Problema de tres cuerpos

Problema de física relacionado con las leyes del movimiento y la gravedad.

Este artículo trata sobre la teoría de la física y la mecánica clásica. Para la novela de ciencia ficción china de Liu Cixin, consulte El problema de los tres cuerpos (novela) . Para otros usos, consulte Problema de tres cuerpos (desambiguación) .

Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos ubicados en los vértices de un triángulo escaleno y que tienen velocidades iniciales cero. Se ve que el centro de masa , de acuerdo con la ley de conservación de la cantidad de movimiento , permanece en su lugar.

En física y mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos es el problema de tomar las posiciones y velocidades iniciales (o momentos ) de tres masas puntuales y resolver su movimiento subsiguiente de acuerdo con las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . ^[1] El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos . A diferencia de los problemas de dos cuerpos , no existe una solución general de forma cerrada , ^[1] ya que el sistema dinámico resultante es caótico para la mayoríaGeneralmente se requieren condiciones iniciales y métodos numéricos .

Históricamente, el primer problema específico de tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucraba a la Luna , la Tierra y el Sol . ^[2] En un sentido moderno extendido, un problema de tres cuerpos es cualquier problema en mecánica clásica o mecánica cuántica que modela el movimiento de tres partículas.

Descripción matemática

El enunciado matemático del problema de los tres cuerpos se puede dar en términos de las ecuaciones newtonianas de movimiento para las posiciones vectoriales de tres cuerpos que interactúan gravitacionalmente con masas :${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$

donde es la constante gravitacional . ^{[3] [4]} Este es un conjunto de 9 ecuaciones diferenciales de segundo orden . El problema también se puede plantear de manera equivalente en el formalismo hamiltoniano , en cuyo caso se describe mediante un conjunto de 18 ecuaciones diferenciales de primer orden, una para cada componente de las posiciones y momentos :${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$

donde está el hamiltoniano :${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

En este caso es simplemente la energía total del sistema, gravitacional más cinética.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Problema restringido de tres cuerpos

El problema circular restringido de tres cuerpos es una aproximación válida de las órbitas elípticas que se encuentran en el Sistema Solar , y esto se puede visualizar como una combinación de los potenciales debidos a la gravedad de los dos cuerpos primarios junto con el efecto centrífugo de su rotación ( Coriolis los efectos son dinámicos y no se muestran). Los puntos de Lagrange pueden verse como los cinco lugares donde el gradiente en la superficie resultante es cero (mostrados como líneas azules), lo que indica que las fuerzas están en equilibrio allí.

En el problema restringido de los tres cuerpos , ^[3] un cuerpo de masa insignificante (el "planetoide") se mueve bajo la influencia de dos cuerpos masivos. Al tener una masa despreciable, la fuerza que ejerce el planetoide sobre los dos cuerpos masivos puede despreciarse y el sistema puede analizarse y, por tanto, describirse en términos de un movimiento de dos cuerpos. Por lo general, se considera que este movimiento de dos cuerpos consiste en órbitas circulares alrededor del centro de masa , y se supone que el planetoide se mueve en el plano definido por las órbitas circulares.

El problema restringido de los tres cuerpos es más fácil de analizar teóricamente que el problema completo. También es de interés práctico ya que describe con precisión muchos problemas del mundo real, siendo el ejemplo más importante el sistema Tierra-Luna-Sol. Por estas razones, ha ocupado un papel importante en el desarrollo histórico del problema de los tres cuerpos.

Matemáticamente, el problema se plantea de la siguiente manera. Sean las masas de los dos cuerpos masivos, con coordenadas (planas) y , y sean las coordenadas del planetoide. Para simplificar, elija unidades tales que la distancia entre los dos cuerpos masivos, así como la constante gravitacional, sean ambos iguales a . Entonces, el movimiento del planetoide viene dado por${\displaystyle m_{1,2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}}\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$

donde . De esta forma, las ecuaciones de movimiento tienen una dependencia temporal explícita a través de las coordenadas . Sin embargo, esta dependencia del tiempo se puede eliminar mediante una transformación en un marco de referencia giratorio, lo que simplifica cualquier análisis posterior.${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

Soluciones

Solución general

No existe una solución general de forma cerrada para el problema de tres cuerpos, ^[1] lo que significa que no hay una solución general que pueda expresarse en términos de un número finito de operaciones matemáticas estándar. Además, el movimiento de tres cuerpos generalmente no se repite, excepto en casos especiales. ^[5]

Sin embargo, en 1912, el matemático finlandés Karl Fritiof Sundman demostró que existe una solución analítica al problema de los tres cuerpos en la forma de una serie de potencias en términos de potencias de t ^1/3 . ^[6] Esta serie converge para todo t real , excepto para las condiciones iniciales correspondientes a momento angular cero. En la práctica, la última restricción es insignificante ya que las condiciones iniciales con momento angular cero son raras, ya que Lebesgue mide cero.

Una cuestión importante para probar este resultado es el hecho de que el radio de convergencia de esta serie está determinado por la distancia a la singularidad más cercana. Por tanto, es necesario estudiar las posibles singularidades de los problemas de los tres cuerpos. Como se discutirá brevemente a continuación, las únicas singularidades en el problema de los tres cuerpos son las colisiones binarias (colisiones entre dos partículas en un instante) y las colisiones triples (colisiones entre tres partículas en un instante).

Las colisiones, ya sean binarias o triples (de hecho, cualquier número), son algo improbables, ya que se ha demostrado que corresponden a un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. Sin embargo, no se conoce ningún criterio para poner en el estado inicial para evitar colisiones para la solución correspondiente. Entonces, la estrategia de Sundman consistió en los siguientes pasos:

1. Utilizar un cambio de variables adecuado para seguir analizando la solución más allá de la colisión binaria, en un proceso conocido como regularización .
2. Demostrando que las colisiones triples solo ocurren cuando el momento angular L desaparece. Al restringir los datos iniciales a L ≠ 0 , eliminó todas las singularidades reales de las ecuaciones transformadas para el problema de tres cuerpos.
3. Demostrando que si L ≠ 0 , entonces no solo no puede haber una triple colisión, sino que el sistema está estrictamente limitado a una triple colisión. Esto implica, utilizando el teorema de existencia de Cauchy para ecuaciones diferenciales, que no hay singularidades complejas en una franja (dependiendo del valor de L ) en el plano complejo centrado alrededor del eje real (sombras de Kovalevskaya ).
4. Encuentre una transformación conforme que mapee esta tira en el disco unitario. Por ejemplo, si s = t ^1/3 (la nueva variable después de la regularización) y si | ln s | ≤ β , ^{[ aclaración necesaria ]} entonces este mapa viene dado por

${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$

Con esto finaliza la demostración del teorema de Sundman.

Desafortunadamente, la serie correspondiente converge muy lentamente. Es decir, obtener un valor de precisión significativa requiere tantos términos que esta solución tiene poca utilidad práctica. De hecho, en 1930, David Beloriszky calculó que si la serie de Sundman se usara para observaciones astronómicas, entonces los cálculos involucrarían al menos 10^{8 000 000 de} términos. ^[7]

Soluciones para casos especiales

En 1767, Leonhard Euler encontró tres familias de soluciones periódicas en las que las tres masas son colineales en cada instante. Vea el problema de los tres cuerpos de Euler .

En 1772, Lagrange encontró una familia de soluciones en las que las tres masas forman un triángulo equilátero en cada instante. Junto con las soluciones colineales de Euler, estas soluciones forman las configuraciones centrales para el problema de los tres cuerpos. Estas soluciones son válidas para cualquier relación de masas, y las masas se mueven en elipses de Kepler . Estas cuatro familias son las únicas soluciones conocidas para las que existen fórmulas analíticas explícitas. En el caso especial del problema circular restringido de tres cuerpos , estas soluciones, vistas en un marco que gira con las primarias, se convierten en puntos que se denominan L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ y L _5., y se denominan puntos lagrangianos , siendo L ₄ y L ₅ instancias simétricas de la solución de Lagrange.

En un trabajo resumido en 1892-1899, Henri Poincaré estableció la existencia de un número infinito de soluciones periódicas al problema restringido de tres cuerpos, junto con técnicas para continuar con estas soluciones en el problema general de tres cuerpos.

En 1893, Meissel planteó lo que ahora se llama el problema pitagórico de los tres cuerpos: tres masas en la proporción 3: 4: 5 se colocan en reposo en los vértices de un triángulo rectángulo 3: 4: 5 . Burrau ^[8] investigó más a fondo este problema en 1913. En 1967, Victor Szebehely y C. Frederick Peters establecieron un escape eventual para este problema utilizando la integración numérica, mientras que al mismo tiempo encontraban una solución periódica cercana. ^[9]

En la década de 1970, Michel Hénon y Roger A. Broucke encontraron cada uno un conjunto de soluciones que forman parte de la misma familia de soluciones: la familia Broucke-Henon-Hadjidemetriou. En esta familia, los tres objetos tienen la misma masa y pueden exhibir formas tanto retrógradas como directas. En algunas de las soluciones de Broucke, dos de los cuerpos siguen el mismo camino. ^[10]

Una animación de la solución de la figura 8 al problema de los tres cuerpos durante un solo período T ≃ 6.3259. ^[11]

En 1993, el físico Cris Moore del Instituto Santa Fe descubrió numéricamente una solución de momento angular cero con tres masas iguales que se movían alrededor de una forma de ocho . ^[12] Su existencia formal fue probada más tarde en 2000 por los matemáticos Alain Chenciner y Richard Montgomery. ^{[13] [14]} Se ha demostrado numéricamente que la solución es estable para pequeñas perturbaciones de los parámetros de masa y orbitales, lo que plantea la intrigante posibilidad de que tales órbitas puedan observarse en el universo físico. Sin embargo, se ha argumentado que esta ocurrencia es poco probable ya que el dominio de la estabilidad es pequeño. Por ejemplo, la probabilidad de un evento de dispersión binario-binario ^{[aclaración necesaria ] que}resulta en una órbita en forma de 8 se ha estimado en una pequeña fracción del 1%. ^[15]

En 2013, los físicos Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović del Instituto de Física de Belgrado descubrieron 13 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa de momento angular cero. ^{[5] [10]}

En 2015, la física Ana Hudomal descubrió 14 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de igual masa de momento angular cero. ^[dieciséis]

En 2017, los investigadores Xiaoming Li y Shijun Liao encontraron 669 nuevas órbitas periódicas del problema de tres cuerpos de igual masa de momento angular cero. ^{[17] A} esto le siguieron en 2018 1223 nuevas soluciones adicionales para un sistema de momento cero de masas desiguales. ^[18]

En 2018, Li y Liao informaron de 234 soluciones al problema de tres cuerpos de "caída libre" de masa desigual. ^[19] La formulación de caída libre del problema de los tres cuerpos comienza con los tres cuerpos en reposo. Debido a esto, las masas en una configuración de caída libre no orbitan en un "bucle" cerrado, sino que viajan hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una "pista" abierta.

Enfoques numéricos

Utilizando una computadora, el problema puede resolverse con una precisión arbitrariamente alta mediante la integración numérica, aunque la alta precisión requiere una gran cantidad de tiempo de CPU. En 2019, Breen et al. anunció un solucionador de redes neuronales rápido , entrenado mediante un integrador numérico. ^[20]

Historia

El problema gravitacional de tres cuerpos en su sentido tradicional data en esencia de 1687, cuando Isaac Newton publicó sus Principia ( Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ). En la Proposición 66 del Libro 1 de los Principia , y sus 22 Corolarios, Newton dio los primeros pasos en la definición y estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos masivos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuamente perturbadoras. En las Proposiciones 25 a 35 del Libro 3, Newton también dio los primeros pasos al aplicar sus resultados de la Proposición 66 a la teoría lunar , el movimiento de la Luna bajo la influencia gravitacional de la Tierra y el Sol.

El problema físico fue abordado por Amerigo Vespucci y posteriormente por Galileo Galilei ; en 1499, Vespucci utilizó el conocimiento de la posición de la Luna para determinar su posición en Brasil. Cobró importancia técnica en la década de 1720, ya que una solución precisa sería aplicable a la navegación, específicamente para la determinación de la longitud en el mar , resuelta en la práctica por la invención del cronómetro marino por John Harrison . Sin embargo, la precisión de la teoría lunar fue baja, debido al efecto perturbador del Sol y los planetas sobre el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert y Alexis Clairaut , quienes desarrollaron una rivalidad de larga data, intentaron analizar el problema con cierto grado de generalidad; presentaron sus primeros análisis en competencia a la Académie Royale des Sciences en 1747. ^[21] Fue en relación con su investigación, en París durante la década de 1740, que comenzó el nombre "problema de los tres cuerpos" ( francés : Problème des trois Corps ) para ser de uso común. Un relato publicado en 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que el nombre se utilizó por primera vez en 1747. ^[22]

Otros problemas relacionados con tres cuerpos

El término "problema de tres cuerpos" se utiliza a veces en el sentido más general para referirse a cualquier problema físico que implique la interacción de tres cuerpos.

Un análogo de la mecánica cuántica del problema gravitacional de los tres cuerpos en la mecánica clásica es el átomo de helio , en el que un núcleo de helio y dos electrones interactúan de acuerdo con la interacción de Coulomb inverso al cuadrado . Al igual que el problema gravitacional de los tres cuerpos, el átomo de helio no se puede resolver con exactitud. ^[23]

Sin embargo, tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, existen leyes de interacción no triviales, además de la fuerza del cuadrado inverso, que conducen a soluciones analíticas exactas de tres cuerpos. Uno de estos modelos consiste en una combinación de atracción armónica y una fuerza de cubo inverso repulsiva. ^[24] Este modelo se considera no trivial ya que está asociado con un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que contienen singularidades (en comparación con, por ejemplo, interacciones armónicas solas, que conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de fácil resolución). En estos dos aspectos, es análogo a los modelos (insolubles) que tienen interacciones de Coulomb y, como resultado, se ha sugerido como una herramienta para comprender intuitivamente sistemas físicos como el átomo de helio. ^{[24] [25]}

El problema gravitacional de los tres cuerpos también se ha estudiado utilizando la relatividad general . Físicamente, un tratamiento relativista se vuelve necesario en sistemas con campos gravitacionales muy fuertes, como cerca del horizonte de eventos de un agujero negro . Sin embargo, el problema relativista es considerablemente más difícil que en la mecánica newtoniana y se requieren sofisticadas técnicas numéricas . Incluso el problema completo de dos cuerpos (es decir, para una relación arbitraria de masas) no tiene una solución analítica rigurosa en la relatividad general. ^[26]

problema de n -body

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos , que describe cómo n objetos se moverán bajo una de las fuerzas físicas, como la gravedad. Estos problemas tienen una solución analítica global en la forma de una serie de potencias convergentes, como lo demostró Karl F. Sundman para n = 3 y Qiudong Wang para n > 3 (ver el problema de n cuerpos para más detalles). Sin embargo, las series de Sundman y Wang convergen tan lentamente que son inútiles para fines prácticos; ^[27] por lo tanto, actualmente es necesario aproximar soluciones mediante análisis numérico en forma deintegración numérica o, en algunos casos, aproximaciones clásicas de series trigonométricas (ver simulación de n cuerpos ). Los sistemas atómicos, por ejemplo, átomos, iones y moléculas, pueden tratarse en términos del problema cuántico de n cuerpos. Entre los sistemas físicos clásicos, el problema de los n cuerpos generalmente se refiere a una galaxia o un cúmulo de galaxias ; Los sistemas planetarios, como las estrellas, los planetas y sus satélites, también pueden tratarse como sistemas de n cuerpos. Algunas aplicaciones se tratan convenientemente mediante perturbaciones. teoría, en la que el sistema se considera como un problema de dos cuerpos más fuerzas adicionales que causan desviaciones de una trayectoria hipotética imperturbable de dos cuerpos.

En la cultura popular

El primer volumen de autor chino Liu Cixin 's busca del pasado de la Tierra trilogía se titula El problema de tres cuerpos y cuenta con el problema de los tres cuerpos como un elemento de la trama central. ^[28]

Ver también

• Michael Minovitch
• Asistencia de gravedad
• Transferencia de baja energía
• Sistemas de pocos cuerpos
• simulación de n- cuerpos
• Formación y evolución de galaxias
• Sistema de estrella triple
• Problema de Sitnikov

Referencias

1. Barrow-Green, junio (2008), "El problema de los tres cuerpos", en Gowers, Timothy; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 726–728
2. "Notas históricas: problema de tres cuerpos" . Consultado el 19 de julio de 2017 .
3. Barrow-Green, junio (1997). Poincaré y el problema de los tres cuerpos . American Mathematical Soc. págs. 8-12. Bibcode : 1997ptbp.book ..... B . ISBN 978-0-8218-0367-7.
4. El problema de los tres cuerpos
5. Cartwright, Jon (8 de marzo de 2013). "Los físicos descubren 13 nuevas soluciones al problema de tres cuerpos" . Science Now . Consultado el 4 de abril de 2013 .
6. Barrow-Green, J. (2010). El episodio dramático de Sundman , Historia Mathematica 37, págs. 164-203.
7. Beloriszky, D. (1930). "Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Bulletin Astronomique . Serie 2. 6 : 417–434. Código Bibliográfico : 1930BuAst ... 6..417B .
8. Burrau (1913). "Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems" . Astronomische Nachrichten . 195 (6): 113-118. Código bibliográfico : 1913AN .... 195..113B . doi : 10.1002 / asna.19131950602 .
9. Victor Szebehely; C. Frederick Peters (1967). "Solución completa de un problema general de tres cuerpos". Revista astronómica . 72 : 876. Código Bibliográfico : 1967AJ ..... 72..876S . doi : 10.1086 / 110355 .
10. Šuvakov, M .; Dmitrašinović, V. "Galería de tres cuerpos" . Consultado el 12 de agosto de 2015 .
11. Aquí, la constante gravitacional G se ha establecido en 1, y las condiciones iniciales son r ₁ (0) = - r ₃ (0) = (−0,97000436, 0,24308753); r ₂ (0) = (0,0); v ₁ (0) = v ₃ (0) = (0,4662036850, 0,4323657300); v ₂ (0) = (−0,93240737, −0,86473146). Los valores se obtienen de Chenciner & Montgomery (2000).
12. Moore, Cristopher (1993), "Trenzas en dinámica clásica" (PDF) , Physical Review Letters , 70 (24): 3675–3679, Bibcode : 1993PhRvL..70.3675M , doi : 10.1103 / PhysRevLett.70.3675 , PMID 10053934  
13. Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "Una notable solución periódica del problema de los tres cuerpos en el caso de masas iguales". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 152 (3): 881–902. arXiv : matemáticas / 0011268 . Bibcode : 2000math ..... 11268C . doi : 10.2307 / 2661357 . JSTOR 2661357 . S2CID 10024592 .  
14. Montgomery, Richard (2001), "Una nueva solución al problema de tres cuerpos" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 48 : 471–481
15. Heggie, Douglas C. (2000), "Un nuevo resultado de la dispersión binario-binario", Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , 318 (4): L61-L63, arXiv : astro-ph / 9604016 , Bibcode : 2000MNRAS. 318L..61H , doi : 10.1046 / j.1365-8711.2000.04027.x
16. Hudomal, Ana (octubre de 2015). "Nuevas soluciones periódicas al problema de los tres cuerpos y las ondas gravitacionales" (PDF) . Tesis de Maestría en Ciencias en la Facultad de Física de la Universidad de Belgrado . Consultado el 5 de febrero de 2019 .
17. Li, Xiaoming; Liao, Shijun (diciembre de 2017). "Más de seiscientas nuevas familias de órbitas planas periódicas de tres cuerpos sin colisión newtoniana". Science China Física, Mecánica y Astronomía . 60 (12): 129511. arXiv : 1705.00527 . Código Bibliográfico : 2017SCPMA..60l9511L . doi : 10.1007 / s11433-017-9078-5 . ISSN 1674-7348 . S2CID 84838204 .  
18. Li, Xiaoming; Jing, Yipeng; Liao, Shijun (13 de septiembre de 2017). "Las 1223 nuevas órbitas periódicas del problema plano de tres cuerpos con masa desigual y momento angular cero". arXiv : 1709.04775 . doi : 10.1093 / pasj / psy057 .
19. Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2019). "Órbitas periódicas sin colisión en el problema de tres cuerpos de caída libre". Nueva Astronomía . 70 : 22-26. arXiv : 1805.07980 . Código Bib : 2019NewA ... 70 ... 22L . doi : 10.1016 / j.newast.2019.01.003 . S2CID 89615142 . 
20. Breen, Philip G .; Foley, Christopher N .; Boekholt, Tjarda; Portegies Zwart, Simon (2019). "Newton vs la máquina: resolver el problema caótico de tres cuerpos utilizando redes neuronales profundas". arXiv : 1910.07291 . doi : 10.1093 / mnras / staa713 . S2CID 204734498 . 
21. Las memorias de 1747 de ambas partes se pueden leer en el volumen de Histoires (incluidas Mémoires ) de la Académie Royale des Sciences de 1745 (publicado tardíamente en París en 1749) (en francés):

    Clairaut: "Sobre el sistema del mundo, según los principios de la gravitación universal" (págs. 329–364); y

    d'Alembert: "Método general para determinar las órbitas y los movimientos de todos los planetas, teniendo en cuenta sus acciones mutuas" (en págs. 365–390).

    La peculiar datación se explica por una nota impresa en la página 390 de la sección "Memorias": "Aunque las memorias precedentes, de los señores Clairaut y d'Alembert, sólo se leyeron durante el curso de 1747, se consideró apropiado publicar ellos en el volumen de este año "(es decir, el volumen dedicado a las actas de 1745, pero publicado en 1749).
22. Jean le Rond d'Alembert , en un artículo de 1761 que revisa la historia matemática del problema, menciona que Euler había dado un método para integrar una cierta ecuación diferencial "en 1740 (siete años antes de que surgiera la cuestión del Problema de los tres cuerpos ) ": véase d'Alembert," Opuscules Mathématiques ", vol. 2, París 1761, Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") págs. 329–312, en sec. VIP. 245.
23. Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. pag. 311. ISBN 978-0-13-111892-8. OCLC  40251748 .
24. Crandall, R .; Whitnell, R .; Bettega, R. (1984). "Modelo atómico de dos electrones exactamente soluble". Revista estadounidense de física . 52 (5): 438–442. Código bibliográfico : 1984AmJPh..52..438C . doi : 10.1119 / 1.13650 .
25. Calogero, F. (1969). "Solución de un problema de tres cuerpos en una dimensión". Revista de Física Matemática . 10 (12): 2191–2196. Código bibliográfico : 1969JMP .... 10.2191C . doi : 10.1063 / 1.1664820 .
26. Musielak, ZE; Quarles, B (2014). "El problema de los tres cuerpos". Informes sobre avances en física . 77 (6): 065901. arXiv : 1508.02312 . Código Bibliográfico : 2014RPPh ... 77f5901M . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 77/6/065901 . ISSN 0034-4885 . PMID 24913140 . S2CID 38140668 .   
27. Florin Diacu . "La solución del problema de los n cuerpos" , The Mathematical Intelligencer , 1996.
28. Qin, Amy (10 de noviembre de 2014). "En un mundo revuelto, China se calienta con la ciencia ficción" . The New York Times . Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2019 . Consultado el 5 de febrero de 2020 .

Lectura adicional

• Poincaré, H. (1967). Nuevos métodos de mecánica celeste, 3 vols. (Traducción al inglés) . Instituto Americano de Física. ISBN 978-1-56396-117-5.
• Aarseth, SJ (2003). Simulaciones gravitacionales de n-cuerpos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43272-6.
• Bagla, JS (2005). "Simulación cosmológica de cuerpos N: técnicas, alcance y estado". Ciencia actual . 88 : 1088-1100. arXiv : astro-ph / 0411043 . Código bibliográfico : 2005CSci ... 88.1088B .
• Chambers, JE; Wetherill, GW (1998). "Hacer los planetas terrestres: integraciones de N-cuerpo de embriones planetarios en tres dimensiones". Ícaro . 136 (2): 304–327. Código Bibliográfico : 1998Icar..136..304C . CiteSeerX  10.1.1.64.7797 . doi : 10.1006 / icar.1998.6007 .
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Enlaces externos

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• Los físicos descubren la friolera de 13 nuevas soluciones para problemas de tres cuerpos ( ciencia )