En matemáticas y lógica , un teorema es un enunciado no evidente que se ha demostrado que es verdadero, ya sea sobre la base de enunciados generalmente aceptados como axiomas o sobre la base de enunciados previamente establecidos como otros teoremas. [2] [3] [4] Un teorema es, por tanto, una consecuencia lógica de los axiomas, siendo una prueba del teorema un argumento lógico que establece su verdad a través de las reglas de inferencia de un sistema deductivo.. Como resultado, la demostración de un teorema a menudo se interpreta como una justificación de la verdad del enunciado del teorema. A la luz del requisito de que los teoremas se demuestren, el concepto de teorema es fundamentalmente deductivo , en contraste con la noción de ley científica , que es experimental . [5] [6]
Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas demostraciones deducen conclusiones de condiciones conocidas como hipótesis o premisas . A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión a menudo se considera una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo, lógica no clásica ).
Aunque los teoremas se pueden escribir en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en el cálculo proposicional ), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo ocurre con las demostraciones, que a menudo se expresan como argumentos informales organizados lógicamente y claramente redactados, destinados a convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de toda duda, y a partir de los cuales, en principio, se puede construir una prueba simbólica formal.
Además de la mejor legibilidad, los argumentos informales suelen ser más fáciles de verificar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían una preferencia por una prueba que no solo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente cierto. En algunos casos, uno podría incluso fundamentar un teorema utilizando una imagen como demostración.
Dado que los teoremas se encuentran en el núcleo de las matemáticas, también son fundamentales para su estética . Los teoremas a menudo se describen como "triviales", "difíciles", "profundos" o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos varían no solo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene una demostración, se simplifica o se comprende mejor, un teorema que alguna vez fue difícil puede volverse trivial. [7] Por otro lado, un teorema profundo puede enunciarse de manera simple, pero su demostración puede involucrar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de tal teorema. [8]
Explicación informal de teoremas
Lógicamente , muchos teoremas son de la forma de un indicativo condicional : Si A, entonces B . Tal teorema no sí afirma B - solamente que B es una consecuencia necesaria de una . En este caso, A se denomina hipótesis del teorema ("hipótesis" aquí significa algo muy diferente de una conjetura ) y B la conclusión del teorema. Los dos juntos (sin la prueba) se denominan proposición o enunciado del teorema (por ejemplo, " Si A, entonces B " es la proposición ). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente , respectivamente. [9] El teorema "Si n es un número natural par , entonces n / 2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es " n es un número natural par", y la conclusión es " n / 2 es también un número natural ".
Para que un teorema pueda demostrarse, debe ser, en principio, expresable como un enunciado formal y preciso. Sin embargo, los teoremas generalmente se expresan en lenguaje natural en lugar de en una forma completamente simbólica, con la presunción de que un enunciado formal puede derivarse del informal.
Es común en matemáticas elegir una serie de hipótesis dentro de un lenguaje dado y declarar que la teoría consiste en todos los enunciados demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.
Algunos teoremas son " triviales ", en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de formas obvias y no contienen ninguna comprensión sorprendente. [10] Algunos, por otro lado, pueden ser llamados "profundos", porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema mismo, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de matemáticas. [11] Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, profundo. Un excelente ejemplo es el último teorema de Fermat , [8] y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos en teoría de números y combinatoria , entre otras áreas.
Otros teoremas tienen una prueba conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler . Se sabe que ambos teoremas son verdaderos reduciéndolos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger incluso ha llegado a afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos hayan probado. [12] Muchos teoremas matemáticos pueden reducirse a cálculos más sencillos, incluidas las identidades polinomiales, las identidades trigonométricas [13] y las identidades hipergeométricas. [14] [ página necesaria ]
Probabilidad y teorema
Para establecer un enunciado matemático como teorema, se requiere una demostración. Es decir, se debe demostrar una línea de razonamiento válida desde los axiomas y otros teoremas ya establecidos hasta el enunciado dado. En general, se considera que la demostración está separada del propio enunciado del teorema. Esto se debe en parte a que, si bien se puede conocer más de una prueba para un solo teorema, solo se requiere una prueba para establecer el estado de un enunciado como teorema. El teorema de Pitágoras y la ley de reciprocidad cuadrática compiten por el título de teorema con el mayor número de demostraciones distintas. [15] [16]
Relación con las teorías científicas
Los teoremas matemáticos y las teorías científicas son fundamentalmente diferentes en su epistemología . No se puede probar una teoría científica; su atributo clave es que es falsable , es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que se pueden comprobar mediante experimentos . Cualquier desacuerdo entre la predicción y el experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o dominio de validez. Los teoremas matemáticos, por otro lado, son enunciados formales puramente abstractos: la prueba de un teorema no puede involucrar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que dicha evidencia se usa para apoyar teorías científicas. [5]
No obstante, existe cierto grado de empirismo y recopilación de datos involucrados en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Al establecer un patrón, a veces con el uso de una computadora poderosa, los matemáticos pueden tener una idea de qué probar y, en algunos casos, incluso un plan sobre cómo comenzar a hacer la prueba. También es posible encontrar un solo contraejemplo y así establecer la imposibilidad de una prueba para la proposición tal como está enunciada, y posiblemente sugerir formas restringidas de la proposición original que podrían tener pruebas factibles.
Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz como la hipótesis de Riemann son problemas sin resolver bien conocidos; se han estudiado extensamente a través de comprobaciones empíricas, pero siguen sin demostrarse. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10 18 . Se ha verificado que la hipótesis de Riemann es válida para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta . Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son verdaderas, ninguna de estas proposiciones se considera probada.
Tal evidencia no constituye prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una afirmación sobre números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no un contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M ( n ) es igual o superior a la raíz cuadrada de n ) es conocido: todos los números menores que 10 14 tienen la propiedad de Mertens, y el número más pequeño que no tiene esta propiedad solo se sabe que es menor que el exponencial de 1.59 × 10 40 , que es aproximadamente 10 elevado a la potencia 4.3 × 10 39 . Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menos de 10 elevado a 100 (un googol ), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva .
La palabra "teoría" también existe en matemáticas, para denotar un cuerpo de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como en, por ejemplo, la teoría de grupos (ver teoría matemática ). También hay "teoremas" en la ciencia, en particular en la física, y en la ingeniería, pero a menudo tienen afirmaciones y pruebas en las que las suposiciones físicas y la intuición juegan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan tales "teoremas" son ellos mismos falsables.
Terminología
Existen varios términos diferentes para enunciados matemáticos; estos términos indican el papel que juegan las declaraciones en un tema en particular. La distinción entre diferentes términos es a veces bastante arbitraria y el uso de algunos términos ha evolucionado con el tiempo.
- Un teorema es un enunciado que se ha demostrado que es verdadero, ya sea sobre la base de enunciados generalmente aceptados, como axiomas, o sobre la base de enunciados previamente establecidos.
- Un axioma o postulado es una declaración que se acepta sin prueba y se considera fundamental para un sujeto. Históricamente, los axiomas se consideraban "evidentes por sí mismos", pero recientemente se han considerado supuestos que caracterizan el tema de estudio. En la geometría clásica, los axiomas son declaraciones generales, mientras que los postulados son declaraciones sobre objetos geométricos. [17] Una definición es otra forma de enunciado que también se acepta sin prueba, ya que simplemente da el significado de una palabra o frase en términos de conceptos conocidos.
- Una conjetura (o algunas veces una hipótesis , pero con un significado diferente al discutido anteriormente) es una declaración no probada que se cree que es cierta. Para ser considerada una conjetura, una declaración debe proponerse públicamente, en cuyo punto el nombre del proponente puede adjuntarse a la conjetura, como ocurre con la conjetura de Goldbach . Otras conjeturas famosas incluyen la conjetura de Collatz y la hipótesis de Riemann . Por otro lado, el último teorema de Fermat siempre ha sido conocido con ese nombre, incluso antes de que se probara; nunca se conoció como "la conjetura de Fermat".
- Una proposición es un teorema de menor importancia o considerado tan elemental que puede enunciarse sin prueba. También es el término para la parte de enunciado del teorema ( Si A entonces B ) que precede a la parte de prueba, y en particular los teoremas elementales a menudo se dan solo como una proposición, de ahí el nombre. Este término connota un enunciado con una prueba especialmente simple o inmediatamente obvia, mientras que el término teorema generalmente se reserva para los resultados más importantes o aquellos con pruebas largas o difíciles. Algunos autores nunca usan la palabra "proposición", mientras que otros reservan la palabra "teorema" solo para resultados fundamentales, centrales o particularmente importantes. [a]
- Un lema es un "teorema de ayuda", una proposición con poca aplicabilidad excepto que forma parte de la demostración de un teorema mayor. En algunos casos, a medida que la importancia relativa de los diferentes teoremas se vuelve más clara, lo que antes se consideraba un lema ahora se considera un teorema, aunque la palabra "lema" permanece en el nombre. Los ejemplos incluyen el lema de Gauss , lema de Zorn , y el lema fundamental .
- Un corolario es una proposición que sigue con poca o ninguna prueba requerida de otro teorema o definición. [18] También un corolario puede ser un teorema reformulado en una forma más simple, para un caso especial más restringido . Por ejemplo, el teorema de que todos los ángulos de un rectángulo son ángulos rectos tiene como corolario que todos los ángulos de un cuadrado (un caso especial de un rectángulo) son ángulos rectos .
- El inverso de un teorema es un enunciado formado al intercambiar lo que se da en un teorema y lo que se va a demostrar. Por ejemplo, el teorema del triángulo isósceles establece que si dos lados de un triángulo son iguales, entonces dos ángulos son iguales. A la inversa, lo dado (que dos lados son iguales) y lo que se va a demostrar (que dos ángulos son iguales) se intercambian, por lo que lo contrario es la afirmación de que si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces dos lados son iguales. En este ejemplo, se puede demostrar lo contrario como otro teorema, pero a menudo este no es el caso. Por ejemplo, lo opuesto al teorema de que dos ángulos rectos son ángulos iguales es la afirmación de que dos ángulos iguales deben ser ángulos rectos, y esto claramente no siempre es el caso. [19]
- Una generalización es un teorema que incluye un teorema previamente probado como un caso especial y, por tanto, como un corolario. [B]
Hay otros términos, de uso menos común, que se adjuntan convencionalmente a enunciados probados, de modo que se hace referencia a ciertos teoremas con nombres históricos o habituales. Por ejemplo:
- Una identidad es una igualdad, contenida en un teorema, entre dos expresiones matemáticas que se cumple independientemente de los valores que se utilicen para las variables o parámetros que aparecen en las expresiones (siempre que estén dentro del rango de validez). [20] Los ejemplos incluyen la fórmula de Euler y la identidad de Vandermonde .
- Una regla es un teorema, como la regla de Bayes y la regla de Cramer , que establece una fórmula útil.
- Una ley o un principio es un teorema que se aplica en una amplia gama de circunstancias. Los ejemplos incluyen la ley de los grandes números , la ley de los cosenos , la ley cero uno de Kolmogorov , el principio de Harnack , el principio del límite mínimo superior y el principio del casillero . [21]
Algunos teoremas bien conocidos tienen nombres aún más idiosincrásicos. El algoritmo de división (ver división euclidiana ) es un teorema que expresa el resultado de la división en números naturales y anillos más generales. La identidad de Bézout es un teorema que afirma que el máximo común divisor de dos números puede escribirse como una combinación lineal de estos números. La paradoja de Banach-Tarski es un teorema en la teoría de la medida que es paradójico en el sentido de que contradice las intuiciones comunes sobre el volumen en el espacio tridimensional.
Diseño
Un teorema y su demostración se presentan típicamente de la siguiente manera:
- Teorema (nombre de la persona que lo probó, junto con el año de descubrimiento o publicación de la prueba).
- Enunciado del teorema (a veces llamado proposición ).
- Prueba .
- Descripción de la prueba.
- Final
El final de la prueba puede ser señalado por las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o por una de las marcas de lápida , como "□" o "∎", que significa "Fin de la prueba", introducido por Paul Halmos después de su uso en revistas para marcar el final de un artículo. [22]
El estilo exacto depende del autor o la publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para la composición tipográfica en el estilo de la casa .
Es común que un teorema esté precedido por definiciones que describen el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. También es común que un teorema esté precedido por una serie de proposiciones o lemas que luego se usan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces se incluyen en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.
Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o directamente después de la prueba. A veces, los corolarios tienen sus propias pruebas que explican por qué se siguen del teorema.
Ciencia
Se ha estimado que cada año se prueban más de un cuarto de millón de teoremas. [23]
El conocido aforismo , "Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas" , probablemente se deba a Alfréd Rényi , aunque a menudo se atribuye al colega de Rényi Paul Erdős (y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), quien era famoso por los muchos teoremas que produjo, el número de sus colaboraciones y su consumo de café. [24]
La clasificación de los grupos simples finitos es considerada por algunos como la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas de unos 100 autores. Se cree que estos documentos juntos dan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba. [25] Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores, cuya prueba generada por computadora es demasiado larga para que la lea un humano. Es una de las demostraciones más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser fácilmente entendido por un profano. [ cita requerida ]
Teoremas de lógica
La lógica , especialmente en el campo de la teoría de la prueba , considera los teoremas como enunciados (llamados fórmulas o fórmulas bien formadas ) de un lenguaje formal. Los enunciados del lenguaje son cadenas de símbolos y pueden dividirse ampliamente en fórmulas sin sentido y bien formadas. Se debe proporcionar un conjunto de reglas de deducción , también llamadas reglas de transformación o reglas de inferencia . Estas reglas de deducción indican exactamente cuándo se puede derivar una fórmula a partir de un conjunto de premisas. El conjunto de fórmulas bien formadas se puede dividir en términos generales en teoremas y no teoremas. Sin embargo, según Hofstadter , un sistema formal a menudo simplemente define todas sus fórmulas bien formadas como teoremas. [26] [ página necesaria ]
Diferentes conjuntos de reglas de derivación dan lugar a diferentes interpretaciones de lo que significa que una expresión sea un teorema. Algunas reglas de derivación y lenguajes formales están destinados a capturar el razonamiento matemático; los ejemplos más comunes utilizan lógica de primer orden . Otros sistemas deductivos describen la reescritura de términos , como las reglas de reducción para el cálculo de λ .
La definición de teoremas como elementos de un lenguaje formal permite obtener resultados en la teoría de la prueba que estudia la estructura de las pruebas formales y la estructura de las fórmulas demostrables. El resultado más famoso son los teoremas de incompletitud de Gödel ; Al representar teoremas sobre la teoría básica de números como expresiones en un lenguaje formal, y luego representar este lenguaje dentro de la propia teoría de números, Gödel construyó ejemplos de enunciados que no son probables ni refutables a partir de axiomatizaciones de la teoría de números.
Un teorema puede expresarse en un lenguaje formal (o "formalizado"). Un teorema formal es el análogo puramente formal de un teorema. En general, un teorema formal es un tipo de fórmula bien formada que satisface ciertas condiciones lógicas y sintácticas. La notación se utiliza a menudo para indicar que es un teorema.
Los teoremas formales consisten en fórmulas de un lenguaje formal y las reglas de transformación de un sistema formal. Específicamente, un teorema formal es siempre la última fórmula de una derivación en algún sistema formal, cada fórmula del cual es una consecuencia lógica de las fórmulas que le precedieron en la derivación. Las fórmulas inicialmente aceptadas en la derivación se denominan axiomas y son la base sobre la que se deriva el teorema. Un conjunto de teoremas se llama teoría .
Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones pueden interpretarse como una prueba de la verdad de la expresión resultante. Un conjunto de teoremas formales puede denominarse teoría formal . Un teorema cuya interpretación es un enunciado verdadero sobre un sistema formal (a diferencia de un sistema formal) se denomina metateorema .
Sintaxis y semántica
El concepto de teorema formal es fundamentalmente sintáctico, en contraste con la noción de proposición verdadera, que introduce la semántica . Los diferentes sistemas deductivos pueden producir otras interpretaciones, dependiendo de las presunciones de las reglas de derivación (es decir , creencia , justificación u otras modalidades ). La solidez de un sistema formal depende de si todos sus teoremas son también válidos o no . Una validez es una fórmula que es verdadera bajo cualquier interpretación posible (por ejemplo, en la lógica proposicional clásica, las validez son tautologías ). Un sistema formal se considera semánticamente completo cuando todos sus teoremas son también tautologías.
Derivación de un teorema
La noción de teorema está estrechamente relacionada con su demostración formal (también llamada "derivación"). Como ilustración, considere un sistema formal muy simplificadocuyo alfabeto consta de solo dos símbolos { A , B }, y cuya regla de formación para fórmulas es:
- Cualquier cadena de símbolos de que tenga al menos tres símbolos y no sea infinitamente largo, es una fórmula. Nada más es una fórmula.
El único axioma de es:
- ABBA .
La única regla de inferencia (regla de transformación) para es:
- Cualquier ocurrencia de " A " en un teorema puede ser reemplazada por una ocurrencia de la cadena " AB " y el resultado es un teorema.
Teoremas en se definen como aquellas fórmulas que tienen una derivación que termina con él. Por ejemplo,
- ABBA (dado como axioma)
- ABBBA (aplicando la regla de transformación)
- ABBBAB (aplicando la regla de transformación)
es una derivación. Por lo tanto, " ABBBAB " es un teorema deLa noción de verdad (o falsedad) no se puede aplicar a la fórmula " ABBBAB " hasta que se dé una interpretación a sus símbolos. Así, en este ejemplo, la fórmula aún no representa una proposición, sino que es simplemente una abstracción vacía.
Dos metateoremas de están:
- Todo teorema comienza con " A ".
- Cada teorema tiene exactamente dos " A ".
Interpretación de un teorema formal
Teoremas y teorías
Ver también
- Lista de teoremas
- Teorema fundamental
- Fórmula
- Inferencia
- Teorema del juguete
Notas
- ↑ Sin embargo, en geometría clásica, el término "proposición" se usaba de manera diferente: enlos Elementos de Euclides ( c. 300 a . C. ), todos los teoremas y construcciones geométricas se llamaban "proposiciones" independientemente de su importancia; probablemente "proposición" se entendió en el sentido de la parte de sólo enunciado de un teorema, que se presenta como un objetivo antes de que se resuelva la demostración misma.
- ^ A menudo, cuando el teorema menos general o similar al "corolario" se demuestra primero, es porque la demostración de la forma más general requiere la forma más simple, similar al corolario, para usarla como un lema funcionalmente "teorema.
Referencias
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- ^ Sin embargo, tanto los teoremas como la ley científica son el resultado de investigaciones. Véase laIntroducción de Heath 1897 , La terminología de Arquímedes , p. clxxxii: "teorema (θεὼρνμα) de θεωρεἳν para investigar"
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Referencias
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- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B . AK Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6.
enlaces externos
- Medios relacionados con los teoremas en Wikimedia Commons
- Weisstein, Eric W. "Teorema" . MathWorld .
- Teorema del día