En física e ingeniería , la constante de tiempo , generalmente denotada por la letra griega τ (tau), es el parámetro que caracteriza la respuesta a una entrada escalonada de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de primer orden . [1] [nota 1] La constante de tiempo es la unidad característica principal de un sistema LTI de primer orden.
En el dominio del tiempo, la opción habitual para explorar la respuesta en el tiempo es a través de la respuesta escalonada a una entrada escalonada , o la respuesta de impulso a una entrada de la función delta de Dirac . [2] En el dominio de la frecuencia (por ejemplo, mirando la transformada de Fourier de la respuesta escalonada, o usando una entrada que es una función sinusoidal simple del tiempo), la constante de tiempo también determina el ancho de banda de un sistema invariante en el tiempo de primer orden. , es decir, la frecuencia a la que la potencia de la señal de salida cae a la mitad del valor que tiene a bajas frecuencias.
La constante de tiempo también se utiliza para caracterizar la respuesta de frecuencia de varios sistemas de procesamiento de señales ( cintas magnéticas , transmisores y receptores de radio , equipos de grabación y reproducción y filtros digitales ) que pueden modelarse o aproximarse mediante sistemas LTI de primer orden. Otros ejemplos incluyen la constante de tiempo utilizada en sistemas de control para controladores de acción integral y derivada, que a menudo son neumáticos , en lugar de eléctricos.
Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, que se utilizan cuando los objetos se enfrían o se calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo. [3]
Físicamente, la constante de tiempo representa el tiempo transcurrido requerido para que la respuesta del sistema decaiga a cero si el sistema ha continuado decayendo a la tasa inicial, debido al cambio progresivo en la tasa de caída, la respuesta habrá disminuido en valor a 1 / e ≈ 36,8% en este tiempo (digamos de una disminución escalonada). En un sistema creciente, la constante de tiempo es el tiempo que tarda la respuesta al escalón del sistema en alcanzar 1 - 1 / e ≈ 63,2% de su valor final (asintótico) (por ejemplo, a partir de un aumento escalonado). En la desintegración radiactiva, la constante de tiempo está relacionada con la constante de desintegración ( λ ), y representa tanto la vida media de un sistema en desintegración (como un átomo) antes de desintegrarse, como el tiempo que tarda en todos los átomos menos el 36,8%. decaer. Por esta razón, la constante de tiempo es más larga que la vida media , que es el tiempo que tarda solo el 50% de los átomos en decaer.
Ecuación diferencial
Los sistemas LTI de primer orden se caracterizan por la ecuación diferencial
donde τ representa la constante de desintegración exponencial y V es una función del tiempo t
El lado derecho es la función de forzamiento f ( t ) que describe una función de conducción externa del tiempo, que puede considerarse como la entrada del sistema , a la que V ( t ) es la respuesta o la salida del sistema. Los ejemplos clásicos de f ( t ) son:
La función escalón de Heaviside , a menudo denotada por u ( t ) :
la función de impulso , a menudo denotada por δ ( t ) , y también la función de entrada sinusoidal:
o
donde A es la amplitud de la función de forzamiento, f es la frecuencia en hercios y ω = 2 π f es la frecuencia en radianes por segundo.
Solución de ejemplo
Un ejemplo de solución a la ecuación diferencial con valor inicial V 0 y sin función de forzamiento es
dónde
es el valor inicial de V . Por lo tanto, la respuesta es una disminución exponencial con constante de tiempo τ .
Discusión
Suponer
Este comportamiento se conoce como función exponencial "en decadencia". El tiempo τ (tau) se denomina "constante de tiempo" y se puede utilizar (como en este caso) para indicar la rapidez con la que decae una función exponencial.
Aquí:
- t = tiempo (generalmente t > 0 en ingeniería de control)
- V 0 = valor inicial (ver "casos específicos" a continuación).
Casos específicos
- Dejar ; luego, y entonces
- Dejar ; luego
- Dejar , y entonces
- Dejar ; luego
Después de un período de una constante de tiempo, la función alcanza e −1 = aproximadamente 37% de su valor inicial. En el caso 4, después de cinco constantes de tiempo, la función alcanza un valor inferior al 1% de su original. En la mayoría de los casos, este umbral del 1% se considera suficiente para asumir que la función se ha reducido a cero; como regla general, en la ingeniería de control, un sistema estable es aquel que exhibe un comportamiento amortiguado en general.
Relación de la constante de tiempo con el ancho de banda
Suponga que la función de forzamiento se elige sinusoidal, por lo que:
(La respuesta a una entrada de onda sinusoidal o coseno real se puede obtener tomando la parte real o imaginaria del resultado final en virtud de la fórmula de Euler ). La solución general de esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , asumiendo V ( t = 0 ) = V 0 es:
Durante mucho tiempo, las exponenciales decrecientes se vuelven insignificantes y la solución de estado estacionario o la solución de largo plazo es:
La magnitud de esta respuesta es:
Por convención, el ancho de banda de este sistema es la frecuencia donde | V ∞ | 2 cae a la mitad del valor, o donde ωτ = 1 . Esta es la convención de ancho de banda habitual , definida como el rango de frecuencia donde la potencia cae menos de la mitad (como máximo -3 dB). Usando la frecuencia en hercios, en lugar de radianes / s ( ω = 2 πf ):
La notación f 3dB proviene de la expresión de la potencia en decibelios y la observación de que la mitad de la potencia corresponde a una caída en el valor de | V ∞ | por un factor de 1 / √2 o por 3 decibeles.
Por tanto, la constante de tiempo determina el ancho de banda de este sistema.
Respuesta al escalón con condiciones iniciales arbitrarias
Suponga que la función de forzado se elige como una entrada escalonada, así:
con u ( t ) la función escalón Heaviside. La solución general de esta ecuación para tiempos t ≥ 0 s , asumiendo que V ( t = 0) = V 0 es:
(Se puede observar que esta respuesta es el límite ω → 0 de la respuesta anterior a una entrada sinusoidal).
La solución a largo plazo es independiente del tiempo e independiente de las condiciones iniciales:
La constante de tiempo sigue siendo la misma para el mismo sistema independientemente de las condiciones iniciales. En pocas palabras, un sistema se acerca a su situación final de estado estable a una tasa constante, independientemente de qué tan cerca esté de ese valor en cualquier punto de partida arbitrario.
Por ejemplo, considere un motor eléctrico cuyo arranque está bien modelado por un sistema LTI de primer orden. Suponga que cuando se arranca desde el reposo, el motor toma1/8de segundo para alcanzar el 63% de su velocidad nominal de 100 RPM, o 63 RPM, un déficit de 37 RPM. Entonces se encontrará que después de la próxima 1/8de segundo, el motor ha acelerado 23 RPM adicionales, lo que equivale al 63% de esa diferencia de 37 RPM. Esto lo lleva a 86 RPM, todavía 14 RPM bajo. Después de un tercero 1/8 de un segundo, el motor habrá ganado 9 RPM adicionales (63% de esa diferencia de 14 RPM), poniéndolo en 95 RPM.
De hecho, dada cualquier velocidad inicial s ≤ 100 RPM,1/8de un segundo más tarde, este motor en particular habrá ganado 0,63 × (100 s ) RPM adicionales .
Ejemplos de
Constantes de tiempo en circuitos eléctricos
En un circuito RL compuesto por una sola resistencia e inductor, la constante de tiempo(en segundos ) es
donde R es la resistencia (en ohmios ) y L es la inductancia (en Henrys ).
De manera similar, en un circuito RC compuesto por un solo resistor y capacitor, la constante de tiempo (en segundos) es:
donde R es la resistencia (en ohmios ) y C es la capacitancia (en faradios ).
Los circuitos eléctricos suelen ser más complejos que estos ejemplos y pueden exhibir múltiples constantes de tiempo (consulte Respuesta escalonada y División de polos para ver algunos ejemplos). En el caso de que exista retroalimentación , un sistema puede exhibir oscilaciones crecientes e inestables. Además, los circuitos eléctricos físicos rara vez son sistemas verdaderamente lineales, excepto en el caso de excitaciones de muy baja amplitud; sin embargo, la aproximación de linealidad se usa ampliamente.
En los circuitos electrónicos digitales se suele utilizar otra medida, la FO4 . Esto se puede convertir a unidades de constantes de tiempo mediante la ecuación. [4]
Constante de tiempo térmica
Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, que se utilizan cuando los objetos se enfrían o se calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo . En este caso, la transferencia de calor del cuerpo al ambiente en un momento dado es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente: [5]
donde h es el coeficiente de transferencia de calor y A s es el área de la superficie, T ( t ) = temperatura corporal en el tiempo t , y T a es la temperatura ambiente constante. El signo positivo indica la convención de que F es positivo cuando el calor sale del cuerpo porque su temperatura es más alta que la temperatura ambiente ( F es un flujo hacia afuera). Si se pierde calor al ambiente, esta transferencia de calor conduce a una caída en la temperatura del cuerpo dada por: [5]
donde ρ = densidad, c p = calor específico y V es el volumen corporal. El signo negativo indica que la temperatura cae cuando la transferencia de calor es hacia el exterior del cuerpo (es decir, cuando F > 0). Al equiparar estas dos expresiones para la transferencia de calor,
Evidentemente, este es un sistema LTI de primer orden que se puede lanzar en la forma:
con
En otras palabras, la constante de tiempo dice que las masas más grandes ρV y las capacidades caloríficas más grandes c p conducen a cambios más lentos de temperatura, mientras que las áreas de superficie A s más grandes y una mejor transferencia de calor h conducen a cambios de temperatura más rápidos.
La comparación con la ecuación diferencial introductoria sugiere la posible generalización a temperaturas ambiente variables en el tiempo T a . Sin embargo, conservando el ejemplo de ambiente constante simple, sustituyendo la variable Δ T ≡ ( T - T a ), se encuentra:
Se dice que los sistemas para los cuales el enfriamiento satisface la ecuación exponencial anterior satisfacen la ley de enfriamiento de Newton . La solución a esta ecuación sugiere que, en tales sistemas, la diferencia entre la temperatura del sistema y su entorno Δ T en función del tiempo t , viene dada por:
donde Δ T 0 es la diferencia de temperatura inicial, en el tiempo t = 0. En palabras, el cuerpo asume la misma temperatura que el ambiente a una velocidad exponencialmente lenta determinada por la constante de tiempo.
Constantes de tiempo en neurociencia
En una célula excitable como un músculo o una neurona , la constante de tiempo del potencial de membrana es
donde r m es la resistencia a través de la membrana y c m es la capacitancia de la membrana.
La resistencia a través de la membrana es función del número de canales iónicos abiertos y la capacitancia es función de las propiedades de la bicapa lipídica .
La constante de tiempo se usa para describir el aumento y la caída del voltaje de la membrana, donde el aumento se describe mediante
y la caída es descrita por
donde el voltaje está en milivoltios, el tiempo en segundos y es en segundos.
V max se define como el cambio de voltaje máximo del potencial de reposo , donde
donde r m es la resistencia a través de la membrana e I es la corriente de la membrana.
Ajuste para t =para el aumento establece V ( t ) igual a 0,63 V máx . Esto significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que se alcanza el 63% de V máx.
Ajuste para t =para la caída establece V ( t ) igual a 0,37 V máx. , lo que significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de haber caído al 37% de V máx .
Cuanto mayor sea la constante de tiempo, más lento será el aumento o la disminución del potencial de una neurona. Una constante de tiempo larga puede resultar en una suma temporal o la suma algebraica de potenciales repetidos. Una constante de tiempo breve produce más bien un detector de coincidencia a través de la suma espacial .
Decrecimiento exponencial
En la desintegración exponencial , como la de un isótopo radiactivo , la constante de tiempo se puede interpretar como la vida media . La vida media T HL está relacionada con la constante de tiempo exponencial por
El recíproco de la constante de tiempo se llama constante de desintegración y se denota.
Sensores meteorológicos
Una constante de tiempo es la cantidad de tiempo que tarda un sensor meteorológico en responder a un cambio rápido en un mensurando hasta que mide valores dentro de la tolerancia de precisión que generalmente se espera del sensor.
Esto se aplica con mayor frecuencia a las mediciones de temperatura, temperatura del punto de rocío, humedad y presión del aire. Las radiosondas se ven especialmente afectadas debido a su rápido aumento de altitud.
Ver también
- Constante de tiempo RC
- Frecuencia de corte
- Decrecimiento exponencial
- Compensador de adelanto-retraso
- Constante de longitud
- Hora de levantarse
- Otoño
- Respuesta frecuente
- Respuesta impulsiva
- Respuesta al paso
- Tiempo de transición
- Tiempo de estabilización
Notas
- ^ Concretamente, un sistema LTI de primer orden es un sistema que puede modelarse mediante una única ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. Los ejemplos incluyen los circuitos RC eléctricos de una sola etapay los circuitos RL más simples.
Referencias
- ^ Béla G. Lipták (2003). Manual de ingenieros de instrumentos: Control y optimización de procesos (4 ed.). Prensa CRC. pag. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
- ^ Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pag. 100 . ISBN 978-1-56347-261-9.
- ^ GR Norte (1988). "Lecciones de los modelos de balance energético" . En Michael E. Schlesinger (ed.). Modelado y simulación basados en la física del clima y el cambio climático (Instituto de estudios avanzados de la OTAN sobre modelado basado en la física, ed.). Saltador. OTAN. pag. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.
- ^ Harris, D .; Sutherland, I. (2003). "Esfuerzo lógico de llevar sumadores de propagación". La trigésimo séptima conferencia de Asilomar sobre señales, sistemas y computadoras, 2003 . págs. 873–878. doi : 10.1109 / ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1.
- ^ a b Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Fundamentos del método de elementos finitos para el flujo de calor y fluidos . Wiley. pag. 151. ISBN 978-0-470-84789-3.
enlaces externos
- Conversión de la constante de tiempo τ a la frecuencia de corte fc y viceversa
- Todo sobre circuitos: cálculos de tensión y corriente
- Constante de tiempo energético y térmico de edificios