De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación Saltar a búsqueda

En física y mecánica , el par es el equivalente rotacional de la fuerza lineal . [1] También se denomina momento , momento de fuerza , fuerza de rotación o efecto de giro , según el campo de estudio. El concepto se originó con los estudios de Arquímedes sobre el uso de palancas . Así como una fuerza lineal es un empujón o un tirón, un par de torsión se puede considerar como un giro de un objeto alrededor de un eje específico. Otra definición de torque es el producto de la magnitud de la fuerza y ​​la distancia perpendicular de la línea de acción.de una fuerza del eje de rotación . El símbolo de torque es típicamente la letra griega minúscula tau . Cuando se hace referencia como momento de la fuerza, se denota comúnmente por M .

En tres dimensiones, el par es un pseudovector ; para partículas puntuales , está dado por el producto cruzado del vector de posición ( vector de distancia ) y el vector de fuerza. La magnitud del par de un cuerpo rígido depende de tres cantidades: la fuerza aplicada, el vector del brazo de palanca [2] que conecta el punto alrededor del cual se mide el par con el punto de aplicación de la fuerza, y el ángulo entre la fuerza y ​​el brazo de palanca. vectores. En símbolos:

τ = r × F {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, \!}

dónde

es el vector de par y es la magnitud del par,
es el vector de posición (un vector desde el punto alrededor del cual se mide el torque hasta el punto donde se aplica la fuerza),
es el vector de fuerza,
denota el producto cruzado , que produce un vector que es perpendicular tanto a r como a F siguiendo la regla de la mano derecha ,
es el ángulo entre el vector de fuerza y ​​el vector del brazo de palanca.

La unidad SI para el par es el Newton-metro (N⋅m). Para obtener más información sobre las unidades de par, consulte Unidades .

Definición de terminología [ editar ]

James Thomson , el hermano de Lord Kelvin , introdujo el término torque en la literatura científica inglesa en 1884. [3] Sin embargo, se hace referencia al torque con un vocabulario diferente según la ubicación geográfica y el campo de estudio. Este artículo sigue la definición utilizada en la física estadounidense en su uso de la palabra torque . [4] En el Reino Unido y en la ingeniería mecánica de EE. UU. , El par se denomina momento de fuerza , generalmente abreviado como momento . [5] Estos términos son intercambiables en la terminología de la física estadounidense [4] y la física del Reino Unido, a diferencia de la ingeniería mecánica estadounidense, donde el términoel par se utiliza para el "momento resultante de un par " estrechamente relacionado . [5]

Par y momento en la terminología de la ingeniería mecánica de EE. UU. [ Editar ]

En la ingeniería mecánica estadounidense, el par se define matemáticamente como la tasa de cambio del momento angular de un objeto (en física se denomina "par neto"). La definición de torque establece que una o ambas de la velocidad angular o el momento de inercia de un objeto están cambiando. Momento es el término general usado para la tendencia de una o más fuerzas aplicadas a rotar un objeto alrededor de un eje, pero no necesariamente a cambiar el momento angular del objeto (el concepto que se llama torque en física). [5]Por ejemplo, una fuerza de rotación aplicada a un eje que causa una aceleración, como una broca que acelera desde el reposo, da como resultado un momento llamado torque . Por el contrario, una fuerza lateral sobre una viga produce un momento (llamado momento de flexión ), pero como el momento angular de la viga no cambia, este momento de flexión no se denomina par . De manera similar, con cualquier par de fuerzas sobre un objeto que no cambia su momento angular, dicho momento tampoco se llama torque .

Definición y relación con el momento angular [ editar ]

Una partícula está ubicada en la posición r con respecto a su eje de rotación. Cuando se aplica una fuerza F a la partícula, solo la componente perpendicular F produce un momento de torsión. Este momento de torsión τ  =  r  ×  F tiene una magnitud τ  = | r | | F | = | r | | F | pecado  θ y se dirige hacia afuera desde la página.

Una fuerza aplicada perpendicularmente a una palanca multiplicada por su distancia desde el punto de apoyo de la palanca (la longitud del brazo de la palanca ) es su torque. Una fuerza de tres newton aplicada a dos metros del fulcro, por ejemplo, ejerce el mismo par que una fuerza de un newton aplicada a seis metros del fulcro. La dirección del torque se puede determinar usando la regla de agarre de la mano derecha : si los dedos de la mano derecha están curvados desde la dirección del brazo de palanca hacia la dirección de la fuerza, entonces el pulgar apunta en la dirección del torque. [6]

De manera más general, el par en una partícula puntual (que tiene la posición r en algún marco de referencia) se puede definir como el producto cruzado :

donde r es el vector de posición de la partícula en relación con el fulcro, y F es la fuerza que actúa sobre la partícula. La magnitud τ del torque viene dada por

donde r es la distancia desde el eje de rotación a la partícula, F es la magnitud de la fuerza aplicada y θ es el ángulo entre los vectores de posición y fuerza. Alternativamente,

donde F es la cantidad de fuerza dirigida perpendicularmente a la posición de la partícula. Cualquier fuerza dirigida en paralelo al vector de posición de la partícula no produce un momento de torsión. [7] [8]

De las propiedades del producto cruzado se deduce que el vector de par es perpendicular tanto a los vectores de posición como a los de fuerza . A la inversa, el vector de par define el plano en el que se encuentran los vectores de posición y fuerza . La dirección del vector de par resultante está determinada por la regla de la mano derecha. [7]

El torque neto en un cuerpo determina la tasa de cambio del momento angular del cuerpo ,

donde L es el vector de momento angular y t es el tiempo.

Para el movimiento de una partícula puntual,

donde I es el momento de inercia y ω es el pseudovector de velocidad angular orbital . Resulta que

donde α es la aceleración angular de la partícula, yp || es la componente radial de su momento lineal . Esta ecuación es el análogo rotacional de la Segunda Ley de Newton para partículas puntuales y es válida para cualquier tipo de trayectoria. Tenga en cuenta que aunque la fuerza y ​​la aceleración son siempre paralelas y directamente proporcionales, no es necesario que el par τ sea ​​paralelo o directamente proporcional a la aceleración angular α . Esto se debe a que aunque la masa siempre se conserva, el momento de inercia en general no lo es.

Prueba de la equivalencia de definiciones [ editar ]

La definición de momento angular para una partícula de un solo punto es:

donde p es el momento lineal de la partícula y r es el vector de posición desde el origen. La derivada en el tiempo de esto es:

Este resultado se puede probar fácilmente dividiendo los vectores en componentes y aplicando la regla del producto . Ahora usando la definición de fuerza (si la masa es constante o no) y la definición de velocidad

El producto cruzado de la cantidad de movimiento con su velocidad asociada es cero porque la velocidad y la cantidad de movimiento son paralelas, por lo que el segundo término desaparece.

Por definición, el par τ = r × F . Por lo tanto, el torque en una partícula es igual a la primera derivada de su momento angular con respecto al tiempo.

Si se aplican varias fuerzas, la segunda ley de Newton en su lugar lee F neta = m una , y se deduce que

Esta es una prueba general para partículas puntuales.

La prueba se puede generalizar a un sistema de partículas puntuales aplicando la prueba anterior a cada una de las partículas puntuales y luego sumando todas las partículas puntuales. De manera similar, la prueba se puede generalizar a una masa continua aplicando la prueba anterior a cada punto dentro de la masa y luego integrándola sobre toda la masa.

Unidades [ editar ]

El par tiene la dimensión de la fuerza multiplicada por la distancia , simbólicamente L 2 M T −2 . Aunque esas dimensiones fundamentales son las mismas que para la energía o el trabajo , la literatura oficial del SI sugiere usar la unidad newton metro (N⋅m) y nunca el joule . [9] La unidad newton metro se denota correctamente como N⋅m. [10]

Las unidades tradicionales imperiales y estadounidenses para el torque son la libra-pie (lbf-ft), o para valores pequeños la libra pulgada (lbf-in). De manera confusa, en la práctica de los EE. UU., El par de torsión se conoce comúnmente como pie-libra (indicado como lb-ft o ft-lb) y pulgada-libra (indicado como in-lb). [11] [12] Los profesionales dependen del contexto y del guión en la abreviatura para saber que estos se refieren al par y no a la energía o al momento de la masa (como el simbolismo ft-lb implicaría correctamente).

Casos especiales y otros hechos [ editar ]

Fórmula de brazo de momento [ editar ]

Diagrama de brazo de momento

Un caso especial muy útil, que se suele dar como definición de par en campos distintos de la física, es el siguiente:

La construcción del "brazo de momento" se muestra en la figura de la derecha, junto con los vectores r y F mencionados anteriormente. El problema con esta definición es que no da la dirección del par, sino solo la magnitud, y por lo tanto es difícil de usar en casos tridimensionales. Si la fuerza es perpendicular al vector de desplazamiento r , el brazo de momento será igual a la distancia al centro y el par será máximo para la fuerza dada. La ecuación para la magnitud de un par de torsión, que surge de una fuerza perpendicular:

Por ejemplo, si una persona aplica una fuerza de 10 N en el extremo terminal de una llave de 0,5 m de largo (o una fuerza de 10 N exactamente a 0,5 m del punto de giro de una llave de cualquier longitud), el par será 5 N⋅m - asumiendo que la persona mueve la llave aplicando fuerza en el plano de movimiento y perpendicular a la llave.

El momento de torsión causado por las dos fuerzas opuestas F g y - F g provoca un cambio en el momento angular L en la dirección de ese momento de torsión. Esto hace que la parte superior precese .

Equilibrio estático [ editar ]

Para que un objeto esté en equilibrio estático , no solo la suma de las fuerzas debe ser cero, sino también la suma de los pares (momentos) sobre cualquier punto. Para una situación bidimensional con fuerzas horizontales y verticales, la suma de las fuerzas requeridas son dos ecuaciones: Σ H = 0 y Σ V = 0, y el par una tercera ecuación: Σ τ = 0. Es decir, para resolver estáticamente Determinados problemas de equilibrio en dos dimensiones, se utilizan tres ecuaciones.

Fuerza neta versus torque [ editar ]

Cuando la fuerza neta sobre el sistema es cero, el par medido desde cualquier punto del espacio es el mismo. Por ejemplo, el par en un bucle portador de corriente en un campo magnético uniforme es el mismo independientemente de su punto de referencia. Si la fuerza neta no es cero y se mide el par de torsión , entonces el par de torsión medido es ...

Torque de la máquina [ editar ]

Curva de par de una motocicleta ("BMW K 1200 R 2005"). El eje horizontal muestra la velocidad (en rpm ) a la que gira el cigüeñal y el eje vertical es el par (en newton metros ) que el motor es capaz de proporcionar a esa velocidad.

El par forma parte de la especificación básica de un motor : la potencia de salida de un motor se expresa como su par multiplicado por su velocidad de rotación del eje. Los motores de combustión interna producen un par de torsión útil solo en un rango limitado de velocidades de rotación (normalmente entre 1000 y 6000 rpm para un automóvil pequeño). Se puede medir la salida de par variable en ese rango con un dinamómetro y mostrarla como una curva de par.

Los motores de vapor y los motores eléctricos tienden a producir un par máximo cercano a cero rpm, y el par disminuye a medida que aumenta la velocidad de rotación (debido al aumento de la fricción y otras limitaciones). Los motores de vapor alternativos y los motores eléctricos pueden arrancar cargas pesadas desde cero rpm sin embrague .

Relación entre torque, potencia y energía [ editar ]

Si se permite que una fuerza actúe a distancia, está realizando un trabajo mecánico . De manera similar, si se permite que el torque actúe a través de una distancia de rotación, está funcionando. Matemáticamente, para la rotación alrededor de un eje fijo a través del centro de masa , el trabajo W se puede expresar como

W = ∫ θ 1 θ 2 τ   d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

donde τ es torque, y θ 1 y θ 2 representan (respectivamente) las posiciones angulares inicial y final del cuerpo. [13]

Prueba [ editar ]

El trabajo realizado por una fuerza variable que actúa sobre un desplazamiento lineal finito viene dado por la integración de la fuerza con respecto a un desplazamiento lineal elemental.

Sin embargo, el desplazamiento lineal infinitesimal está relacionado con un desplazamiento angular correspondiente y el vector de radio como

La sustitución en la expresión anterior para el trabajo da

La expresión es un producto triple escalar dado por . Una expresión alternativa para el mismo producto triple escalar es

Pero según la definición de torque,

La sustitución correspondiente en la expresión del trabajo da,

Dado que el parámetro de integración se ha cambiado de desplazamiento lineal a desplazamiento angular, los límites de la integración también cambian en consecuencia, dando

Si el par y el desplazamiento angular están en la misma dirección, entonces el producto escalar se reduce a un producto de magnitudes; es decir, dando

Del teorema trabajo-energía se deduce que W también representa el cambio en la energía cinética rotacional E r del cuerpo, dado por

E r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

donde I es el momento de inercia del cuerpo y ω es su velocidad angular . [13]

El poder es el trabajo por unidad de tiempo , dado por

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

donde P es potencia, τ es torque, ω es la velocidad angular y representa el producto escalar .

Algebraicamente, la ecuación se puede reorganizar para calcular el par para una velocidad angular y una potencia de salida determinadas. Tenga en cuenta que la potencia inyectada por el par depende solo de la velocidad angular instantánea, no de si la velocidad angular aumenta, disminuye o permanece constante mientras se aplica el par (esto es equivalente al caso lineal donde la potencia inyectada por una fuerza depende solo de la velocidad instantánea, no de la aceleración resultante, si corresponde).

En la práctica, esta relación se puede observar en las bicicletas : las bicicletas se componen típicamente de dos ruedas de carretera, engranajes delanteros y traseros (denominados piñones ) engranados con una cadena circular y un mecanismo de cambio si el sistema de transmisión de la bicicleta permite que se muevan múltiples relaciones de transmisión utilizarse (es decir , una bicicleta de varias velocidades ), todos los cuales están sujetos al cuadro . Un ciclista , la persona que monta la bicicleta, ofrece la potencia de entrada girando los pedales, con lo que el arranque del piñón (comúnmente conocido como plato ). La potencia de entrada proporcionada por el ciclista es igual al producto de la cadencia(es decir, el número de revoluciones del pedal por minuto) y el par en el eje del juego de bielas de la bicicleta . El tren motriz de la bicicleta transmite la potencia de entrada a la rueda de la carretera , que a su vez transmite la potencia recibida a la carretera como potencia de salida de la bicicleta. Dependiendo de la relación de transmisión de la bicicleta, un par de entrada (par, rpm) se convierte en un par de salida (par, rpm) . Al usar una marcha trasera más grande, o al cambiar a una marcha más baja en bicicletas de varias velocidades, la velocidad angular de las ruedas de la carretera disminuye mientras se aumenta el par, producto del cual (es decir, la potencia) no cambia.

Deben usarse unidades consistentes. Para las unidades SI métricas, la potencia es vatios , el par es newton metros y la velocidad angular es radianes por segundo (no rpm ni revoluciones por segundo).

Además, la unidad newton metro es dimensionalmente equivalente al joule , que es la unidad de energía. Sin embargo, en el caso del par, la unidad se asigna a un vector , mientras que para la energía , se asigna a un escalar . Esto significa que la equivalencia dimensional del newton metro y el joule puede aplicarse en el primero, pero no en el último caso. Este problema se aborda en el análisis orientacional que trata los radianes como una unidad base en lugar de una unidad adimensional. [14]

Conversión a otras unidades [ editar ]

Puede ser necesario un factor de conversión cuando se utilizan diferentes unidades de potencia o par. Por ejemplo, si se usa la velocidad de rotación (revoluciones por tiempo) en lugar de la velocidad angular (radianes por tiempo), multiplicamos por un factor de 2 π radianes por revolución. En las siguientes fórmulas, P es potencia, τ es torque y ν ( letra griega nu ) es velocidad de rotación.

Mostrando unidades:

Dividir por 60 segundos por minuto nos da lo siguiente.

donde la velocidad de rotación está en revoluciones por minuto (rpm).

Algunas personas (por ejemplo, ingenieros automotrices estadounidenses) usan caballos de fuerza (mecánicos) para potencia, libras-pie (lbf⋅ft) para torque y rpm para velocidad de rotación. Esto da como resultado que la fórmula cambie a:

La constante a continuación (en pies-libras por minuto) cambia con la definición de caballos de fuerza; por ejemplo, usando caballos de fuerza métricos, se convierte en aproximadamente 32,550.

El uso de otras unidades (por ejemplo, BTU por hora para energía) requeriría un factor de conversión personalizado diferente.

Derivación [ editar ]

Para un objeto en rotación, la distancia lineal cubierta en la circunferencia de rotación es el producto del radio con el ángulo cubierto. Es decir: distancia lineal = radio × distancia angular. Y por definición, distancia lineal = velocidad lineal × tiempo = radio × velocidad angular × tiempo.

Según la definición de par: par = radio × fuerza. Podemos reorganizar esto para determinar fuerza = par ÷ radio. Estos dos valores se pueden sustituir en la definición de potencia :

El radio r y el tiempo t han desaparecido de la ecuación. Sin embargo, la velocidad angular debe estar en radianes por unidad de tiempo, por la relación directa asumida entre la velocidad lineal y la velocidad angular al comienzo de la derivación. Si la velocidad de rotación se mide en revoluciones por unidad de tiempo, la velocidad lineal y la distancia se incrementan proporcionalmente en 2 π en la derivación anterior para dar:

Si el par está en newton metros y la velocidad de rotación en revoluciones por segundo, la ecuación anterior da la potencia en newton metros por segundo o vatios. Si se utilizan unidades imperiales, y si el par está en libras-fuerza-pies y la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, la ecuación anterior da la potencia en pies-libras-fuerza por minuto. La forma de caballos de fuerza de la ecuación se obtiene aplicando el factor de conversión 33,000 ft⋅lbf / min por caballo de fuerza:

porque

Principio de momentos [ editar ]

El principio de los momentos, también conocido como teorema de Varignon (que no debe confundirse con el teorema geométrico del mismo nombre) establece que la suma de pares debidos a varias fuerzas aplicadas a un solo punto es igual al par debido a la suma (resultante ) de las fuerzas. Matemáticamente, esto se sigue de:

De esto se deduce que si una viga pivotada de masa cero se equilibra con dos fuerzas opuestas, entonces:

Multiplicador de par [ editar ]

El par se puede multiplicar mediante tres métodos: ubicando el fulcro de manera que se aumente la longitud de una palanca; usando una palanca más larga; o mediante el uso de un reductor de velocidad o una caja de cambios . Tal mecanismo multiplica el par, ya que se reduce la velocidad de rotación.

Ver también [ editar ]

  • Momento
  • Conversión de unidades
  • Torque de fricción
  • Equilibrio mecánico
  • Dinámica corporal rígida
  • Estática
  • Convertidor de par
  • Limitador de torque
  • Destornillador dinamométrico
  • Probador de par
  • Llave de torsión
  • Torsión (mecánica)

Referencias [ editar ]

  1. ^ Serway, RA y Jewett, Jr. JW (2003). Física para científicos e ingenieros . 6ª Ed. Brooks Cole. ISBN  0-534-40842-7 .
  2. ^ Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
  3. ^ Thomson, James; Larmor, Joseph (1912). Artículos recopilados en física e ingeniería . Prensa Universitaria. pag. civ.
  4. ^ a b Física para la ingeniería de Hendricks, Subramony y Van Blerk, Chinappi página 148, enlace web
  5. ↑ a b c Kane, TR Kane y DA Levinson (1985). Dinámica, teoría y aplicaciones págs. 90–99: Descarga gratuita .
  6. ^ "Regla de la mano derecha para torque" . Consultado el 8 de septiembre de 2007 .
  7. ^ a b Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentos de Física . John Wiley & Sons, Inc. págs. 184–85.
  8. ^ Caballero, Randall; Jones, Brian; Field, Stuart (2016). Física universitaria: un enfoque estratégico . Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958- (Tercera edición, edición de actualización tecnológica). Boston: Pearson. pag. 199. ISBN 9780134143323. OCLC  922464227 .
  9. ^ Del sitio web oficial del SI : "... Por ejemplo, la cantidad de par es el producto cruzado de un vector de posición y un vector de fuerza. La unidad SI es newton metro. Aunque el par tiene la misma dimensión que la energía (unidad SI joule ), el joule nunca se utiliza para expresar el par ".
  10. ^ "Folleto SI Ed. 9, Sección 2.3.4" (PDF) . Bureau International des Poids et Mesures. 2019 . Consultado el 29 de mayo de 2020 .
  11. ^ "Llaves dinamométricas de marcación de Grainger" . Grainger. 2020. Demostración de que, como en la mayoría de los entornos industriales de EE. UU., Los rangos de torsión se dan en ft-lb en lugar de lbf-ft.
  12. ^ Erjavec, Jack (22 de enero de 2010). Transmisiones manuales y transejes: Manual de aula . pag. 38. ISBN 978-1-4354-3933-7.
  13. ^ a b Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). Introducción a la mecánica . McGraw-Hill. págs.  267–68 .
  14. ^ Página, Chester H. (1979). "Refutación a las" Propiedades de grupo de cantidades y unidades " ". Revista estadounidense de física . 47 (9): 820. doi : 10.1119 / 1.11704 .

Enlaces externos [ editar ]

  • Torque (momento de una fuerza) en la Encyclopædia Britannica
  • "Caballos de fuerza y ​​par" Un artículo que muestra cómo la potencia, el par y el engranaje afectan el desempeño de un vehículo.
  • "Par frente a caballos de fuerza: otro argumento más" Una perspectiva automotriz
  • Par y momento angular en movimiento circular en el proyecto PHYSNET .
  • Una simulación interactiva de par
  • Convertidor de unidades de par
  • Sentido del torque Un orden de magnitud interactivo.