taylor para f ( x ). Calcular
conéctelo a ( ⁎⁎⁎ ) y reorganice los términos para encontrar que
Esta es la forma del término restante mencionado después del enunciado real del teorema de Taylor con el resto en la forma de valor medio. La forma de Lagrange del resto se encuentra eligiendo y la forma de Cauchy eligiendo .
Observación. Usando este método también se puede recuperar la forma integral del resto eligiendo
pero los requisitos de f necesarios para el uso del teorema del valor medio son demasiado estrictos , si se pretende demostrar la afirmación en el caso de que f ( k ) sea sólo absolutamente continua . Sin embargo, si se usa la integral de Riemann en lugar de la integral de Lebesgue , los supuestos no se pueden debilitar.
Derivación para la forma integral del resto
Debido a la continuidad absoluta de f ( k ) en el intervalo cerrado entre una y x su derivado f ( k 1) existe como una L 1 -Función, y podemos usar teorema fundamental del cálculo y la integración por partes . Esta misma prueba se aplica para la integral Riemann suponiendo que f ( k ) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto entre una y x , y esto conduce a los mismos resultados que usando el teorema de valor medio.
El teorema fundamental del cálculo establece que
Ahora podemos integrar por partes y usar el teorema fundamental del cálculo nuevamente para ver que
que es exactamente el teorema de Taylor con resto en forma integral en el caso k = 1. El enunciado general se prueba mediante inducción . Suponer que
( ⁎⁎⁎⁎ )
Integrando el término restante por partes llegamos a
Sustituir esto en la fórmula en ( ⁎⁎⁎⁎ ) muestra que si se cumple para el valor k , también debe ser válido para el valor k + 1. Por lo tanto, dado que se cumple para k = 1, debe ser válido para cada entero positivo k .
Derivación para el resto de polinomios de Taylor multivariados
Demostramos el caso especial, donde f : R n → R tiene derivadas parciales continuas hasta el orden k +1 en alguna bola cerrada B con centro a . La estrategia de la demostración es aplicar el caso de una variable del teorema de Taylor a la restricción de f al segmento de recta contiguo a x y a . [17] Parametrice el segmento de línea entre a y x mediante u ( t ) = a + t ( x - a ). Aplicamos la versión de una variable del teorema de Taylor a la función g ( t ) = f ( u ( t )) :
La aplicación de la regla de la cadena para varias variables da
dónde es el coeficiente multinomial . Desde, obtenemos:
Ver también
- Serie Laurent
- Padé aproximado
- Serie Newton
Notas al pie
- ↑ (2013). "Aproximación lineal y cuadrática". Consultado el 6 de diciembre de 2018.
- ↑ Taylor, Brook (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Métodos de incremento directo e inverso ] (en latín). Londres. pag. 21-23 (Prop. VII, Teo 3, Cor. 2). Traducido al inglés en Struik, DJ (1969). Un libro de consulta en matemáticas 1200–1800 . Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. págs. 329–332.
- ^ Kline 1972 , p. 442, 464.
- ^ Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale , (n. 67, págs. XVII-XIX): Fratelli Bocca ed.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Spivak, Michael (1994), Calculus (3ª ed.), Houston, TX: Publish or Perish, pág. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
- ^ "Fórmula de Taylor" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ La hipótesis de f ( k ) ser continuo en la cerrada intervalo entre una y x es no redundante. Aunque f siendo k + 1 veces diferenciable en el intervalo abierto entre una y x implica que f ( k ) es continua en la abierta intervalo entre una y x , no no implica que f ( k ) es continua en la cerrada intervalo entre una y x , es decir, no implica que f ( k ) es continua en los puntos finales de dicho intervalo. Considere, por ejemplo, la función f : [0,1] → R definida como igual en y con . Esto no es continuo en 0 , pero es continuo en. Además, se puede demostrar que esta función tiene una antiderivada . Por tanto, esa antiderivada es diferenciable en, su derivada (la función f ) es continua en el intervalo abierto , pero su derivada f no es continua en el intervalo cerrado . Entonces, el teorema no se aplicaría en este caso.
- ^ Kline 1998 , §20.3; Apostol 1967 , §7.7.
- ^ Apostol 1967 , §7.7.
- ^ Apostol 1967 , §7.5.
- ↑ Apostol 1967 , §7.6
- ↑ Rudin 1987 , §10.26
- ^ Esto se sigue de la aplicación iterativa del teorema de que si las derivadas parciales de una función f existir en una vecindad de una y son continuas en una , entonces la función es diferenciable en una . Véase, por ejemplo, Apostol 1974 , Teorema 12.11.
- ^ Análisis de Königsberger 2, p. 64 ff.
- ^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf
- ↑ Stromberg, 1981
- ^ Hörmander 1976 , págs. 12-13
Referencias
- Apostol, Tom (1967), cálculo , Wiley, ISBN 0-471-00005-1.
- Apostol, Tom (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley.
- Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2011), Introducción al análisis real (4a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6.
- Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, Volumen 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
- Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna, Volumen 2 , Oxford University Press.
- Kline, Morris (1998), Cálculo: un enfoque intuitivo y físico , Dover, ISBN 0-486-40453-6.
- Pedrick, George (1994), Un primer curso de análisis , Springer, ISBN 0-387-94108-8.
- Stromberg, Karl (1981), Introducción al análisis real clásico , Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2.
- Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3a ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
- Tao, Terence (2014), Análisis, Volumen I (3.a ed.), Agencia del Libro Hindustan, ISBN 978-93-80250-64-9.
enlaces externos
- Teorema de Taylor en ProofWiki
- Aproximación de la serie de Taylor al coseno en el corte del nudo
- Subprograma demostrativo interactivo Trigonométrico Taylor Expansion
- Serie de Taylor revisada en Holistic Numerical Methods Institute