El espacio tridimensional (también: el espacio 3D , 3-espacio o, raramente, tri-dimensional espacio ) es una configuración geométrica en la que tres valores (llamados parámetros son necesarios) para determinar la posición de un elemento (es decir, punto ). Este es el significado informal del término dimensión .
En matemáticas , una secuencia de n números puede entenderse como una ubicación en un espacio n -dimensional. Cuando n = 3 , el conjunto de todas esas ubicaciones se llamaespacio euclidiano tridimensional (o simplemente espacio euclidiano cuando el contexto es claro). Comúnmente se representa con el símbolo ℝ 3 . [1] [2] Esto sirve como un modelo de tres parámetros del universo físico (es decir, la parte espacial, sin considerar el tiempo), en el que existe toda la materia conocida . Si bien este espacio sigue siendo la forma más convincente y útil de modelar el mundo tal como se experimenta, [3] es solo un ejemplo de una gran variedad de espacios en tres dimensiones llamados 3-variedades . En este ejemplo clásico, cuando los tres valores se refieren a mediciones en diferentes direcciones ( coordenadas ), se pueden elegir tres direcciones cualesquiera, siempre que los vectores en estas direcciones no se encuentren todos en el mismo 2-espacio ( plano ). Además, en este caso, estos tres valores se pueden etiquetar mediante cualquier combinación de tres elegidos entre los términos ancho , alto , profundidad y largo .
En geometría euclidiana
Sistemas coordinados
En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio tridimensional por medio de tres coordenadas. Se dan tres ejes de coordenadas , cada uno perpendicular a los otros dos en el origen , el punto en el que se cruzan. Por lo general, se denominan x , y y z . En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional está dada por un triple ordenado de números reales , cada número indica la distancia de ese punto desde el origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese eje. punto del plano determinado por los otros dos ejes. [4]
Otros métodos populares para describir la ubicación de un punto en el espacio tridimensional incluyen coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas , aunque hay un número infinito de métodos posibles. Para obtener más información, consulte Espacio euclidiano .
A continuación se muestran imágenes de los sistemas mencionados anteriormente.
Lineas y planos
Siempre dos puntos distintos determinan un (recta) línea . Tres puntos distintos son colineales o determinan un plano único. Por otro lado, cuatro puntos distintos pueden ser colineales, coplanares o determinar todo el espacio.
Dos líneas distintas pueden cruzarse, ser paralelas o estar sesgadas . Dos líneas paralelas, o dos líneas que se cruzan , se encuentran en un plano único, por lo que las líneas inclinadas son líneas que no se encuentran y no se encuentran en un plano común.
Dos planos distintos pueden encontrarse en una línea común o son paralelos (es decir, no se encuentran). Tres planos distintos, ningún par de los cuales es paralelo, pueden encontrarse en una línea común, encontrarse en un punto común único o no tener ningún punto en común. En el último caso, las tres líneas de intersección de cada par de planos son mutuamente paralelas.
Una línea puede estar en un plano dado, cruzar ese plano en un punto único o ser paralela al plano. En el último caso, habrá líneas en el plano que sean paralelas a la línea dada.
Un hiperplano es un subespacio de una dimensión menor que la dimensión del espacio completo. Los hiperplanos de un espacio tridimensional son los subespacios bidimensionales, es decir, los planos. En términos de coordenadas cartesianas, los puntos de un hiperplano satisfacen una única ecuación lineal , por lo que los planos en este espacio tridimensional se describen mediante ecuaciones lineales. Una línea se puede describir mediante un par de ecuaciones lineales independientes, cada una de las cuales representa un plano que tiene esta línea como intersección común.
El teorema de Varignon establece que los puntos medios de cualquier cuadrilátero en ℝ 3 forman un paralelogramo y, por lo tanto, son coplanares.
Esferas y bolas
Una esfera en 3-espacio (también llamado 2-esfera porque es un objeto de 2 dimensiones) consiste en el conjunto de todos los puntos en 3-espacio a una distancia fija r desde un punto central P . El sólido encerrado por la esfera se llama bola (o, más precisamente, 3 bolas ). El volumen de la pelota viene dado por
- .
Otro tipo de esfera surge de una bola de 4, cuya superficie tridimensional es la esfera de 3 : puntos equidistantes al origen del espacio euclidiano ℝ 4 . Si un punto tiene coordenadas, P ( x , y , z , w ) , entonces x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 caracteriza esos puntos en la esfera de la unidad 3 centrada en el origen.
Politopos
En tres dimensiones, hay nueve politopos regulares: los cinco sólidos platónicos convexos y los cuatro poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
Clase | Sólidos platónicos | Poliedros de Kepler-Poinsot | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetría | T d | O h | Yo h | ||||||
Grupo Coxeter | A 3 , [3,3] | B 3 , [4,3] | H 3 , [5,3] | ||||||
Pedido | 24 | 48 | 120 | ||||||
Poliedro regular | {3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} | {5 / 2,5} | {5,5 / 2} | {5 / 2,3} | {3,5 / 2} |
Superficies de revolución
Una superficie generada al hacer girar una curva plana alrededor de una línea fija en su plano como eje se llama superficie de revolución . La curva plana se llama generatriz de la superficie. Una sección de la superficie, hecha al cruzar la superficie con un plano que es perpendicular (ortogonal) al eje, es un círculo.
Los ejemplos simples ocurren cuando la generatriz es una línea. Si la línea de la generatriz se cruza con la línea del eje, la superficie de revolución es un cono circular recto con el vértice (vértice) el punto de intersección. Sin embargo, si la generatriz y el eje son paralelos, entonces la superficie de revolución es un cilindro circular .
Superficies cuadráticas
En analogía con las secciones cónicas , el conjunto de puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación general de segundo grado, a saber,
donde A , B , C , F , G , H , J , K , L y M son números reales y no todos los de A , B , C , F , G y H son cero, se llama superficie cuádrica . [5]
Hay seis tipos de superficies cuádricas no degeneradas :
- Elipsoide
- Hiperboloide de una hoja
- Hiperboloide de dos hojas
- Cono elíptico
- Paraboloide elíptico
- Paraboloide hiperbólico
Las superficies cuadráticas degeneradas son el conjunto vacío, un solo punto, una sola línea, un solo plano, un par de planos o un cilindro cuadrático (una superficie que consta de una sección cónica no degenerada en un plano π y todas las líneas de ℝ 3 a través de esa cónica que son normales a π ). [5] Los conos elípticos a veces también se consideran superficies cuadráticas degeneradas.
Tanto el hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies regladas , lo que significa que pueden estar formadas por una familia de líneas rectas. De hecho, cada uno tiene dos familias de líneas generadoras, los miembros de cada familia son disjuntos y cada miembro de una familia se cruza, con una sola excepción, con cada miembro de la otra familia. [6] Cada familia se llama regulus .
En álgebra lineal
Otra forma de ver el espacio tridimensional se encuentra en el álgebra lineal , donde la idea de independencia es crucial. El espacio tiene tres dimensiones porque la longitud de una caja es independiente de su ancho o ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el espacio es tridimensional porque cada punto en el espacio puede describirse mediante una combinación lineal de tres vectores independientes .
Producto escalar, ángulo y longitud
Un vector se puede representar como una flecha. La magnitud del vector es su longitud y su dirección es la dirección que señala la flecha. Un vector en ℝ 3 se puede representar mediante un triple ordenado de números reales. Estos números se denominan componentes del vector.
El producto escalar de dos vectores A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] y B = [ B 1 , B 2 , B 3 ] se define como: [7]
La magnitud de un vector A se denota por || A || . El producto escalar de un vector A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] consigo mismo es
lo que da
la fórmula para la longitud euclidiana del vector.
Sin referencia a las componentes de los vectores, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B distintos de cero viene dado por [8]
donde θ es el ángulo entre A y B .
Producto cruzado
El producto cruzado o producto vectorial es una operación binaria sobre dos vectores en un espacio tridimensional y se denota con el símbolo ×. La cruz producto un × b de los vectores a y b es un vector que es perpendicular a ambos y por lo tanto, lo normal al plano que las contiene. Tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería .
El espacio y el producto forman un álgebra sobre un campo , que no es conmutativo ni asociativo , pero es un álgebra de Lie con el producto cruzado como el corchete de Lie.
Se puede tomar en n dimensiones el producto de n - 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, existe solo en tres y siete dimensiones . [9]
En cálculo
Gradiente, divergencia y rizo
En un sistema de coordenadas rectangular, el gradiente viene dado por
La divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable F = U i + V j + W k es igual a la función escalar :
Expandido en coordenadas cartesianas (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), el rizo ∇ × F es, para F compuesto de [ F x , F y , F z ]:
where i, j, and k are the unit vectors for the x-, y-, and z-axes, respectively. This expands as follows:[10]
Line integrals, surface integrals, and volume integrals
For some scalar field f : U ⊆ Rn → R, the line integral along a piecewise smooth curve C ⊂ U is defined as
where r: [a, b] → C is an arbitrary bijective parametrization of the curve C such that r(a) and r(b) give the endpoints of C and .
For a vector field F : U ⊆ Rn → Rn, the line integral along a piecewise smooth curve C ⊂ U, in the direction of r, is defined as
where · is the dot product and r: [a, b] → C is a bijective parametrization of the curve C such that r(a) and r(b) give the endpoints of C.
A surface integral is a generalization of multiple integrals to integration over surfaces. It can be thought of as the double integral analog of the line integral. To find an explicit formula for the surface integral, we need to parameterize the surface of interest, S, by considering a system of curvilinear coordinates on S, like the latitude and longitude on a sphere. Let such a parameterization be x(s, t), where (s, t) varies in some region T in the plane. Then, the surface integral is given by
where the expression between bars on the right-hand side is the magnitude of the cross product of the partial derivatives of x(s, t), and is known as the surface element. Given a vector field v on S, that is a function that assigns to each x in S a vector v(x), the surface integral can be defined component-wise according to the definition of the surface integral of a scalar field; the result is a vector.
A volume integral refers to an integral over a 3-dimensional domain.
It can also mean a triple integral within a region D in R3 of a function and is usually written as:
Fundamental theorem of line integrals
The fundamental theorem of line integrals, says that a line integral through a gradient field can be evaluated by evaluating the original scalar field at the endpoints of the curve.
Let . Then
Stokes' theorem
Stokes' theorem relates the surface integral of the curl of a vector field F over a surface Σ in Euclidean three-space to the line integral of the vector field over its boundary ∂Σ:
Divergence theorem
Suppose V is a subset of (in the case of n = 3, V represents a volume in 3D space) which is compact and has a piecewise smooth boundary S (also indicated with ∂V = S ). If F is a continuously differentiable vector field defined on a neighborhood of V, then the divergence theorem says:[11]
The left side is a volume integral over the volume V, the right side is the surface integral over the boundary of the volume V. The closed manifold ∂V is quite generally the boundary of V oriented by outward-pointing normals, and n is the outward pointing unit normal field of the boundary ∂V. (dS may be used as a shorthand for ndS.)
En topología
Three-dimensional space has a number of topological properties that distinguish it from spaces of other dimension numbers. For example, at least three dimensions are required to tie a knot in a piece of string.[12]
In differential geometry the generic three-dimensional spaces are 3-manifolds, which locally resemble .
En geometría finita
Many ideas of dimension can be tested with finite geometry. The simplest instance is PG(3,2), which has Fano planes as its 2-dimensional subspaces. It is an instance of Galois geometry, a study of projective geometry using finite fields. Thus, for any Galois field GF(q), there is a projective space PG(3,q) of three dimensions. For example, any three skew lines in PG(3,q) are contained in exactly one regulus.[13]
Ver también
- Dimensional analysis
- Distance from a point to a plane
- Four-dimensional space
- Skew lines § Distance
- Three-dimensional graph
- Solid geometry
- Two-dimensional space
Notas
- ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-12.
- ^ "Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 2020-08-12.
- ^ "Euclidean space | geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-12.
- ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
- ^ a b Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 34–5
- ^ Brannan, Esplen & Gray 1999, pp. 41–2
- ^ Anton 1994, p. 133
- ^ Anton 1994, p. 131
- ^ WS Massey (1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537.
If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space.
- ^ Arfken, p. 43.
- ^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links. Berkeley, California: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0.
- ^ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry, page 72, Cambridge University PressISBN 0-521-48277-1
Referencias
- Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
- Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
- Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
enlaces externos
- The dictionary definition of three-dimensional at Wiktionary
- Weisstein, Eric W. "Four-Dimensional Geometry". MathWorld.
- Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991