La onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov (o en ocasiones denominada onda expansiva de Sedov-von Neumann-Taylor ) se refiere a una onda expansiva inducida por una fuerte explosión. La onda expansiva fue descrita por una solución auto-similar de forma independiente por GI Taylor , John von Neumann y Leonid Sedov durante la Segunda Guerra Mundial . [1] [2]
Historia
El Ministerio de Seguridad Interior británico le dijo a GI Taylor que podría ser posible producir una bomba en la que una gran cantidad de energía fuera liberada por fisión nuclear y se le pidió que informara sobre el efecto de tal arma. Taylor presentó sus resultados el 27 de junio de 1941. [3] Exactamente al mismo tiempo, en los Estados Unidos , John von Neumann estaba trabajando en el mismo problema y presentó sus resultados el 30 de junio de 1941. [4] Se dijo que Leonid Sedov también estaba trabajando en el problema casi al mismo tiempo en la URSS , aunque Sedov nunca confirmó ninguna fecha exacta. [5]
La solución completa fue publicada por primera vez por Sedov en 1946. [6] von Neumann publicó sus resultados en agosto de 1947 en el informe del laboratorio científico de Los Alamos sobre "Onda explosiva" (PDF) ., aunque ese informe se distribuyó sólo en 1958. [7] Taylor obtuvo autorización para publicar sus resultados en 1949 y publicó sus trabajos en dos artículos en 1950. [8] [9] En el segundo artículo, Taylor calculó la energía del bomba atómica utilizada en la Trinidad (prueba nuclear) usando la similitud, simplemente mirando la serie temporal de fotografías de ondas expansivas publicadas por Julian E Mack en 1947. [10]
Descripción matemática
Considere una explosión fuerte (como una bomba nuclear) que libera una gran cantidad de energía. en un pequeño volumen durante un breve intervalo de tiempo. Esto creará una fuerte onda de choque esférica que se propagará hacia afuera desde el centro de explosión. La solución auto-similar intenta describir el flujo cuando la onda de choque se ha movido a una distancia que es extremadamente grande en comparación con el tamaño del explosivo. A estas grandes distancias, se olvidará la información sobre el tamaño y la duración de la explosión; solo la energía liberadainfluirá en la evolución de la onda de choque. Con un grado muy alto de precisión, se puede suponer que la explosión ocurrió en un punto (digamos el origen) instantáneamente en el momento .
Se supone que la onda de choque en la región auto-similar es todavía muy fuerte, de modo que la presión detrás de la onda de choque es muy grande en comparación con la presión (presión atmosférica) frente a la onda de choque , que puede pasarse por alto en el análisis. Aunque la presión del gas no perturbado es insignificante, la densidad del gas no perturbadono se puede descuidar ya que el salto de densidad a través de ondas de choque fuertes son finitos como consecuencia directa de las condiciones de Rankine-Hugoniot . Esta aproximación es equivalente a establecer y la velocidad del sonido correspondiente , pero manteniendo su densidad distinta de cero, es decir, . [11]
Los únicos parámetros disponibles a nuestra disposición son la energía y la densidad del gas sin perturbaciones . Las propiedades detrás de la onda de choque comoson derivables de los que están frente a la onda de choque. La única combinación adimensional disponible en y es
- .
Se supone que la solución es función únicamente de la variable anterior. La ubicación de la onda de choque corresponderá a algún valor denotado aquí por , es decir,
La velocidad de propagación de la onda de choque es
Con la aproximación descrita anteriormente, las condiciones de Rankine-Hugoniot determinan la velocidad del gas inmediatamente detrás del frente de choque., y para un gas ideal de la siguiente manera
dónde es la proporción de calor específico . Desde es una constante, la densidad inmediatamente detrás de la onda de choque no cambia con el tiempo, mientras que y disminuir como y , respectivamente.
Solución auto-similar
El movimiento del gas detrás de la onda de choque se rige por las ecuaciones de Euler . Para un gas politrópico ideal con simetría esférica, las ecuaciones para las variables del fluido como la velocidad radial, densidad y presion son dadas por
A , las soluciones deben aproximarse a los valores dados por las condiciones de Rankine-Hugoniot definidas en la sección anterior.
La presión variable se puede reemplazar por la velocidad del sonido. ya que la presión se puede obtener de la fórmula . Se introducen las siguientes variables auto-similares adimensionales, [12] [13]
- .
Las condiciones en el frente de choque se convierte en
La sustitución de las variables auto-similares en las ecuaciones gobernantes dará lugar a tres ecuaciones diferenciales ordinarias. Resolver estas ecuaciones diferenciales analíticamente es laborioso, como lo demostraron Sedov en 1946 y von Neumann en 1947. GI Taylor integró estas ecuaciones numéricamente para obtener los resultados deseados.
La relación entre y se puede deducir directamente de la conservación de energía. Dado que la energía asociada con el gas no perturbado se desprecia al establecer, la energía total del gas dentro de la esfera de choque debe ser igual a . Debido a la auto-similitud, está claro que no solo la energía total dentro de una esfera de radio es constante, pero también la energía total dentro de una esfera de cualquier radio (en forma dimensional, dice que la energía total dentro de una esfera de radio que se mueve hacia afuera con una velocidad debe ser igual a ). La cantidad de energía que sale de la esfera de radio. a tiempo debido a la velocidad del gas es , dónde es la entalpía específica del gas. En ese tiempo, el radio de la esfera aumenta con la velocidad. y la energía del gas en este volumen extra aumentado es , dónde es la energía específica del gas. Igualando estas expresiones y sustituyendo y que es válido para el gas politrópico ideal conduce a
La ecuación de continuidad y energía se reduce a
Expresando y como una función de solo usando la relación obtenida anteriormente e integrando una vez produce la solución en forma implícita,
dónde
El constante que determina la ubicación del choque se puede determinar a partir de la conservación de energía
para obtener
Para aire, y .
Referencias
- ^ Bluman, GW y Cole, JD (2012). Métodos de similitud para ecuaciones diferenciales (Vol. 13). Springer Science & Business Media.
- ^ Barenblatt, GI, Barenblatt, GI e Isaakovich, BG (1996). Escalado, autosemejanza y asintótica intermedia: análisis dimensional y asintótica intermedia (Vol. 14). Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ GI Taylor, Informe británico RC-210, 27 de junio de 1941.
- ^ John von Neumann, NDRC, div. B, Informe AM-9, 30 de junio de 1941.
- ^ Deakin, MA (2011). Test de GI Taylor y Trinity. Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología, 42 (8), 1069-1079.
- ^ Sedov, LI (1946). Propagación de ondas de choque fuertes. Revista de Matemáticas Aplicadas y Mecánica, 10, 241-250.
- ^ J. von Neumann, La solución de fuente puntual, en Obras completas, vol. 6, AH Taub, ed., Pergamon, Nueva York, 1963, págs. 219-237.
- ^ Taylor, GI (1950). La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa I. Discusión teórica. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas, 201 (1065), 159-174.
- ^ Taylor, GI (1950). La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa.-II. La explosión atómica de 1945. Actas de la Royal Society of London. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas, 201 (1065), 175-186.
- ^ Mack, JE (1946). Disco cinematográfico semi-popular de la explosión de Trinity (Vol. 221). División de Información Técnica, Operaciones Dirigidas de Oak Ridge.
- ^ Zelʹdovich, IB y Raĭzer, IP (1968). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura (Vol. 1). Prensa académica. Sección 25. págs. 93-101.
- ^ Landau, LD y Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos. Traducido del ruso por JB Sykes y WH Reid. Curso de Física Teórica, 6. Sección 106, págs. 403-407.
- ^ Sedov, LI (1993). Métodos de similitud y dimensiones en mecánica. Prensa CRC.