En matemáticas , un tensor es un objeto algebraico que describe una relación ( multilineal ) entre conjuntos de objetos algebraicos relacionados con un espacio vectorial . Los objetos entre los que los tensores pueden mapear incluyen vectores y escalares , e incluso otros tensores. Los tensores pueden tomar varias formas diferentes, por ejemplo: escalares y vectores (que son los tensores más simples), vectores duales , mapas multilineales entre espacios vectoriales e incluso algunas operaciones como el producto escalar . Los tensores se definen independientemente de cualquier base, aunque a menudo se hace referencia a ellos por sus componentes en una base relacionada con un sistema de coordenadas particular.
Los tensores son importantes en física porque proporcionan un marco matemático conciso para formular y resolver problemas de física en áreas como mecánica ( tensión , elasticidad , mecánica de fluidos , momento de inercia , ...), electrodinámica ( tensor electromagnético , tensor de Maxwell , permitividad , susceptibilidad magnética , ...), o relatividad general ( tensor tensión-energía , tensor de curvatura , ...) y otros. En las aplicaciones, es común estudiar situaciones en las que puede ocurrir un tensor diferente en cada punto de un objeto; por ejemplo, la tensión dentro de un objeto puede variar de un lugar a otro. Esto lleva al concepto de campo tensorial . En algunas áreas, los campos tensoriales son tan omnipresentes que a menudo se les llama simplemente "tensores".
Los tensores fueron concebidos en 1900 por Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro , quienes continuaron el trabajo anterior de Bernhard Riemann y Elwin Bruno Christoffel y otros, como parte del cálculo diferencial absoluto . El concepto permitió una formulación alternativa de la geometría diferencial intrínseca de una variedad en forma de tensor de curvatura de Riemann . [1]
Definición
Aunque aparentemente diferentes, los diversos enfoques para definir tensores describen el mismo concepto geométrico utilizando un lenguaje diferente y en diferentes niveles de abstracción. Por ejemplo, los tensores se definen y analizan para aplicaciones estadísticas y de aprendizaje automático . [2]
Como matrices multidimensionales
Un tensor puede representarse como una matriz (potencialmente multidimensional). Así como un vector en un n - dimensional espacio está representado por una matriz unidimensional con n componentes con respecto a una determinada base , cualquier tensor con respecto a una base está representada por una matriz multidimensional. Por ejemplo, un operador lineal se representa sobre una base como una matriz n × n cuadrada bidimensional . Los números de la matriz multidimensional se conocen como componentes escalares del tensor o simplemente como componentes . Se indican mediante índices que dan su posición en la matriz, como subíndices y superíndices , siguiendo el nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, los componentes de una orden 2 tensor T podría ser denotado T ij , donde i y j son índices que van de 1 a n , o también por T yo
j. El hecho de que un índice se muestre como superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describen a continuación. Así, mientras T ij y T yo
jAmbos pueden expresarse como n por n matrices, y están relacionados numéricamente a través del malabarismo de índices , la diferencia en sus leyes de transformación indica que sería incorrecto sumarlos. El número total de índices necesarios para identificar cada componente de forma única es igual a la dimensión de la matriz y se denomina orden , grado o rango del tensor. Sin embargo, el término "rango" generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.
Así como las componentes de un vector cambian cuando cambiamos la base del espacio vectorial, las componentes de un tensor también cambian bajo tal transformación. Cada tipo de tensor viene equipado con una ley de transformación que detalla cómo los componentes del tensor responden a un cambio de base . Los componentes de un vector pueden responder de dos formas distintas a un cambio de base (ver covarianza y contravarianza de vectores ), donde los nuevos vectores base se expresan en términos de los vectores base antiguos como,
Aquí R j i son las entradas de la matriz de cambio de base, y en la expresión más a la derecha se suprimió el signo de suma : esta es la convención de suma de Einstein , que se utilizará a lo largo de este artículo. [Nota 1] Los componentes v i de un vector columna v se transforman con la inversa de la matriz R ,
donde el sombrero denota los componentes de la nueva base. Esto se llama ley de transformación contravariante , porque los componentes del vector se transforman por el inverso del cambio de base. En contraste, los componentes, w i , de un covector (o vector de fila), w se transforman con la matriz R misma,
Esto se denomina ley de transformación covariante , porque los componentes del covector se transforman mediante la misma matriz que la matriz de cambio de base. Los componentes de un tensor más general se transforman mediante alguna combinación de transformaciones covariantes y contravariantes, con una ley de transformación para cada índice. Si la matriz de transformación de un índice es la matriz inversa de la transformación base, entonces el índice se llama contravariante y se denota convencionalmente con un índice superior (superíndice). Si la matriz de transformación de un índice es la transformación de base en sí, entonces el índice se llama covariante y se denota con un índice más bajo (subíndice).
Como ejemplo simple, la matriz de un operador lineal con respecto a una base es una matriz rectangular. que se transforma bajo una matriz de cambio de base por . Para las entradas individuales de la matriz, esta ley de transformación tiene la forma por lo que el tensor correspondiente a la matriz de un operador lineal tiene un índice covariante y uno contravariante: es de tipo (1,1).
Las combinaciones de componentes covariantes y contravariantes con el mismo índice nos permiten expresar invariantes geométricas. Por ejemplo, el hecho de que un vector sea el mismo objeto en diferentes sistemas de coordenadas puede ser capturado por las siguientes ecuaciones, usando las fórmulas definidas anteriormente:
- ,
dónde es el delta de Kronecker , que funciona de manera similar a la matriz de identidad y tiene el efecto de cambiar el nombre de los índices ( j en k en este ejemplo). Esto muestra varias características de la notación de componentes: la capacidad de reorganizar los términos a voluntad ( conmutatividad ), la necesidad de usar índices diferentes cuando se trabaja con varios objetos en la misma expresión, la capacidad de cambiar el nombre de los índices y la forma en que la contravariante y los tensores covariantes se combinan para que todas las instancias de la matriz de transformación y su inversa se cancelen, de modo que expresiones como inmediatamente se puede ver que es geométricamente idéntico en todos los sistemas de coordenadas.
De manera similar, un operador lineal, visto como un objeto geométrico, en realidad no depende de una base: es solo un mapa lineal que acepta un vector como argumento y produce otro vector. La ley de transformación de cómo la matriz de componentes de un operador lineal cambia con la base es consistente con la ley de transformación para un vector contravariante, de modo que la acción de un operador lineal sobre un vector contravariante se representa en coordenadas como el producto matricial de su respectivas representaciones de coordenadas. Es decir, los componentes son dadas por . Estos componentes se transforman de forma contraria, ya que
La ley de transformación para un tensor de orden p + q con p índices contravariantes yq índices covariantes se da como,
Aquí, los índices primarios denotan componentes en las nuevas coordenadas, y los índices no primarios denotan los componentes en las coordenadas antiguas. Se dice que tal tensor es de orden o tipo ( p , q ) . Los términos "orden", "tipo", "rango", "valencia" y "grado" se utilizan a veces para el mismo concepto. Aquí, el término "orden" u "orden total" se utilizará para la dimensión total de la matriz (o su generalización en otras definiciones), p + q en el ejemplo anterior, y el término "tipo" para el par que da el número de índices contravariantes y covariantes. Un tensor de tipo ( p , q ) también se llama un ( p , q ) -tensor para abreviar.
Esta discusión motiva la siguiente definición formal: [3] [4]
Definición. Un tensor de tipo ( p , q ) es una asignación de una matriz multidimensional
a cada base f = ( e 1 , ..., e n ) de un espacio vectorial n- dimensional tal que, si aplicamos el cambio de base
entonces la matriz multidimensional obedece a la ley de transformación
La definición de un tensor como una matriz multidimensional que satisface una ley de transformación se remonta al trabajo de Ricci. [1]
Una definición equivalente de un tensor usa las representaciones del grupo lineal general . Hay una acción del grupo lineal general sobre el conjunto de todas las bases ordenadas de un espacio vectorial n- dimensional. Si es una base ordenada, y es un invertible matriz, entonces la acción viene dada por
Sea F el conjunto de todas las bases ordenadas. Entonces F es un espacio homogéneo principal para GL ( n ). Sea W un espacio vectorial y seaser una representación de GL ( n ) en W (es decir, un homomorfismo de grupo ). Entonces un tensor de tipoes un mapa equivariante . Equivariancia aquí significa que
Cuándo es una representación tensorial del grupo lineal general, esto da la definición habitual de tensores como matrices multidimensionales. Esta definición se utiliza a menudo para describir tensores en variedades, [5] y se generaliza fácilmente a otros grupos. [3]
Como mapas multilineales
Una desventaja de la definición de un tensor utilizando el enfoque de matriz multidimensional es que no es evidente a partir de la definición que el objeto definido sea de hecho independiente de la base, como se espera de un objeto intrínsecamente geométrico. Aunque es posible demostrar que las leyes de transformación de hecho garantizan la independencia de la base, a veces se prefiere una definición más intrínseca. Un enfoque que es común en la geometría diferencial es definir tensores en relación con un espacio vectorial fijo (de dimensión finita) V , que generalmente se considera un espacio vectorial particular de algún significado geométrico como el espacio tangente a una variedad. [6] En este enfoque, un tensor de tipo ( p , q ) T se define como un mapa multilineal ,
donde V ∗ es el correspondiente espacio dual de covectores, que es lineal en cada uno de sus argumentos. Lo anterior supone que V es un espacio vectorial sobre los números reales , ℝ . De manera más general, V puede tomarse sobre un campo arbitrario de números, F (por ejemplo, los números complejos ) con un espacio vectorial unidimensional sobre F reemplazando ℝ como el codominio de los mapas multilineales.
Aplicando un mapa multilineal T de tipo ( p , q ) a una base { e j } para V y una cobasis canónica { ε i } para V ∗ ,
un ( p + q ) puede obtenerse matriz dimensional de los componentes. Una elección diferente de base producirá componentes diferentes. Pero, debido a que T es lineal en todos sus argumentos, los componentes satisfacen la ley de transformación del tensor utilizada en la definición de matriz multilineal. La matriz multidimensional de componentes de T forma así un tensor de acuerdo con esa definición. Además, tal matriz se puede realizar como los componentes de algún mapa T multilineal . Esto motiva ver mapas multilineales como los objetos intrínsecos subyacentes a los tensores.
En la visualización de un tensor como un mapa multilineal, es convencional para identificar la doble dual V ** del espacio vectorial V , es decir, el espacio de funcionales lineales en el espacio dual vector V * , con el espacio vectorial V . Siempre hay un mapa lineal naturales de V a su doble dual, dado mediante la evaluación de una forma lineal en V * en contra de un vector en V . Este mapeo lineal es un isomorfismo en dimensiones finitas y, a menudo, es conveniente identificar V con su doble dual.
Usar productos tensoriales
Para algunas aplicaciones matemáticas, a veces es útil un enfoque más abstracto. Esto se puede lograr definiendo tensores en términos de elementos de productos tensoriales de espacios vectoriales, que a su vez se definen mediante una propiedad universal . Un tensor de tipo ( p , q ) se define en este contexto como un elemento del producto tensorial de espacios vectoriales, [7] [8]
Una base v i de V y la base w j de W inducen naturalmente una base v i ⊗ w j del producto tensorial V ⊗ W . Las componentes de un tensor T son los coeficientes del tensor con respecto a la base obtenida de una base { e i } para V y su base dual { ε j } , es decir
Usando las propiedades del producto tensorial, se puede demostrar que estos componentes satisfacen la ley de transformación para un tensor de tipo ( p , q ) . Por otra parte, la propiedad universal del producto tensorial da un 1 -a- 1 correspondencia entre los tensores definidos de esta manera y tensores definidos como funciones multilineales.
Los productos tensoriales se pueden definir con gran generalidad, por ejemplo, que involucran módulos arbitrarios sobre un anillo. En principio, se podría definir un "tensor" simplemente como un elemento de cualquier producto tensorial. Sin embargo, la literatura matemática generalmente reserva el término tensor para un elemento de un producto tensorial de cualquier número de copias de un solo espacio vectorial V y su dual, como se indicó anteriormente.
Tensores en infinitas dimensiones
Esta discusión de los tensores hasta ahora asume una dimensionalidad finita de los espacios involucrados, donde los espacios de los tensores obtenidos por cada una de estas construcciones son naturalmente isomorfos . [Nota 2] Las construcciones de espacios de tensores basadas en el producto tensorial y los mapeos multilineales se pueden generalizar, esencialmente sin modificación, a haces de vectores o poleas coherentes . [9] Para espacios vectoriales de dimensión infinita, las topologías inequivalentes conducen a nociones inequivalentes de tensor, y estos diversos isomorfismos pueden o no ser válidos dependiendo de qué se entiende exactamente por tensor (ver producto de tensor topológico ). En algunas aplicaciones, se pretende el producto tensorial de los espacios de Hilbert , cuyas propiedades son las más similares al caso de dimensión finita. Una visión más moderna es que es la estructura de los tensores como una categoría monoidal simétrica la que codifica sus propiedades más importantes, en lugar de los modelos específicos de esas categorías. [10]
Campos tensores
En muchas aplicaciones, especialmente en geometría diferencial y física, es natural considerar un tensor con componentes que son funciones del punto en un espacio. Este fue el escenario de la obra original de Ricci. En la terminología matemática moderna, tal objeto se denomina campo tensor , a menudo denominado simplemente tensor. [1]
En este contexto, a menudo se elige una base de coordenadas para el espacio vectorial tangente . La ley de transformación puede entonces expresarse en términos de derivadas parciales de las funciones de coordenadas,
definir una transformación de coordenadas, [1]
Ejemplos de
Un ejemplo elemental de un mapeo describible como un tensor es el producto escalar, que mapea dos vectores a un escalar. Un ejemplo más complejo es el tensor de tensión de Cauchy T , que toma un vector unitario direccional v como entrada y lo asigna al vector de tensión T ( v ) , que es la fuerza (por unidad de área) ejercida por el material en el lado negativo de la plano ortogonal av contra el material en el lado positivo del plano, expresando así una relación entre estos dos vectores, que se muestra en la figura (derecha). El producto cruzado , donde dos vectores se asignan a un tercero, no es estrictamente hablando un tensor porque cambia su signo bajo esas transformaciones que cambian la orientación del sistema de coordenadas. El símbolo totalmente anti-simétrico Sin embargo, permite un manejo conveniente del producto cruzado en sistemas de coordenadas tridimensionales igualmente orientados.
Esta tabla muestra ejemplos importantes de tensores en espacios vectoriales y campos de tensores en variedades. Los tensores se clasifican según su tipo ( n , m ) , donde n es el número de índices contravariantes, m es el número de índices covariantes y n + m da el orden total del tensor. Por ejemplo, una forma bilineal es lo mismo que un (0, 2) -tensor; un producto interno es un ejemplo de un (0, 2) -tensor, pero no todos los (0, 2) -tensores son productos internos. En la entrada (0, M ) de la tabla, M denota la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente o variedad porque para cada dimensión del espacio, se necesita un índice separado para seleccionar esa dimensión para obtener un tensor antisimétrico covariante máximo.
metro | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ⋯ | METRO | ⋯ | ||
norte | 0 | Escalar , p. Ej., Curvatura escalar | Covector , funcional lineal , de 1 forma , por ejemplo , momento dipolar , gradiente de un campo escalar | Forma bilineal , p. Ej., Producto interno , momento cuadrupolo , tensor métrico , curvatura de Ricci , 2 formas , forma simpléctica | 3 formas, por ejemplo, momento octupolar | Por ejemplo, forma M, es decir, forma de volumen | ||
1 | Vector euclidiano | Transformación lineal , [11] delta de Kronecker | Por ejemplo, producto cruzado en tres dimensiones. | Por ejemplo, tensor de curvatura de Riemann | ||||
2 | Tensor métrico inverso , bivector , p. Ej., Estructura de Poisson | Por ejemplo, tensor de elasticidad | ||||||
⋮ | ||||||||
norte | Multivector | |||||||
⋮ |
Elevar un índice en un ( n , m ) -tensor produce un ( n + 1, m - 1) -tensor; esto corresponde a moverse en diagonal hacia abajo y hacia la izquierda sobre la mesa. Simétricamente, bajar un índice corresponde a moverse en diagonal hacia arriba y hacia la derecha en la mesa. La contracción de una parte superior con un índice inferior de un ( n , m ) -tensor produce un ( n - 1, m - 1) -tensor; esto corresponde a moverse en diagonal hacia arriba y hacia la izquierda en la mesa.
Propiedades
Suponiendo una base de un espacio vectorial real, por ejemplo, un marco de coordenadas en el espacio ambiental, un tensor puede representarse como una matriz multidimensional organizada de valores numéricos con respecto a esta base específica. Cambiar la base transforma los valores en el arreglo de una manera característica que permite definir tensores como objetos adheridos a este comportamiento transformacional. Por ejemplo, hay invariantes de tensores que deben preservarse ante cualquier cambio de la base, por lo que solo ciertas matrices multidimensionales de números son un tensor. Compare esto con la matriz que representa al no ser un tensor, el signo cambia bajo transformaciones que cambian la orientación.
Debido a que los componentes de los vectores y sus duales se transforman de manera diferente bajo el cambio de sus bases duales, existe una ley de transformación covariante y / o contravariante que relaciona los arreglos, que representan el tensor con respecto a una base y que con respecto a la otra. . Los números de, respectivamente, vectores: n ( índices contravariantes ) y vectores duales : m ( índices covariantes ) en la entrada y salida de un tensor determinan el tipo (o valencia ) del tensor, un par de números naturales ( n , m ) , que determinan la forma precisa de la ley de transformación. El orden de un tensor es la suma de estos dos números.
El orden (también grado o rango ) de un tensor es, por tanto, la suma de los órdenes de sus argumentos más el orden del tensor resultante. Esta es también la dimensionalidad de la matriz de números necesarios para representar el tensor con respecto a una base específica, o de manera equivalente, el número de índices necesarios para etiquetar cada componente en esa matriz. Por ejemplo, sobre una base fija, un mapa lineal estándar que asigna un vector a un vector, está representado por una matriz (una matriz bidimensional) y, por lo tanto, es un tensor de segundo orden. Un vector simple se puede representar como una matriz unidimensional y, por lo tanto, es un tensor de primer orden. Los escalares son números simples y, por lo tanto, son tensores de orden 0. De esta forma el tensor que representa el producto escalar, tomando dos vectores y resultando en un escalar tiene orden 2 + 0 = 2 , lo mismo que el tensor de tensión, tomando un vector y devolviendo otro 1 + 1 = 2 . La-símbolo, mapeando dos vectores a un vector, tendría orden 2 + 1 = 3.
La colección de tensores en un espacio vectorial y su dual forma un álgebra tensorial , que permite productos de tensores arbitrarios. Las aplicaciones simples de tensores de orden 2 , que pueden representarse como una matriz cuadrada, pueden resolverse mediante una disposición inteligente de vectores transpuestos y aplicando las reglas de multiplicación de matrices, pero el producto del tensor no debe confundirse con esto.
Notación
Hay varios sistemas de notación que se utilizan para describir tensores y realizar cálculos que los involucran.
Cálculo de Ricci
El cálculo de Ricci es el formalismo y la notación modernos para los índices de tensores: indicando productos internos y externos , covarianza y contravarianza , sumas de componentes tensoriales, simetría y antisimetría , y derivadas parciales y covariantes .
Convención de suma de Einstein
La convención de suma de Einstein prescinde de escribir signos de suma , dejando implícita la suma. Cualquier símbolo de índice repetido se suma: si el índice i se usa dos veces en un término dado de una expresión tensorial, significa que el término debe sumarse para todo i . De esta forma se pueden sumar varios pares distintos de índices.
Notación gráfica de Penrose
La notación gráfica de Penrose es una notación diagramática que reemplaza los símbolos de los tensores con formas y sus índices por líneas y curvas. Es independiente de los elementos básicos y no requiere símbolos para los índices.
Notación de índice abstracto
La notación de índice abstracto es una forma de escribir tensores de modo que los índices ya no se consideren numéricos, sino que sean indeterminados . Esta notación captura la expresividad de los índices y la independencia de la base de la notación libre de índices.
Notación sin componentes
Un tratamiento de tensores sin componentes utiliza una notación que enfatiza que los tensores no se basan en ninguna base y se define en términos del producto tensorial de los espacios vectoriales .
Operaciones
Hay varias operaciones sobre tensores que nuevamente producen un tensor. La naturaleza lineal del tensor implica que se pueden sumar dos tensores del mismo tipo y que los tensores se pueden multiplicar por un escalar con resultados análogos a la escala de un vector . En los componentes, estas operaciones se realizan simplemente por componentes. Estas operaciones no cambian el tipo de tensor; pero también hay operaciones que producen un tensor de diferente tipo.
Producto tensor
El producto tensorial toma dos tensores, S y T , y produce un nuevo tensor, S ⊗ T , cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores originales. Cuando se describe como mapas multilineales, el producto del tensor simplemente multiplica los dos tensores, es decir
que de nuevo produce un mapa que es lineal en todos sus argumentos. En los componentes, el efecto es multiplicar los componentes de los dos tensores de entrada por pares, es decir
Si S es de tipo ( l , k ) y T es de tipo ( n , m ) , entonces el producto tensorial S ⊗ T tiene tipo ( l + n , k + m ) .
Contracción
La contracción del tensor es una operación que reduce un tensor de tipo ( n , m ) a un tensor de tipo ( n - 1, m - 1) , del cual la traza es un caso especial. Por lo tanto, reduce el orden total de un tensor en dos. La operación se logra sumando componentes para los cuales un índice contravariante especificado es el mismo que un índice covariante especificado para producir un nuevo componente. Los componentes para los que esos dos índices son diferentes se descartan. Por ejemplo, un (1, 1) -tensor puede contraerse a un escalar a través de . Donde la suma está nuevamente implícita. Cuando el (1, 1) -tensor se interpreta como un mapa lineal, esta operación se conoce como traza .
La contracción se usa a menudo junto con el producto tensorial para contraer un índice de cada tensor.
La contracción también se puede entender usando la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio V con el espacio V ∗ descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores simples y luego aplicando un factor de V * a un factor de V . Por ejemplo, un tensor se puede escribir como una combinación lineal
La contracción de T en la primera y última ranura es entonces el vector
En un espacio vectorial con un producto interno (también conocido como métrica ) g , el término contracción se usa para eliminar dos índices contravariantes o covariantes formando una traza con el tensor métrico o su inverso. Por ejemplo, un (2, 0) -tensor puede contraerse a un escalar a través de (una vez más asumiendo la convención de suma).
Subir o bajar un índice
Cuando un espacio vectorial está equipado con una forma bilineal no degenerada (o tensor métrico como a menudo se le llama en este contexto), se pueden definir operaciones que conviertan un índice contravariante (superior) en un índice covariante (inferior) y viceversa. Un tensor métrico es un (simétrico) ( 0, 2) -tensor; por tanto, es posible contraer un índice superior de un tensor con uno de los índices inferiores del tensor métrico en el producto. Esto produce un nuevo tensor con la misma estructura de índice que el tensor anterior, pero con el índice más bajo generalmente mostrado en la misma posición del índice superior contraído. Esta operación se conoce gráficamente como bajar un índice .
Por el contrario, la operación inversa se puede definir y se llama aumentar un índice . Esto es equivalente a una contracción similar en el producto con un (2, 0) -tensor. Este tensor métrico inverso tiene componentes que son la matriz inversa de los del tensor métrico.
Aplicaciones
Mecánica de Medios Continuos
La mecánica del continuo proporciona ejemplos importantes . Las tensiones dentro de un cuerpo sólido o fluido se describen mediante un campo tensor. El tensor de tensión y el tensor de deformación son campos tensoriales de segundo orden y están relacionados en un material elástico lineal general por un campo tensor de elasticidad de cuarto orden . En detalle, el tensor que cuantifica la tensión en un objeto sólido tridimensional tiene componentes que se pueden representar convenientemente como una matriz de 3 × 3. Las tres caras de un segmento de volumen infinitesimal en forma de cubo del sólido están sujetas a una fuerza determinada. Los componentes del vector de la fuerza también son tres. Por lo tanto, se requieren 3 × 3 o 9 componentes para describir la tensión en este segmento infinitesimal en forma de cubo. Dentro de los límites de este sólido hay una masa completa de diferentes cantidades de tensión, cada una de las cuales requiere 9 cantidades para describir. Por tanto, se necesita un tensor de segundo orden.
Si se destaca un elemento de la superficie en particular dentro del material, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de forma lineal. Esto se describe mediante un tensor de tipo (2, 0) , en elasticidad lineal , o más precisamente mediante un campo tensor de tipo (2, 0) , ya que las tensiones pueden variar de un punto a otro.
Otros ejemplos de la física
Las aplicaciones comunes incluyen:
- Tensor electromagnético (o tensor de Faraday) en electromagnetismo
- Tensores de deformación finita para describir deformaciones y tensor de deformación para deformación en mecánica continua
- La permitividad y la susceptibilidad eléctrica son tensores en medios anisotrópicos
- Cuatro tensores en relatividad general (p. Ej. , Tensor de tensión-energía ), que se utilizan para representar los flujos de momento.
- Los operadores de tensor esférico son las funciones propias del operador de momento angular cuántico en coordenadas esféricas
- Los tensores de difusión, la base de las imágenes del tensor de difusión , representan tasas de difusión en entornos biológicos.
- La mecánica cuántica y la computación cuántica utilizan productos tensoriales para la combinación de estados cuánticos
Aplicaciones de tensores de orden> 2
El concepto de tensor de orden dos a menudo se combina con el de matriz. Sin embargo, los tensores de orden superior capturan ideas importantes en ciencia e ingeniería, como se ha demostrado sucesivamente en numerosas áreas a medida que se desarrollan. Esto sucede, por ejemplo, en el campo de la visión por computadora , con el tensor trifocal generalizando la matriz fundamental .
El campo de la óptica no lineal estudia los cambios en la densidad de polarización del material bajo campos eléctricos extremos. Las ondas de polarización generadas están relacionadas con la generación de campos eléctricos a través del tensor de susceptibilidad no lineal. Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal . Para una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, asumiendo que no hay momentos dipolares permanentes), P viene dado por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:
Aquí es la susceptibilidad lineal, da el efecto Pockels y la segunda generación armónica , yda el efecto Kerr . Esta expansión muestra la forma en que los tensores de orden superior surgen naturalmente en el tema.
Generalizaciones
Productos tensoriales de espacios vectoriales
Los espacios vectoriales de un producto tensorial no necesitan ser los mismos y, a veces, los elementos de un producto tensorial más general se denominan "tensores". Por ejemplo, un elemento del espacio del producto tensorial V ⊗ W es un "tensor" de segundo orden en este sentido más general, [14] y un tensor de orden- d también puede definirse como un elemento de un producto tensorial de d diferentes espacios vectoriales. [15] Un tensor de tipo ( n , m ) , en el sentido definido anteriormente, es también un tensor de orden n + m en este sentido más general. El concepto de producto tensorial se puede extender a módulos arbitrarios sobre un anillo .
Tensores en infinitas dimensiones
La noción de tensor se puede generalizar de diversas formas a dimensiones infinitas . Uno, por ejemplo, es a través del producto tensorial de los espacios de Hilbert . [16] Otra forma de generalizar la idea de tensor, común en el análisis no lineal , es a través de la definición de mapas multilineales donde en lugar de usar espacios vectoriales de dimensión finita y sus duales algebraicos , se usan espacios de Banach de dimensión infinita y su dual continuo . [17] Los tensores viven así naturalmente en las variedades de Banach [18] y las variedades de Fréchet .
Densidades de tensor
Supongamos que un medio homogéneo llena R 3 , de modo que la densidad del medio se describe mediante un único valor escalar ρ en kg m −3 . La masa, en kg, de una región Ω se obtiene multiplicando ρ por el volumen de la región Ω , o de manera equivalente integrando la constante ρ sobre la región:
donde las coordenadas cartesianas xyz se miden en m. Si las unidades de longitud se cambian a cm, entonces los valores numéricos de las funciones de coordenadas deben ser reescalados por un factor de 100:
El valor numérico de la densidad ρ también debe transformarse por para compensar, de modo que el valor numérico de la masa en kg todavía está dado por la integral de . Por lo tanto(en unidades de kg cm −3 ).
De manera más general, si las coordenadas cartesianas xyz experimentan una transformación lineal, entonces el valor numérico de la densidad ρ debe cambiar por un factor del recíproco del valor absoluto del determinante de la transformación de coordenadas, de modo que la integral permanece invariante, por el Fórmula de cambio de variables para integración. Una cantidad tal que escala por el recíproco del valor absoluto del determinante del mapa de transición de coordenadas se llama densidad escalar . Para modelar una densidad no constante, ρ es una función de las variables xyz (un campo escalar ), y bajo un cambio curvilíneo de coordenadas, se transforma por el recíproco del jacobiano del cambio de coordenadas. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte Densidad en una variedad .
Una densidad de tensor se transforma como un tensor bajo un cambio de coordenadas, excepto que además toma un factor del valor absoluto del determinante de la transición de coordenadas: [19]
Aquí w se llama peso. En general, cualquier tensor multiplicado por una potencia de esta función o su valor absoluto se llama densidad de tensor o tensor ponderado. [20] [21] Un ejemplo de densidad de tensor es la densidad de corriente del electromagnetismo .
Bajo una transformación afín de las coordenadas, un tensor se transforma por la parte lineal de la transformación en sí (o su inversa) en cada índice. Estos provienen de las representaciones racionales del grupo lineal general. Pero esta no es la ley de transformación lineal más general que puede tener un objeto de este tipo: las densidades tensoriales no son racionales, pero siguen siendo representaciones semisimples . Otra clase de transformaciones proviene de la representación logarítmica del grupo lineal general, una representación reducible pero no semisimple, [22] que consta de un ( x , y ) ∈ R 2 con la ley de transformación
Objetos geométricos
La ley de transformación para un tensor se comporta como un funtor en la categoría de sistemas de coordenadas admisibles, bajo transformaciones lineales generales (u otras transformaciones dentro de alguna clase, como difeomorfismos locales ). Esto hace que un tensor sea un caso especial de un objeto geométrico, en el sentido técnico de que es una función del sistema de coordenadas que se transforma funcionalmente bajo cambios de coordenadas. [23] Ejemplos de objetos que obedecen a tipos más generales de leyes de transformación son los chorros y, aún más generalmente, los haces naturales . [24] [25]
Spinors
Cuando se cambia de una base ortonormal (llamada marco ) a otra mediante una rotación, los componentes de un tensor se transforman mediante esa misma rotación. Esta transformación no depende del camino recorrido por el espacio de los fotogramas. Sin embargo, el espacio de los marcos no está simplemente conectado (ver entrelazamiento de orientación y truco de la placa ): hay caminos continuos en el espacio de los marcos con las mismas configuraciones de inicio y final que no son deformables entre sí. Es posible adjuntar un invariante discreto adicional a cada trama que incorpora esta dependencia de ruta, y que resulta (localmente) tener valores de ± 1. [26] Un espinor es un objeto que se transforma como un tensor bajo rotaciones en el marco, además de un posible signo que está determinado por el valor de este invariante discreto. [27] [28]
De manera sucinta, los espinores son elementos de la representación de espín del grupo de rotación, mientras que los tensores son elementos de sus representaciones de tensor . Otros grupos clásicos tienen representaciones de tensores y, por lo tanto, también tensores que son compatibles con el grupo, pero todos los grupos clásicos no compactos también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita.
Historia
Los conceptos del análisis tensorial posterior surgieron del trabajo de Carl Friedrich Gauss en geometría diferencial , y la formulación estuvo muy influenciada por la teoría de formas algebraicas e invariantes desarrollada a mediados del siglo XIX. [29] La palabra "tensor" en sí fue introducida en 1846 por William Rowan Hamilton [30] para describir algo diferente de lo que ahora se entiende por tensor. [Nota 3] El uso contemporáneo fue introducido por Woldemar Voigt en 1898. [31]
El cálculo tensorial fue desarrollado alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título cálculo diferencial absoluto , y originalmente presentado por Ricci-Curbastro en 1892. [32] Se hizo accesible a muchos matemáticos por la publicación de Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita. El texto clásico de 1900 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones). [33]
En el siglo 20, el tema llegó a ser conocido como tensor de análisis , y ha logrado una mayor aceptación con la introducción de Einstein teoría de la 's relatividad general , alrededor de 1915. La relatividad general se formula totalmente en el idioma de los tensores. Einstein había aprendido sobre ellos, con gran dificultad, del geómetra Marcel Grossmann . [34] Levi-Civita inició entonces una correspondencia con Einstein para corregir los errores que Einstein había cometido en su uso del análisis tensorial. La correspondencia duró entre 1915 y 17 y se caracterizó por el respeto mutuo:
Admiro la elegancia de su método de cálculo; Debe ser agradable cabalgar por estos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas mientras que otros como nosotros tenemos que recorrer laboriosamente nuestro camino a pie.
- Albert Einstein [35]
También se descubrió que los tensores son útiles en otros campos, como la mecánica del continuo . Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría diferencial son las formas cuadráticas como los tensores métricos y el tensor de curvatura de Riemann . El álgebra exterior de Hermann Grassmann , de mediados del siglo XIX, es en sí misma una teoría tensorial y muy geométrica, pero pasó algún tiempo antes de que se viera, con la teoría de las formas diferenciales , como unificada naturalmente con el cálculo tensorial. El trabajo de Élie Cartan hizo de las formas diferenciales uno de los tipos básicos de tensores utilizados en matemáticas.
Aproximadamente desde la década de 1920 en adelante, se comprendió que los tensores desempeñan un papel básico en la topología algebraica (por ejemplo, en el teorema de Künneth ). [36] En consecuencia, hay tipos de tensores en funcionamiento en muchas ramas del álgebra abstracta , particularmente en el álgebra homológica y la teoría de la representación . El álgebra multilineal se puede desarrollar con mayor generalidad que para los escalares provenientes de un campo . Por ejemplo, los escalares pueden provenir de un anillo . Pero la teoría es entonces menos geométrica y los cálculos más técnicos y menos algorítmicos. [37] Los tensores se generalizan dentro de la teoría de categorías mediante el concepto de categoría monoidal , a partir de los años sesenta. [38]
Ver también
- Tipo de datos de matriz , para almacenamiento y manipulación de tensores
Fundacional
- Tensor cartesiano
- Haz de fibra
- Glosario de teoría tensorial
- Proyección multilineal
- De una forma
- Producto tensorial de módulos
Aplicaciones
- Aplicación de la teoría del tensor en ingeniería.
- Mecánica de Medios Continuos
- Derivado covariante
- Curvatura
- Resonancia magnética con tensor de difusión
- Ecuaciones de campo de Einstein
- Mecánica de fluidos
- Gravedad
- Aprendizaje subespacial multilineal
- Geometría riemanniana
- Tensor de estructura
- Descomposición del tensor
- Derivada del tensor
- Software tensor
Notas
- ^ La convención de suma de Einstein, en resumen, requiere que la suma se tome sobre todos los valores del índice siempre que el mismo símbolo aparezca como subíndice y superíndice en el mismo término. Por ejemplo, bajo esta convención
- ^ El isomorfismo de doble dualidad , por ejemplo, se usa para identificar V con el doble espacio dual V ∗∗ , que consiste en formas multilineales de grado uno en V ∗ . Es típico en álgebra lineal identificar espacios que son naturalmente isomórficos, tratándolos como el mismo espacio.
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enlaces externos
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