A invariante en el tiempo (TIV) del sistema tiene un tiempo dependiente de la función del sistema que no es una función directa del tiempo. Estos sistemas se consideran una clase de sistemas en el campo del análisis de sistemas . La función del sistema dependiente del tiempo es una función de la función de entrada dependiente del tiempo . Si esta función depende solo indirectamente del dominio del tiempo (a través de la función de entrada, por ejemplo), entonces ese es un sistema que se consideraría invariante en el tiempo. A la inversa, cualquier dependencia directa del dominio del tiempo de la función del sistema podría considerarse como un "sistema variable en el tiempo".
Matemáticamente hablando, la "invariancia en el tiempo" de un sistema es la siguiente propiedad: [1] : p. 50
- Dado un sistema con una función de salida dependiente del tiempo y una función de entrada dependiente del tiempo el sistema se considerará invariante en el tiempo si un retardo en la entrada equivale directamente a un retardo de tiempo de la salida función. Por ejemplo, si el tiempo es "tiempo transcurrido", entonces "invariancia en el tiempo" implica que la relación entre la función de entrada y la función de salida es constante con respecto al tiempo :
En el lenguaje del procesamiento de señales , esta propiedad puede satisfacerse si la función de transferencia del sistema no es una función directa del tiempo, excepto según lo expresado por la entrada y la salida.
En el contexto de un esquema de sistema, esta propiedad también se puede establecer de la siguiente manera:
- Si un sistema es invariante en el tiempo, el bloque del sistema conmuta con un retraso arbitrario.
Si un sistema invariante en el tiempo también es lineal , es el tema de la teoría lineal invariante en el tiempo (invariante en el tiempo lineal) con aplicaciones directas en espectroscopía de RMN , sismología , circuitos , procesamiento de señales , teoría de control y otras áreas técnicas. Los sistemas no lineales invariantes en el tiempo carecen de una teoría general que los gobierne. Los sistemas discretos invariantes en el tiempo se conocen como sistemas invariantes de desplazamiento . Los sistemas que carecen de la propiedad invariante en el tiempo se estudian como sistemas variantes en el tiempo .
Ejemplo simple
Para demostrar cómo determinar si un sistema es invariante en el tiempo, considere los dos sistemas:
- Sistema A:
- Sistema B:
Dado que la función del sistema para el sistema A depende explícitamente de t fuera de, no es invariante en el tiempo porque la dependencia del tiempo no es explícitamente una función de la función de entrada.
Por el contrario, la dependencia del tiempo del sistema B es solo una función de la entrada variable en el tiempo . Esto hace que el sistema B sea invariante en el tiempo .
El siguiente ejemplo formal muestra con más detalle que mientras que el sistema B es un sistema de cambio invariante en función del tiempo, t , el sistema A no lo es.
Ejemplo formal
Ahora se presenta una prueba más formal de por qué los sistemas A y B anteriores difieren. Para realizar esta prueba se utilizará la segunda definición.
- Sistema A: Comience con un retraso de la entrada
- Ahora retrasa la salida por
- Claramente , por lo tanto, el sistema no es invariante en el tiempo.
- Sistema B: Comience con un retraso de la entrada.
- Ahora retrasa la salida por
- Claramente , por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo.
De manera más general, la relación entre la entrada y la salida es
y su variación con el tiempo es
Para sistemas invariantes en el tiempo, las propiedades del sistema permanecen constantes con el tiempo,
Aplicado a los sistemas A y B anteriores:
- en general, por lo que no es invariante en el tiempo,
- por lo que es invariante en el tiempo.
Ejemplo abstracto
Podemos denotar el operador de turno por dónde es la cantidad en la que se debe cambiar el conjunto de índices de un vector . Por ejemplo, el sistema "avance en 1"
se puede representar en esta notación abstracta por
dónde es una función dada por
con el sistema produciendo la salida desplazada
Entonces es un operador que avanza el vector de entrada en 1.
Supongamos que representamos un sistema por un operador . Este sistema es invariante en el tiempo si se conmuta con el operador de turno, es decir,
Si la ecuación de nuestro sistema está dada por
entonces es invariante en el tiempo si podemos aplicar el operador del sistema en seguido por el operador de turno , o podemos aplicar el operador de turno seguido por el operador del sistema , con los dos cálculos arrojando resultados equivalentes.
Aplicar primero el operador del sistema da
Aplicar primero el operador de turno da
Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces
Ver también
Referencias
- ^ Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Señales y sistemas (segunda ed.). Prentice Hall.