En álgebra abstracta , un número bicomplejo es un par ( w , z ) de números complejos construidos por el proceso de Cayley-Dickson que define el conjugado bicomplejo, y el producto de dos números bicomplejos como
Entonces la norma bicomplejo viene dada por
- una forma cuadrática en el primer componente.
Los números BIComplex forman un conmutativa álgebra sobre C de dimensión dos, que es isomorfa a la suma directa de las álgebra C ⊕ C .
El producto de dos números bicomplejos produce un valor de forma cuadrática que es el producto de las formas cuadráticas individuales de los números: una verificación de esta propiedad de la forma cuadrática de un producto se refiere a la identidad de Brahmagupta-Fibonacci . Esta propiedad de la forma cuadrática de un número bicomplejo indica que estos números forman un álgebra de composición . De hecho, los números bicomplejos surgen en el nivel binarion de la construcción de Cayley-Dickson basada en ℂ con norma z 2 .
El número bicomplejo general se puede representar mediante la matriz , que tiene determinante . Por tanto, la propiedad de composición de la forma cuadrática coincide con la propiedad de composición del determinante.
Como un álgebra real
× | 1 | I | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | I | j | k |
I | I | −1 | k | - j |
j | j | k | 1 | I |
k | k | - j | I | −1 |
Los números bicomplejos forman un álgebra sobre C de dimensión dos, y dado que C es de dimensión dos sobre R , los números bicomplejos son un álgebra sobre R de dimensión cuatro. De hecho, el álgebra real es más antigua que la compleja; fue etiquetado tessarines en 1848, mientras que el álgebra compleja no se introdujo hasta 1892.
Una base para el álgebra tessarina 4 sobre R especifica z = 1 yz = - i , dando las matrices, que se multiplican de acuerdo con la tabla dada. Cuando la matriz identidad se identifica con 1, entonces un tessarine t = w + zj .
Historia
El tema de las unidades imaginarias múltiples se examinó en la década de 1840. En una larga serie "Sobre cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra" que comenzó en 1844 en Philosophical Magazine , William Rowan Hamilton comunicó un sistema que se multiplica según el grupo de cuaterniones . En 1848, Thomas Kirkman informó sobre su correspondencia con Arthur Cayley con respecto a las ecuaciones de las unidades que determinan un sistema de números hipercomplejos. [1]
Tessarines
En 1848 James Cockle introdujo los tessarines en una serie de artículos en Philosophical Magazine . [2]
Un tessarine es un número hipercomplejo de la forma
dónde Cockle utilizó tessarinas para aislar la serie del coseno hiperbólico y la serie del seno hiperbólico en la serie exponencial. También mostró cómo los divisores cero surgen en tessarines, lo que lo inspiró a usar el término "imposibles". Los tessarinos ahora son mejor conocidos por su subálgebra de tessarinos reales. , también llamados números complejos divididos , que expresan la parametrización de la hipérbola unitaria .
Números bicomplejos
En un artículo de Mathematische Annalen de 1892 , Corrado Segre introdujo números bicomplejos , [3] que forman un álgebra isomórfica a los tesarinos.
Segre leyó las Lectures on Quaternions de WR Hamilton (1853) y las obras de WK Clifford . Segre usó parte de la notación de Hamilton para desarrollar su sistema de números bicomplejos : sean h e i elementos que cuadran con −1 y que se conmutan. Entonces, suponiendo asociatividad de la multiplicación, el producto hi debe cuadrar a +1. El álgebra construida sobre la base {1, h , i , hi } es entonces la misma que las tessarinas de James Cockle, representadas usando una base diferente. Segre señaló que los elementos
- son idempotentes .
Cuando los números bicomplejos se expresan en términos de la base {1, h , i , - hi } , su equivalencia con tessarinas es evidente. Al observar la representación lineal de estas álgebras isomórficas se muestra concordancia en la cuarta dimensión cuando se usa el signo negativo; considere el producto de muestra dado arriba bajo una representación lineal.
Anillos cocientes de polinomios
Una comparación de números bicomplejos y tesarinas usa el anillo polinomial R [ X , Y ], donde XY = YX . El ideal luego proporciona un anillo de cociente que representa tessarines. En este enfoque anillo cociente, elementos de las tessarines corresponden a clases laterales con respecto al ideal A . Del mismo modo, el ideal produce un cociente que representa números bicomplejos.
Una generalización de este enfoque utiliza la libre álgebra R ⟨ X , Y ⟩ en dos no de trayecto indeterminados X y Y . Considere estos tres polinomios de segundo grado . Sea A el ideal generado por ellos. A continuación, el anillo cociente R ⟨ X , Y ⟩ / A es isomorfo al anillo de tessarines.
Para ver eso tenga en cuenta que
- así que eso
- Pero entonces
- según sea necesario.
Ahora considere el ideal alternativo B generado por. En este caso se puede probar. El anillo isomorfismo R ⟨ X , Y ⟩ / A ≅ R ⟨ X , Y ⟩ / B implica un cambio de base intercambiar.
Alternativamente, suponga que el campo C de números complejos ordinarios se supone dado, y C [ X ] es el anillo de polinomios en X con coeficientes complejos. Entonces el cociente C [ X ] / ( X 2 + 1) es otra presentación de números bicomplejos.
Raíces polinomiales
Escribe 2 C = C ⊕ C y representa sus elementos mediante pares ordenados ( u , v ) de números complejos. Dado que el álgebra de tessarinas T es isomorfo a 2 C , los anillos de los polinomios T [X] y 2 C [ X ] también son isomorfos, sin embargo los polinomios en el último álgebra se dividen:
En consecuencia, cuando una ecuación polinomial en este álgebra se establece, se reduce a dos ecuaciones polinómicas en C . Si el grado es n , entonces hay n raíces para cada ecuación: Cualquier par ordenado de este conjunto de raíces satisfará la ecuación original en 2 C [ X ], por lo que tiene n 2 raíces.
Debido al isomorfismo con T [ X ], existe una correspondencia de polinomios y una correspondencia de sus raíces. Por lo tanto, los polinomios tesarinos de grado n también tienen n 2 raíces, contando la multiplicidad de raíces .
Aplicaciones
Se han aplicado tessarines en el procesamiento de señales digitales . [4] [5] [6]
Referencias
- ^ Thomas Kirkman (1848) "Sobre Pluquaternions y productos homoides de n Squares", Revista filosófica de Londres y Edimburgo 1848, p 447 Enlace de libros de Google
- ^ James Cockle en Revista filosófica de Londres-Dublín-Edimburgo, serie 3
- 1848 Sobre ciertas funciones que se asemejan a cuaterniones y sobre un nuevo imaginario en álgebra , 33: 435–9.
- 1849 Sobre un nuevo imaginario en álgebra 34: 37–47.
- 1849 Sobre los símbolos del álgebra y la teoría de Tessarines 34: 406–10.
- 1850 Sobre la verdadera amplitud de un tesarino 36: 290-2.
- 1850 Sobre ecuaciones imposibles, sobre cantidades imposibles y Tessarines 37: 281–3.
- ↑ Segre, Corrado (1892), "Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici" [La representación real de elementos complejos y entidades hiperalgebraicas], Mathematische Annalen , 40 : 413–467, doi : 10.1007 / bf01443559. (véanse especialmente las páginas 455–67)
- ^ Pei, Soo-Chang; Chang, Ja-Han; Ding, Jian-Jiun (21 de junio de 2004). "Bicuaterniones reducidos conmutativos y su transformada de Fourier para procesamiento de señales e imágenes" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . IEEE. 52 (7): 2012-2031. doi : 10.1109 / TSP.2004.828901 . ISSN 1941-0476 .
- ^ Alfsmann, Daniel (4 a 8 de septiembre de 2006). En familias de 2 N hipercompleja dimensional álgebras adecuado para el procesamiento de señal digital (PDF) . XIV Congreso Europeo de Procesamiento de Señales, Florencia, Italia: EURASIP.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Alfsmann, Daniel; Göckler, Heinz G. (2007). Sobre sistemas digitales LTI complejos hiperbólicos (PDF) . EURASIP.
Otras lecturas
- G. Baley Price (1991) Introducción a los espacios y funciones multicomplejos , Marcel DekkerISBN 0-8247-8345-X
- F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Las matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski con una introducción a los números hipercomplejos conmutativos , Birkhäuser Verlag , Basilea ISBN 978-3-7643-8613-9