La reflexión interna total ( TIR ) es el fenómeno óptico en el que (por ejemplo) la superficie del agua de una pecera, vista desde debajo del nivel del agua, refleja la escena submarina como un espejo sin pérdida de brillo (Fig.1 ). En general, TIR ocurre cuando las ondas en un medio golpean de manera suficientemente oblicua contra el límite con un segundo medio ("externo"), en el que las ondas viajan más rápido que en el primer medio ("interno"); el segundo medio también debe ser perfectamente transparente a las olas. La TIR ocurre no solo con ondas electromagnéticas como la luz y las microondas , sino también con otros tipos de ondas, incluidas las ondas sonoras y de agua.. En el caso de un tren estrecho de ondas, como un rayo láser (Fig. 2), tendemos a describir la reflexión en términos de " rayos " en lugar de ondas; en un medio cuyas propiedades son independientes de la dirección, como el aire, el agua o el vidrio, los "rayos" son perpendiculares a los frentes de onda asociados .
La refracción suele ir acompañada de una reflexión parcial . Cuando las ondas se refractan de un medio de menor velocidad de propagación a un medio de mayor velocidad de propagación (p. Ej., Del agua al aire), el ángulo de refracción (entre el rayo refractado y la línea perpendicular a la superficie de refracción) es mayor que el ángulo de incidencia (entre el rayo incidente y la perpendicular). A medida que el ángulo de incidencia se acerca a un cierto límite, llamado ángulo crítico , el ángulo de refracción se acerca a 90 °, en el cual el rayo refractado se vuelve paralelo a la superficie. A medida que el ángulo de incidencia aumenta más allá del ángulo crítico, las condiciones de refracción ya no pueden satisfacerse; por lo que no hay rayo refractado y la reflexión parcial se vuelve total. Para la luz visible, el ángulo crítico es de aproximadamente 49 ° para la incidencia en el límite de agua a aire y de aproximadamente 42 ° para la incidencia en el límite común de vidrio a aire.
Los detalles del mecanismo de TIR dan lugar a fenómenos más sutiles. Si bien la reflexión total, por definición, no implica un flujo continuo de energía a través de la interfaz entre los dos medios, el medio externo transporta una llamada onda evanescente , que viaja a lo largo de la interfaz con una amplitud que disminuye exponencialmente con la distancia desde la interfaz. La reflexión "total" es de hecho total si el medio externo es sin pérdidas (perfectamente transparente), continuo y de extensión infinita, pero puede ser notoriamente menor que el total si la onda evanescente es absorbida por un medio externo con pérdida (" reflectancia total atenuada " ), o desviado por el límite exterior del medio externo o por objetos incrustados en ese medio (TIR "frustrado"). A diferencia de la reflexión parcial entre medios transparentes, la reflexión interna total se acompaña de un cambio de fase no trivial (no solo cero o 180 °) para cada componente de polarización (perpendicular o paralelo al plano de incidencia ), y los cambios varían con el ángulo. de incidencia. La explicación de este efecto por Augustin-Jean Fresnel , en 1823, se sumó a la evidencia a favor de la teoría ondulatoria de la luz .
Los cambios de fase son utilizados por la invención de Fresnel, el rombo de Fresnel , para modificar la polarización. La eficiencia de la reflexión se aprovecha mediante fibras ópticas (utilizadas en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios de formación de imágenes ) y mediante prismas reflectantes , como prismas erigidos para binoculares .
Descripción óptica
Aunque la reflexión interna total puede ocurrir con cualquier tipo de onda de la que se pueda decir que tiene incidencia oblicua, incluidas (p. Ej.) Microondas [1] y ondas sonoras , [2] es más familiar en el caso de ondas luminosas .
La reflexión interna total de la luz se puede demostrar utilizando un bloque semicircular-cilíndrico de vidrio común o acrílico . En la Fig. 3, una "caja de rayos" proyecta un haz de luz estrecho (un " rayo ") radialmente hacia adentro. La sección transversal semicircular del vidrio permite que el rayo entrante permanezca perpendicular a la parte curva de la superficie aire / vidrio, y desde allí continuar en línea recta hacia la parte plana de la superficie, aunque su ángulo con la parte plana varía. .
Donde el rayo se encuentra con la interfaz plana vidrio-aire, el ángulo entre el rayo y la normal (perpendicular) a la interfaz se llama ángulo de incidencia . [3] Si este ángulo es lo suficientemente pequeño, el rayo se refleja parcialmente pero se transmite principalmente, y la porción transmitida se refracta alejándose de la normal, de modo que el ángulo de refracción (entre el rayo refractado y la normal a la interfaz) es mayor que el ángulo de incidencia. Por el momento, llamemos al ángulo de incidencia θ i y al ángulo de refracción θ t (donde t es para transmitido , reservando r para reflejado ). A medida que θ i aumenta y se acerca a un cierto "ángulo crítico", denotado por θ c (oa veces θ cr ), el ángulo de refracción se aproxima a 90 ° (es decir, el rayo refractado se acerca a una tangente a la interfaz) y el rayo refractado se vuelve más tenue mientras que el rayo reflejado se vuelve más brillante. [4] A medida que θ i aumenta más allá de θ c , el rayo refractado desaparece y solo queda el rayo reflejado, de modo que toda la energía del rayo incidente se refleja; esto es reflexión interna total (TIR). En breve:
- Si θ i < θ c , rayo incidente es dividida, siendo en parte reflejada y en parte refractada;
- Si θ i > θ c , sufre rayo incidente de reflexión interna total (TIR); nada de eso se transmite.
Ángulo crítico
El ángulo crítico es el ángulo de incidencia más pequeño que produce una reflexión total. [5] Para ondas de luz incidente desde un medio "interno" con un único índice de refracción n 1 , un medio "externo" con un único índice de refracción n 2 , ángulo crítico viene dada , Y se define si n 2 ≤ n 1 . Para algunos otros tipos de ondas, es más conveniente pensar en términos de velocidades de propagación en lugar de índices de refracción. La explicación del ángulo crítico en términos de velocidades es más general y, por lo tanto, se discutirá primero.
Cuando un frente de onda se refracta de un medio a otro, las porciones incidente (entrante) y refractada (saliente) del frente de onda se encuentran en una línea común en la superficie de refracción (interfaz). Deje esta línea, denotado por L , se mueven a la velocidad u otro lado de la superficie, [6] [7] , donde u se mide normal a L 4). Deje que los frentes de onda incidente y refractados se propaguen a velocidades normales. y (respectivamente), y deje que formen los ángulos diedros θ 1 y θ 2 (respectivamente) con la interfaz. A partir de la es el componente de u en la dirección normal a la onda incidente, . Del mismo . Resolviendo cada ecuación para 1 / u e igualando los resultados, obtenemos la ley general de refracción para ondas:
- .
( 1 )
Pero el ángulo diedro entre dos planos es también el ángulo entre sus normales. Entonces θ 1 es el ángulo entre la normal al frente de onda incidente y la normal a la interfaz, mientras que θ 2 es el ángulo entre la normal al frente de onda refractado y la normal a la interfaz; y Eq. ( 1 ) nos dice que los senos de estos ángulos están en la misma razón que las respectivas velocidades. [8]
Este resultado tiene la forma de " ley de Snell ", excepto que aún no hemos dicho que la razón de velocidades sea constante, ni identificado θ 1 y θ 2 con los ángulos de incidencia y refracción (llamados θ i y θ t arriba). Sin embargo, si ahora suponemos que las propiedades de los medios son isotrópicas (independientes de la dirección), se siguen dos conclusiones adicionales: primero, las dos velocidades, y por tanto su relación, son independientes de sus direcciones; y en segundo lugar, las direcciones normales de onda coinciden con las direcciones de los rayos , de modo que θ 1 y θ 2 coinciden con los ángulos de incidencia y refracción definidos anteriormente. [Nota 1]
Evidentemente, el ángulo de refracción no puede superar los 90 °. En el caso límite, ponemos θ 2 = 90 ° y θ1 = θ c la ecuación. ( 1 ) y resuelva para el ángulo crítico:
- .
( 2 )
Al derivar este resultado, retenemos la suposición de medios isotrópicos para identificar θ 1 y θ 2 con los ángulos de incidencia y refracción. [Nota 3]
Para las ondas electromagnéticas , y especialmente para la luz, es habitual expresar los resultados anteriores en términos de índices de refracción . El índice de refracción de un medio con velocidad normal.se define , donde c es la velocidad de la luz en el vacío. [9] . Del mismo . Haciendo estas sustituciones en las Ecs. ( 1 ) y ( 2 ), obtenemos
( 3 )
y
- .
( 4 )
Eq. ( 3 ) es la ley de refracción para medios generales, en términos de índices de refracción, siempre que θ 1 y θ 2 se tomen como ángulos diedros; pero si los medios son isotrópicos , entonces n 1 y n 2 se vuelven independientes de la dirección mientras que θ 1 y θ 2 pueden tomarse como los ángulos de incidencia y refracción de los rayos, y la ecuación. ( 4 ) sigue. Entonces, para medios isotrópicos, las Ecs. ( 3 ) y ( 4 ) juntos describen el comportamiento en la Fig.5.
Según Eq. ( 4 ), para la incidencia del agua ( n 1 ≈ 1.333 ) aire ( n 2 ≈ 1 tenemos θ c ≈ 48,6 ° , para la incidencia de vidrio común o acrílico ( n 1 ≈ 1.50 a aire ( n 2 ≈ 1 tenemos θc ≈ 41,8 ° .
La función arcsin produciendo θ c se define sólo si n 2 ≤ n 1 . Por lo tanto, para los medios isotrópicos, la reflexión interna total no puede ocurrir si el segundo medio tiene un índice de refracción más alto (velocidad normal más baja) que el primero. Por ejemplo, no puede haber TIR para la incidencia del aire al agua; más bien, el ángulo crítico para la incidencia del agua al aire el ángulo de refracción en el pastoreo incidencia del aire al agua (Fig. 6). [10]
El medio con el índice de refracción más alto se describe comúnmente como ópticamente más denso y el que tiene el índice de refracción más bajo como ópticamente más raro . [11] Por lo tanto, se dice que la reflexión interna total es posible para la incidencia "densa a rara", pero no para la incidencia "rara a densa".
Ejemplos cotidianos
Al estar de pie junto a un acuario con los ojos por debajo del nivel del agua, es probable que vea peces u objetos sumergidos reflejados en la superficie del agua y el aire (Fig. 1). El brillo de la imagen reflejada, tan brillante como la vista "directa", puede ser sorprendente.
Se puede observar un efecto similar al abrir los ojos mientras se nada justo debajo de la superficie del agua. Si el agua está en calma, la superficie fuera del ángulo crítico (medido desde la vertical) aparece como un espejo, reflejando los objetos que se encuentran debajo. La región sobre el agua no se puede ver excepto por encima de la cabeza, donde el campo de visión hemisférico se comprime en un campo cónico conocido como ventana de Snell , cuyo diámetro angular es el doble del ángulo crítico (cf. Fig. 6). [12] El campo de visión sobre el agua es teóricamente de 180 ° de ancho, pero parece menos porque cuando miramos más cerca del horizonte, la dimensión vertical se comprime más fuertemente por la refracción; por ejemplo, por Eq. ( 3 ), para ángulos de incidencia aire-agua de 90 °, 80 ° y 70 °, los ángulos de refracción correspondientes son 48,6 ° ( θ cr en la Fig.6), 47,6 ° y 44,8 °, lo que indica que el imagen de un punto 20 ° por encima del horizonte es de 3,8 ° desde el borde de la ventana de Snell la imagen de un punto 10 ° por encima del horizonte es de sólo 1 ° desde el borde. [13]
La figura 7, por ejemplo, es una fotografía tomada cerca del fondo del extremo poco profundo de una piscina. Lo que parece una ancha franja horizontal en la pared de la derecha
en los bordes inferiores de una fila de azulejos de color naranja, y sus reflexiones; esto marca el nivel del agua, que luego se puede rastrear a través de la otra pared. El nadador ha alterado la superficie sobre ella, revuelto la mitad inferior de su reflejo y distorsionando el reflejo de la escalera (a la derecha). Pero la mayor parte de la superficie aún está en calma, lo que refleja claramente el fondo de baldosas de la piscina. El espacio sobre el agua no es visible excepto en la parte superior del marco, donde las manijas de la escalera son apenas perceptibles por encima del borde de la ventana de Snell, dentro del cual el reflejo del fondo de la piscina es solo parcial, pero aún perceptible en la fotografía. Incluso se puede discernir la franja de color del borde de la ventana de Snell, debido a la variación del índice de refracción, por lo tanto del ángulo crítico, con la longitud de onda (ver Dispersión ).El ángulo crítico influye en los ángulos en los que se cortan las piedras preciosas . El corte redondo " brillante ", por ejemplo, está diseñado para refractar la luz incidente en las facetas frontales, reflejarla dos veces mediante TIR en las facetas posteriores y transmitirla nuevamente a través de las facetas frontales, de modo que la piedra se vea brillante. El diamante (Fig. 8) es especialmente adecuado para este tratamiento, porque su alto índice de refracción (aproximadamente 2,42) y, en consecuencia, su pequeño ángulo crítico (aproximadamente 24,5 °) producen el comportamiento deseado en una amplia gama de ángulos de visión. [14] Los materiales más baratos que son igualmente susceptibles de este tratamiento incluyen zirconia cúbica (índice ≈ 2.15) y moissanita (no isotrópica, por lo tanto, doble refractiva , con un índice que varía de aproximadamente 2.65 a 2.69, [Nota 4] dependiendo de la dirección y polarización ); por lo tanto, ambos son populares como simuladores de diamantes .
Fenómenos relacionados
Onda evanescente (explicación cualitativa)
Matemáticamente, las ondas se describen en términos de campos que varían en el tiempo , siendo un "campo" una función de la ubicación en el espacio. Una onda en propagación requiere un campo de "esfuerzo" y un campo de "flujo", siendo este último un vector (si estamos trabajando en dos o tres dimensiones). El producto del esfuerzo y el flujo está relacionado con la potencia (consulte Equivalencia del sistema ). Por ejemplo, para las ondas sonoras en un fluido no viscoso , podríamos tomar el campo de esfuerzo como la presión (un escalar) y el campo de flujo como la velocidad del fluido (un vector). El producto de estos dos es la intensidad (potencia por unidad de área). [15] [Nota 5] Para las ondas electromagnéticas, tomaremos el campo de esfuerzo como el campo eléctrico E , y el campo de flujo como el campo de magnetización H . Ambos son vectores, y su producto vectorial es nuevamente la intensidad (ver vector de Poynting ). [dieciséis]
Cuando una onda en (digamos) medio 1 se refleja en la interfaz entre el medio 1 y el medio 2, el campo de flujo en el medio 1 es la suma vectorial de los campos de flujo debido a las ondas incidente y reflejada. [Nota 6] Si la reflexión es oblicua, los campos incidente y reflejado no están en direcciones opuestas y, por lo tanto, no se pueden cancelar en la interfaz; incluso si la reflexión es total, el componente normal o el componente tangencial del campo combinado (en función de la ubicación y el tiempo) debe ser distinto de cero adyacente a la interfaz. Además, las leyes físicas que gobiernan los campos generalmente implicarán que uno de los dos componentes es continuo a través de la interfaz (es decir, no cambia repentinamente cuando cruzamos la interfaz); por ejemplo, para las ondas electromagnéticas, una de las condiciones de la interfaz es que la componente tangencial de H sea continua si no hay corriente superficial. [17] Por lo tanto, incluso si la reflexión es total, debe haber alguna penetración del campo de flujo en el medio 2; y esto, en combinación con las leyes que relacionan los campos de esfuerzo y flujo, implica que también habrá alguna penetración del campo de esfuerzo. La misma condición de continuidad implica que la variación ("ondulación") del campo en el medio 2 estará sincronizada con la de las ondas incidente y reflejada en el medio 1.
Pero, si la reflexión es total, la penetración espacial de los campos en el medio 2 debe limitarse de alguna manera, o de lo contrario la extensión total y, por lo tanto, la energía total de esos campos continuaría aumentando, drenando el poder del medio 1. Reflexión total de un El tren de ondas continuo permite almacenar algo de energía en el medio 2, pero no permite una transferencia continua de energía del medio 1 al medio 2.
Por lo tanto, utilizando un razonamiento mayoritariamente cualitativo, podemos concluir que la reflexión interna total debe ir acompañada de un campo ondulado en el medio "externo", viajando a lo largo de la interfaz en sincronismo con las ondas incidente y reflejada, pero con algún tipo de penetración espacial limitada en el medio "externo"; tal campo puede llamarse onda evanescente .
La figura 9 muestra la idea básica. Se supone que la onda incidente es plana y sinusoidal . La onda reflejada, por simplicidad, no se muestra. La onda evanescente viaja hacia la derecha en sincronía con las ondas incidente y reflejada, pero su amplitud disminuye al aumentar la distancia desde la interfaz.
(Dos características de la onda evanescente en la Fig.9 se explicarán más adelante: primero, que las crestas de la onda evanescente son perpendiculares a la interfaz; y segundo, que la onda evanescente está ligeramente por delante de la onda incidente).
TIR frustrado
Para que la reflexión sea total, no debe haber desviación de la onda evanescente. Supongamos, por ejemplo, que las ondas electromagnéticas que inciden del vidrio al aire en un cierto ángulo de incidencia están sujetas a TIR. Y supongamos que tenemos un tercer medio cuyo índice de refracción es lo suficientemente alto como para que, si el tercer medio reemplazara al segundo (aire), obtendríamos un tren de ondas transmitido estándar para el mismo ángulo de incidencia. Entonces, si el tercer medio se coloca dentro de unas pocas longitudes de onda del primero, donde la onda evanescente tiene una amplitud significativa, la onda evanescente se refracta efectivamente en el tercer medio, dando una transmisión distinta de cero al tercer medio, y por lo tanto menos que el total. reflexión de nuevo en el primer medio. [18] A medida que la amplitud de la onda evanescente decae a través del espacio de aire, las ondas transmitidas se atenúan , por lo que hay menos transmisión y, por lo tanto, más reflexión de lo que habría sin espacio; pero mientras haya alguna transmisión, la reflexión es menor que total. Este fenómeno se denomina reflexión interna total frustrada , abreviado "TIR frustrado" o "FTIR".
El TIR frustrado se puede observar mirando dentro de la parte superior de un vaso de agua que se sostiene en la mano (Fig. 10). Si el vidrio se sujeta sin apretar, es posible que el contacto no sea lo suficientemente cercano y extenso para producir un efecto notable. Pero si se sostiene con más fuerza, las crestas de las huellas dactilares interactúan fuertemente con las ondas evanescentes, permitiendo que las crestas se vean a través de la superficie de aire y vidrio que de otro modo sería totalmente reflectante. [19]
El mismo efecto se puede demostrar con microondas, utilizando cera de parafina como medio "interno". En este caso, el ancho de espacio permitido podría ser (por ejemplo) 1 cm o varios cm, que es fácilmente observable y ajustable. [1] [20]
El término TIR frustrado también se aplica al caso en el que la onda evanescente es dispersada por un objeto lo suficientemente cerca de la interfaz reflectante. Este efecto, junto con la fuerte dependencia de la cantidad de luz dispersa de la distancia desde la interfaz, se aprovecha en la microscopía de reflexión interna total . [21]
El mecanismo de FTIR se llama acoplamiento de ondas evanescentes y es algo análogo al túnel cuántico . Debido a la naturaleza ondulatoria de la materia, un electrón tiene una probabilidad distinta de cero de "hacer un túnel" a través de una barrera, incluso si la mecánica clásica diría que su energía es insuficiente. [18] [19] De manera similar, debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, un fotón tiene una probabilidad distinta de cero de cruzar un espacio, incluso si la óptica de rayos diría que su enfoque es demasiado oblicuo.
Otra razón por la que la reflexión interna puede ser menor que la total, incluso más allá del ángulo crítico, es que el medio externo puede tener "pérdidas" (menos que perfectamente transparente). En ese caso, el medio externo absorberá energía de la onda evanescente, de modo que el mantenimiento de la onda evanescente extraerá energía de la onda incidente. La consiguiente reflexión menor que total se denomina reflectancia total atenuada (ATR). Este efecto, y especialmente la dependencia de la frecuencia de la absorción, se puede utilizar para estudiar la composición de un medio externo desconocido. [22]
Derivación de onda evanescente
En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme, el campo eléctrico E tiene la forma
( 5 )
donde E k es el vector de amplitud compleja (constante) , i es la unidad imaginaria , k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ), r es el vector de posición , ω es la frecuencia angular , t es el tiempo y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. [Nota 7] El campo de magnetización H tiene la misma forma con los mismos k y ω . El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por tanto, k es normal a los frentes de onda .
Si ℓ es el componente de r en la dirección de k , campo ( 5 ) puede ser escrita. Si el argumento dees ser constante, ℓ debe aumentar a la conocida como la velocidad de fase . [23] Esto a su vez es igual adonde c es la velocidad de fase en el medio de referencia (tomado como vacío) yn es el índice de refracción local wrt el medio de referencia. Resolviendo para k es decir
( 6 )
dónde es el número de onda en el vacío. [24] [Nota 8]
De ( 5 ), el campo eléctrico en el medio "externo" tiene la forma
( 7 )
donde k t es el vector de onda para la onda transmitida (asumimos medios isotrópicos, pero aún no se supone que la onda transmitida sea evanescente).
En coordenadas cartesianas ( x , Y , Z ) , dejar que la región y <0 índice de refracción n 1 , dejar que la región y> 0 índice de refracción n 2 . Entonces, el plano xz es la interfaz y el eje y es normal a la interfaz (Fig. 11). Let i y j (en negrita tipo romano ) ser los vectores unitarios en las x y Y direcciones, respectivamente. Sea el plano de incidencia (que contiene la normal de onda incidente y la normal a la interfaz) el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ i medido desde j hacia i . Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ t ( t para transmitido , reservando r para reflejado ).
De ( 6 ), el vector de onda transmitido k t tiene una magnitud n 2 k 0 . Por lo tanto, de la geometría,
donde el último paso usa la ley de Snell. Tomando el producto escalar con el vector de posición, obtenemos
de modo que Eq. ( 7 ) se convierte en
( 8 )
En el caso de TIR, el ángulo θ t no existe en el sentido habitual. Pero aún podemos interpretar ( 8 ) para la onda transmitida (evanescente), permitiendo que el cos θ t sea complejo . Esto se hace necesario cuando escribimos cos θ t en términos de pecado θ t , desde allí en términos de pecado theta i usando la ley de Snell:
- .
Para θ i mayor que el ángulo crítico, el valor debajo del símbolo de raíz cuadrada es negativo, de modo que [25]
- .
( 9 )
Para determinar qué signo es aplicable, sustituimos ( 9 ) por ( 8 ), obteniendo
( 10 )
donde el signo indeterminado es el opuesto al de ( 9 ). Para una onda transmitida evanescente , es decir, una cuya amplitud decae a medida que aumenta y , el signo indeterminado ( 10 ) debe ser menos , por lo que el signo indeterminado ( 9 ) debe ser más . [Nota 9]
Con el signo correcto, el resultado ( 10 ) se puede abreviar
( 11 )
dónde
( 12 )
y k 0 es el número de onda en el vacío, es decir .
Entonces, la onda evanescente es una onda sinusoidal plana que viaja en la dirección x , con una amplitud que decae exponencialmente en la dirección y (véase la Fig. 9). Es evidente que la energía almacenada en esta onda también viaja en la dirección x y no cruza la interfaz. Por lo tanto, el vector de Poynting generalmente tiene un componente en la dirección x , pero su componente y promedia cero (aunque su componente y instantáneo no es idénticamente cero). [26] [27]
Eq. ( 11 ) indica que la amplitud de la onda evanescente se cae por un factor e como la coordenada Y (medida desde la interfaz) se incrementa por la comúnmente llamada "profundidad de penetración" de la onda evanescente. Tomando recíprocos de la primera ecuación de ( 12 ), encontramos que la profundidad de penetración es [27]
donde λ 0 es la longitud de onda en el vacío, es decir . [28] Dividiendo el numerador y el denominador por n 2 se obtiene
dónde es la longitud de onda en el segundo medio (externo). Por tanto, podemos graficar d en unidades de λ 2 , en función del ángulo de incidencia, para varios valores de(Figura 12). A medida que θ i disminuye hacia el ángulo crítico, el denominador se acerca a cero, por lo que d aumenta sin límite, como era de esperar, porque tan pronto como θ i es menor que el crítico, se permiten ondas planas uniformes en el medio externo. Cuando θ i se acerca a 90 ° (incidencia de pastoreo), d se acerca a un mínimo
Para la incidencia del agua al aire, o del vidrio común al aire, d min no es muy diferente de λ 2/2 π. Pero d es mayor en ángulos de incidencia más pequeños (Fig. 12), y la amplitud aún puede ser significativa a distancias de varias veces d ; por ejemplo, porque e -4,6 es sólo mayor que 0,01, la amplitud de la onda evanescente dentro de una distancia de 4,6 d de la interfaz es al menos 1% de su valor en la interfase. Por lo tanto, hablando libremente, tendemos a decir que la amplitud de la onda evanescente es significativa dentro de "unas pocas longitudes de onda" de la interfaz.
Cambios de fase
Entre 1817 y 1823, Augustin-Jean Fresnel descubrió que la reflexión interna total va acompañada de un cambio de fase no trivial (es decir, un cambio de fase que no está restringido a 0 ° o 180 °), ya que el coeficiente de reflexión de Fresnel adquiere un valor no trivial. -Cero parte imaginaria . [29] Ahora explicaremos este efecto de las ondas electromagnéticas en el caso de medios lineales , homogéneos , isotrópicos y no magnéticos. El cambio de fase resulta ser un avance , que crece a medida que aumenta el ángulo de incidencia más allá del ángulo crítico, pero que depende de la polarización de la onda incidente.
En las ecuaciones ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) y ( 11 ), avanzamos la fase en el ángulo ϕ si reemplazamos ωt por ωt + ϕ (es decir, si reemplazamos −ωt por - ωt − ϕ ), con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e −iϕ . Entonces, un avance de fase es equivalente a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando (por ejemplo) el campo ( 5 ) se factoriza comodonde el último factor contiene la dependencia del tiempo. [Nota 10]
Para representar la polarización de la onda incidente, reflejada o transmitida, el campo eléctrico adyacente a una interfaz se puede descomponer en dos componentes perpendiculares, conocidos como componentes s y p , que son paralelos a la superficie y al plano de incidencia, respectivamente. ; en otras palabras, las s y p componentes son, respectivamente, cuadrado y paralelos al plano de incidencia. [Nota 11]
Para cada componente de polarización, el campo eléctrico incidente, reflejado o transmitido ( E en la ecuación ( 5 ) ) tiene una cierta dirección y puede ser representado por su componente escalar (complejo) en esa dirección. El coeficiente de reflexión o transmisión se puede definir entonces como una relación de componentes complejos en el mismo punto, o en puntos infinitesimalmente separados en lados opuestos de la interfaz. Pero, para fijar los signos de los coeficientes, debemos elegir sentidos positivos para las "direcciones". Para los componentes s , la elección obvia es decir que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido son todas iguales (por ejemplo, la dirección z en la Fig. 11). Para los componentes p , este artículo adopta la convención de que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido están inclinadas hacia el mismo medio (es decir, hacia el mismo lado de la interfaz, por ejemplo, como las flechas rojas en la Fig.11 ). [Nota 12] Pero se debe advertir al lector que algunos libros usan una convención diferente para los componentes p , lo que provoca un signo diferente en la fórmula resultante para el coeficiente de reflexión. [30]
Para la polarización s , sean los coeficientes de reflexión y transmisión r s y t s respectivamente. Para la polarización p , sean los coeficientes correspondientes r p y t p . Luego, para medios lineales , homogéneos , isotrópicos y no magnéticos , los coeficientes vienen dados por: [31]
( 13 )
( 14 )
( 15 )
- .
( 16 )
(Para obtener una derivación de lo anterior, consulte las ecuaciones de Fresnel § Teoría ).
Ahora suponemos que la onda transmitida es evanescente. Con el signo correcto (+), sustituyendo ( 9 ) en ( 13 ) se obtiene
dónde
es decir, n es el índice del medio "interno" relativo al "externo", o el índice del medio interno si el externo es un vacío. [Nota 13] Entonces, la magnitud de r s es 1, y el argumento de r s es
lo que da una fase de avance de [32]
- .
( 17 )
Haciendo la misma sustitución en ( 14 ), nos encontramos con que t s tiene el mismo denominador que r s con un numerador real positivo (en lugar de un numerador complejo conjugado) y por lo tanto tiene la mitad del argumento de r s , de que la fase El avance de la onda evanescente es la mitad que el de la onda reflejada .
Con la misma elección de signo, [Nota 14] sustituyendo ( 9 ) en ( 15 ) da
cuya magnitud es 1, y cuyo argumento es
lo que da una fase de avance de [32]
- .
( 18 )
Haciendo la misma sustitución en ( 16 ), nuevamente encontramos que el avance de fase de la onda evanescente es la mitad del de la onda reflejada.
Las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) se aplican cuando θ c ≤ θ i <90 °, donde θ i es el ángulo de incidencia y θ c es el ángulo crítico (1 / n ) . Estas ecuaciones muestran que
- cada avance de fase es cero en el ángulo crítico (para el cual el numerador es cero);
- cada avance de fase se aproxima a 180 ° como θ i → 90 ° ; y
- δ p > δ s valores intermedios de θ i ( debido a que el factor de n es en el numerador de ( 18 ) y el denominador de ( 17 ) ) . [33]
Para θ i ≤ θ c , coeficientes de reflexión se dan por las ecuaciones ( 13 ) y ( 15 ), y son reales , de modo que el desplazamiento de fase es o bien 0 ° (si el coeficiente es positivo) o 180 ° (si el coeficiente es negativo).
En ( 13 ), si (Ley de Snell) y multiplicar el numerador y 1/n 1 pecado θ t , obtenemos [34] [35]
( 19 )
que es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (ya que θ t > θ i ), dando un desplazamiento de fase δ s de cero.
Si hacemos lo mismo con ( 15 ), se muestra fácilmente que el resultado es equivalente a [36] [37]
( 20 )
que es negativo para ángulos pequeños (es decir, cerca de la incidencia normal), pero cambia de signo en el ángulo de Brewster , donde θ i y θ t son complementarios. Por lo tanto, el cambio de fase δ p es 180 ° para θ i pequeño, pero cambia a 0 ° en el ángulo de Brewster. La combinación de la complementariedad con rendimientos ley de Snell theta i = arctan (1 / n ) el ángulo de Brewster para la incidencia-denso-a raro. [Nota 15]
( Ecuaciones ( 19 ) y ( 20 ) son conocidos como ley de los senos de Fresnel y la ley tangente de Fresnel . [38] Ambos reducen a 0/0 en incidencia normal, pero el rendimiento de los resultados correctos en el límite como θ i → 0 . Que tienen signos opuestos a medida que nos acercamos a la incidencia normal es una desventaja obvia de la convención de signos utilizada en este artículo; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en la incidencia rasante. )
Esto completa la información necesaria para trazar δ s y δ p para todos los ángulos de incidencia. Esto se hace en la Fig. 13, [32] con δ p en rojo y δ s en azul, para tres índices de refracción. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ p (rojo) cae desde 180 ° a 0 °, y el ángulo crítico es donde tanto δ p y δ s (rojo y azul) comienzan a elevarse de nuevo. A la izquierda del ángulo crítico está la región de reflexión parcial , donde ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0 ° o 180 °) con magnitudes menores a 1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total , donde ambos Los coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a 1. En esa región, las curvas negras muestran el avance de fase de la componente p en relación con la componente s : [39]
- .
Puede verse que un índice de refracción de 1,45 no es suficiente para dar una diferencia de fase de 45 °, mientras que un índice de refracción de 1,5 es suficiente (por un margen estrecho) para dar una diferencia de fase de 45 ° en dos ángulos de incidencia: aproximadamente 50,2 ° y 53,3 °.
Este cambio relativo de 45 ° se emplea en la invención de Fresnel, ahora conocido como el rombo de Fresnel , en el que los ángulos de incidencia se eligen de manera que las dos reflexiones internas provoquen un cambio de fase relativo total de 90 ° entre las dos polarizaciones de una onda incidente. Este dispositivo realiza la misma función que una placa de cuarto de onda birrefringente , pero es más acromático (es decir, el cambio de fase del rombo es menos sensible a la longitud de onda ). De cualquier dispositivo puede ser utilizado, por ejemplo, para transformar la polarización lineal a la polarización circular (que Fresnel también descubrió) y viceversa.
En la Fig. 13, δ se calcula mediante una resta final; pero hay otras formas de expresarlo. El mismo Fresnel, en 1823, [40] dio una fórmula para cos δ . Born y Wolf (1970, p. 50) derivar una expresión para ( δ / 2), y encuentran su máximo analíticamente.
Para TIR de un haz de ancho finito, la variación del desplazamiento de fase con el ángulo de incidencia da lugar al efecto Goos-Hänchen , que es un desplazamiento lateral del haz reflejado dentro del plano de incidencia. [27] [41] Este efecto se aplica a la polarización lineal en los s o p dirección. El efecto Imbert-Fedorov es un efecto análogo a la polarización circular o elíptica y produce un desplazamiento perpendicular al plano de incidencia. [42]
Aplicaciones
Las fibras ópticas aprovechan la reflexión interna total para transportar señales a largas distancias con poca atenuación. [43] Se utilizan en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios de formación de imágenescomo los colonoscopios . [44]
En la lente de Fresnel catadióptrica , inventada por Augustin-Jean Fresnel para su uso en faros , los prismas exteriores utilizan TIR para desviar la luz de la lámpara a través de un ángulo mayor de lo que sería posible con prismas puramente refractivos, pero con menos absorción de luz (y menos riesgo de deslustre) que con los espejos convencionales. [45]
Otros prismas reflectantes que utilizan TIR son los siguientes (con cierta superposición entre las categorías): [46]
- Los prismas de formación de imágenes para binoculares y telescopios terrestres incluyen prismas Porro emparejados de 45 ° -90 ° -45 °(Fig. 14), el prisma Porro-Abbe , los prismas en línea Koenig [47] y Abbe-Koenig , y el compacto Schmidt en línea –Pechan prisma . (El último consta de dos componentes, uno de los cuales es una especie de prisma de Bauernfeind , que requiere un recubrimiento reflectante en una de sus dos caras reflectantes, debido a un ángulo de incidencia subcrítico). Estos prismas tienen la función adicional de plegado. la trayectoria óptica desde la lente del objetivo hasta el foco principal , reduciendo la longitud total para una distancia focal primaria determinada.
- Una diagonal de estrella prismática para un telescopio astronómico puede consistir en un solo prisma Porro (configurado para un solo reflejo, dando una imagen invertida en espejo) o un prisma de techo Amici (que brinda una imagen no invertida).
- Los prismas de techo usan TIR en dos caras que se encuentran en un ángulo agudo de 90 °. Esta categoría incluye los tipos Koenig, Abbe-Koenig, Schmidt-Pechan y Amici (ya mencionados), y el pentaprisma de techoutilizado en las cámaras SLR ; el último de estos requiere un revestimiento reflectante en unacara no TIR .
- Un reflector de esquina prismático utiliza tres reflejos internos totales para invertir la dirección de la luz entrante.
- El prisma Dove ofrece una vista en línea con inversión de espejo.
Prismas polarizantes : aunque el rombo de Fresnel, que convierte entre polarización lineal y elíptica, no es birrefringente (doblemente refractivo), existen otros tipos de prismas que combinan la birrefringencia con TIR de tal manera que la luz de una polarización particular se refleja totalmente mientras se ilumina. de la polarización ortogonal se transmite al menos parcialmente. Los ejemplos incluyen el prisma de Nicol , [48] prisma de Glan-Thompson , prisma de Glan-Foucault (o "prisma de Foucault"), [49] [50] y prisma de Glan-Taylor . [51]
Los refractómetros , que miden índices de refracción, a menudo utilizan el ángulo crítico. [52] [53]
Los sensores de lluvia para limpiaparabrisas / limpiaparabrisas automáticos se han implementado utilizando el principio de que la reflexión interna total guiará un rayo infrarrojo desde una fuente a un detector si la superficie exterior del parabrisas está seca, pero cualquier gota de agua en la superficie desviará parte de la la luz. [54]
Los paneles LED con iluminación de borde , utilizados (p. Ej.) Para la retroiluminación de monitores LCD de computadora , utilizan TIR para confinar la luz LED al panel de vidrio acrílico, excepto que parte de la luz se dispersa mediante grabados en un lado del panel, lo que da una apariencia aproximada de emitancia luminosa uniforme . [55]
La microscopía de reflexión interna total (TIRM) utiliza la onda evanescente para iluminar pequeños objetos cercanos a la interfaz reflectante. La consiguiente dispersión de la onda evanescente (una forma de TIR frustrada) hace que los objetos parezcan brillantes cuando se ven desde el lado "externo". [21] En el microscopio de fluorescencia de reflexión interna total (TIRFM), en lugar de depender de la dispersión simple, elegimos una longitud de onda evanescente lo suficientemente corta como para causar fluorescencia (Fig. 15). [56] La alta sensibilidad de la iluminación a la distancia desde la interfaz permite medir desplazamientos y fuerzas extremadamente pequeños. [57]
Un cubo divisor de haz utiliza TIR frustrado para dividir la potencia del haz entrante entre los haces transmitidos y reflejados. [18]
La modulación óptica se puede lograr mediante TIR frustrado con un espacio variable. [58] Como el coeficiente de transmisión es muy sensible al ancho de la brecha (la función es aproximadamente exponencial hasta que la brecha está casi cerrada), esta técnica puede lograr un gran rango dinámico .
Los dispositivos ópticos de toma de huellas dactilares han utilizado TIR frustrado para registrar imágenes de huellas dactilares de personas sin el uso de tinta (véase la figura 11). [59]
El análisis de la marcha se puede realizar utilizando TIR frustrado con una cámara de alta velocidad para capturar y analizar huellas. [60]
Un gonioscopio , utilizado en optometría y oftalmología para el diagnóstico de glaucoma , suprime la TIR para observar el ángulo entre el iris y la córnea . Esta vista suele estar bloqueada por TIR en la interfaz córnea-aire. El gonioscopio reemplaza el aire con un medio de índice más alto, lo que permite la transmisión en incidencia oblicua, normalmente seguida de una reflexión en un "espejo", que a su vez se puede implementar mediante TIR. [61] [62]
Historia
Descubrimiento
Las explicaciones sorprendentemente completas y en gran parte correctas del arco iris por Teodorico de Freiberg (escrito 1304-1310) y Kamāl al-Dīn al-Fārisī ( 1309 ), [ cita requerida ], aunque a veces se mencionan en relación con la reflexión interna total (TIR), son de dudosa relevancia porque el reflejo interno de la luz solar en una gota de lluvia esférica no es total. [Nota 16] Pero, según Carl Benjamin Boyer , el tratado de Teodorico sobre el arco iris también clasificó los fenómenos ópticos en cinco causas, la última de las cuales fue "un reflejo total en el límite de dos medios transparentes". [63] El trabajo de Teodorico fue olvidado hasta que fue redescubierto por Giovanni Battista Venturi en 1814. [64]
Habiendo caído Teodorico en la oscuridad, el descubrimiento de TIR se atribuyó generalmente a Johannes Kepler , quien publicó sus hallazgos en su Dioptrice en 1611. Aunque Kepler no pudo encontrar la verdadera ley de refracción, demostró mediante un experimento que para la incidencia de aire a vidrio , los rayos incidentes y refractados rotaban en el mismo sentido alrededor del punto de incidencia, y que como el ángulo de incidencia variaba en ± 90 °, el ángulo de refracción (como lo llamamos ahora) variaba en ± 42 °. También era consciente de que el incidente y los rayos refractados eran intercambiables. Pero estas observaciones no cubrieron el caso de un rayo incidente desde el vidrio al aire en un ángulo superior a 42 °, y Kepler concluyó rápidamente que tal rayo solo podría reflejarse . [sesenta y cinco]
René Descartes redescubrió la ley de refracción y la publicó en su Dioptrique de 1637. En la misma obra menciona los sentidos de rotación de los rayos incidentes y refractados y la condición de TIR. Pero se olvidó de discutir el caso límite y, en consecuencia, no dio una expresión para el ángulo crítico, aunque fácilmente podría haberlo hecho. [66]
Huygens y Newton: explicaciones rivales
Christiaan Huygens , en su Tratado de la luz (1690), prestó mucha atención al umbral en el que el rayo incidente es "incapaz de penetrar en la otra sustancia transparente". [67] Aunque no dio un nombre ni una expresión algebraica para el ángulo crítico, dio ejemplos numéricos para la incidencia de vidrio a aire y agua a aire, notó el gran cambio en el ángulo de refracción para un pequeño cambio en el ángulo de incidencia cerca del ángulo crítico, y citó esto como la causa del rápido aumento en el brillo del rayo reflejado a medida que el rayo refractado se acerca a la tangente a la interfaz. [68] La visión de Huygens está confirmada por la teoría moderna: en las Ecs. ( 13 ) y ( 15 ) anteriores, no hay nada que diga que los coeficientes de reflexión aumentan excepcionalmente abruptamente cuando θ t se acerca a 90 °, excepto que, según la ley de Snell, θ t en sí es una función cada vez más pronunciada de θ i .
Huygens ofreció una explicación de TIR dentro del mismo marco que sus explicaciones de las leyes de la propagación rectilínea, la reflexión, la refracción ordinaria e incluso la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita). Ese marco se basaba en dos premisas: primero, cada punto atravesado por un frente de onda que se propaga se convierte en una fuente de frentes de onda secundarios ("principio de Huygens"); y segundo, dado un frente de onda inicial, cualquier posición posterior del frente de onda es la envolvente (superficie tangente común) de todos los frentes de onda secundarios emitidos desde la posición inicial. Todos los casos de reflexión o refracción por una superficie se explican simplemente considerando las ondas secundarias emitidas desde esa superficie. En el caso de refracción de un medio de propagación más lenta a un medio de propagación más rápida, existe una cierta oblicuidad de incidencia más allá de la cual es imposible que los frentes de onda secundarios formen una tangente común en el segundo medio; [69] esto es lo que ahora llamamos el ángulo crítico. A medida que el frente de onda incidente se acerca a esta oblicuidad crítica, el frente de onda refractado se concentra contra la superficie de refracción, aumentando las ondas secundarias que producen la reflexión de regreso al primer medio. [70]
El sistema de Huygens incluso acomodó la reflexión parcial en la interfaz entre diferentes medios, aunque de manera vaga, por analogía con las leyes de colisiones entre partículas de diferentes tamaños. [71] Sin embargo, mientras la teoría ondulatoria continuara asumiendo ondas longitudinales , no tenía ninguna posibilidad de acomodar la polarización, por lo tanto, no había posibilidad de explicar la dependencia de la polarización de la refracción extraordinaria, [72] o del coeficiente de reflexión parcial, o de el cambio de fase en TIR.
Isaac Newton rechazó la explicación ondulatoria de la propagación rectilínea, creyendo que si la luz consistiera en ondas, "se doblaría y se esparciría en todos los sentidos" hacia las sombras. [73] Su teoría corpuscular de la luz explicaba la propagación rectilínea de manera más simple y explicaba las leyes ordinarias de refracción y reflexión, incluida la TIR, sobre la hipótesis de que los corpúsculos de luz estaban sujetos a una fuerza que actuaba perpendicularmente a la interfaz. [74] En este modelo, para una incidencia denso a raro, la fuerza era una atracción hacia el medio más denso, y el ángulo crítico era el ángulo de incidencia en el que la velocidad normal del corpúsculo que se aproximaba era suficiente para alcanzar el lado lejano del campo de fuerza; en una incidencia más oblicua, el corpúsculo se volvería hacia atrás. [75] Newton dio lo que equivale a una fórmula para el ángulo crítico, aunque en palabras: "así como los senos son los que miden la refracción, así es el seno de incidencia en el que comienza la reflexión total, hasta el radio del círculo". [76]
Newton fue más allá de Huygens de dos maneras. Primero, como era de esperar, Newton señaló la relación entre TIR y la dispersión : cuando un rayo de luz blanca se acerca a una interfaz vidrio-aire con una oblicuidad creciente, los rayos más fuertemente refractados (violetas) son los primeros en ser "eliminados "por" Reflexión total ", seguido de los rayos menos refractados. [77] En segundo lugar, observó que la reflexión total podría frustrarse (como decimos ahora) colocando juntos dos prismas, uno plano y el otro ligeramente convexo; y explicó esto simplemente señalando que los corpúsculos serían atraídos no solo por el primer prisma, sino también por el segundo. [78]
Sin embargo, de otras dos formas, el sistema de Newton era menos coherente. Primero, su explicación de la reflexión parcial dependía no sólo de las supuestas fuerzas de atracción entre los corpúsculos y los medios, sino también de la hipótesis más nebulosa de "Ataques de fácil reflexión" y "Ataques de fácil transmisión". [79] En segundo lugar, aunque sus corpúsculos posiblemente podrían tener "lados" o "polos", cuyas orientaciones podrían determinar si los corpúsculos sufrieron refracción ordinaria o extraordinaria en "Isla-Cristal", [80] su descripción geométrica de la refracción extraordinaria [ 81] teóricamente carecía de apoyo [82] y era empíricamente inexacto. [83]
Laplace, Malus y reflectancia total atenuada (ATR)
William Hyde Wollaston , en el primero de un par de artículos leídos a la Royal Society de Londres en 1802, [53] informó de su invención de un refractómetro basado en el ángulo crítico de incidencia de un medio interno de conocido "poder refractivo" (refractivo index) a un medio externo cuyo índice se iba a medir. [84] Con este dispositivo, Wollaston midió los "poderes refractivos" de numerosos materiales, algunos de los cuales eran demasiado opacos para permitir la medición directa de un ángulo de refracción. Las traducciones de sus artículos se publicaron en Francia en 1803 y aparentemente llamaron la atención de Pierre-Simon Laplace . [85]
Según la elaboración de Laplace de la teoría de la refracción de Newton, un corpúsculo incidente en una interfaz plana entre dos medios isotrópicos homogéneos estaba sujeto a un campo de fuerza que era simétrico con respecto a la interfaz. Si ambos medios fueran transparentes, se produciría una reflexión total si el corpúsculo se volviera hacia atrás antes de salir del campo en el segundo medio. Pero si el segundo medio fuera opaco, la reflexión no sería total a menos que el corpúsculo se volviera hacia atrás antes de dejar el primer medio; esto requería un ángulo crítico mayor que el dado por la ley de Snell y, en consecuencia, impugnaba la validez del método de Wollaston para medios opacos. [86] Laplace combinó los dos casos en una sola fórmula para el índice de refracción relativo en términos del ángulo crítico (ángulo mínimo de incidencia para TIR). La fórmula contenía un parámetro que tomaba un valor para un medio externo transparente y otro valor para un medio externo opaco. La teoría de Laplace predijo además una relación entre el índice de refracción y la densidad de una sustancia determinada. [87]
En 1807, la teoría de Laplace fue probada experimentalmente por su protegido, Étienne-Louis Malus . Tomando la fórmula de Laplace para el índice de refracción como se da, y usándola para medir el índice de refracción de la cera de abejas en el estado líquido (transparente) y el estado sólido (opaco) a varias temperaturas (por lo tanto, varias densidades), Malus verificó la relación de Laplace entre índice de refracción y densidad. [88] [89]
Pero la teoría de Laplace implicaba que si el ángulo de incidencia excedía su ángulo crítico modificado, la reflexión sería total incluso si el medio externo fuera absorbente. Claramente esto estaba mal: en las Ecs. ( 12 ) arriba, no hay valor umbral del ángulo θ i más allá del cual κ se vuelve infinito; por lo que la profundidad de penetración de la onda evanescente (1 / κ ) es siempre distinta de cero, y el medio externo, si tiene alguna pérdida, atenuará la reflexión. En cuanto a por qué Malus aparentemente observó tal ángulo para la cera opaca, debemos inferir que había un cierto ángulo más allá del cual la atenuación de la reflexión era tan pequeña que ATR era visualmente indistinguible de TIR. [90]
Fresnel y el cambio de fase
Fresnel llegó al estudio de la reflexión interna total a través de su investigación sobre la polarización. En 1811, François Arago descubrió que la luz polarizada aparentemente estaba "despolarizada" de una manera dependiente de la orientación y dependiente del color cuando pasaba a través de una rebanada de cristal doblemente refractivo: la luz emergente mostraba colores cuando se veía a través de un analizador (segundo polarizador). La polarización cromática , como se llamó a este fenómeno, fue investigada más a fondo en 1812 por Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot estableció que un caso estudiado por Arago, el cuarzo cortado perpendicular a su eje óptico , era en realidad una rotación gradual del plano de polarización con la distancia. [91]
En 1816, Fresnel ofreció su primer intento de una teoría de la polarización cromática basada en ondas . Sin (todavía) invocar explícitamente ondas transversales , su teoría trataba la luz como si constara de dos componentes polarizados perpendicularmente. [92] En 1817 se dio cuenta de que la luz polarizada en un plano parecía estar parcialmente despolarizada por la reflexión interna total, si inicialmente estaba polarizada en un ángulo agudo con el plano de incidencia. [93] Al incluir la reflexión interna total en un experimento de polarización cromática, descubrió que la luz aparentemente despolarizada era una mezcla de componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de incidencia, y que la reflexión total introducía una diferencia de fase entre ellos. [94] La elección de un ángulo de incidencia apropiado (aún no especificado exactamente) dio una diferencia de fase de 1/8 de ciclo. Dos de tales reflexiones de las "caras paralelas" de "dos prismas acoplados" dieron una diferencia de fase de 1/4 de ciclo. En ese caso, si la luz estaba inicialmente polarizada a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, parecía estar completamente despolarizada después de las dos reflexiones. Estos hallazgos se informaron en una memoria enviada y leída a la Academia de Ciencias de Francia en noviembre de 1817. [95]
En 1821, Fresnel derivó fórmulas equivalentes a sus leyes de seno y tangente ( ecuaciones ( 19 ) y ( 20 ), arriba ) modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que antes se llamaba plano de polarización . [96] [Nota 17] Utilizando datos experimentales antiguos, confirmó rápidamente que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente se polarizó a 45 ° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente del aire sobre el vidrio. o agua. [97] La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel expuso su teoría madura de la polarización cromática, introduciendo ondas transversales. [98] Los detalles de la derivación se dieron más tarde, en una memoria leída a la Academia en enero de 1823. [99] La derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en el componente normal de vibración. [100]
Mientras tanto, en una memoria presentada en diciembre de 1822, [101] Fresnel acuñó los términos polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica . [102] Para la polarización circular , las dos componentes perpendiculares estaban desfasadas en un cuarto de ciclo (± 90 °).
La nueva terminología fue útil en las memorias de enero de 1823, [99] que contienen las derivaciones detalladas de las leyes del seno y la tangente: en esa misma memoria, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, los coeficientes de reflexión resultantes eran complejos. con unidad de magnitud. Al notar que la magnitud representaba la relación de amplitud como de costumbre, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis mediante un experimento. [103] La verificación implicó
- calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90 ° entre las s y p componentes, para diversos números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
- someter la luz a ese número de reflejos internos totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45 ° del plano de incidencia, y
- comprobando que la polarización final sea circular . [104]
Este procedimiento era necesario porque, con la tecnología de las veces, no se podía medir los s y p desplazamientos de fase directamente, y no se podía medir un grado arbitrario de ellipticality de polarización, tal como podría ser causada por la diferencia entre la fase de turnos. Pero se pudo verificar que la polarización era circular , porque el brillo de la luz era entonces insensible a la orientación del analizador.
Para vidrio con un índice de refracción de 1,51, Fresnel calculó que una diferencia de fase de 45 ° entre los dos coeficientes de reflexión (por lo tanto, una diferencia de 90 ° después de dos reflexiones) requería un ángulo de incidencia de 48 ° 37 'o 54 ° 37'. Cortó un rombo en el último ángulo y descubrió que funcionaba como se esperaba. [105] Así se completó la especificación del rombo de Fresnel . De manera similar, Fresnel calculó y verificó el ángulo de incidencia que daría una diferencia de fase de 90 ° después de tres reflejos en el mismo ángulo y cuatro reflejos en el mismo ángulo. En cada caso había dos soluciones, y en cada caso informó que el ángulo de incidencia mayor daba una polarización circular precisa (para una polarización lineal inicial a 45 ° del plano de reflexión). Para el caso de tres reflejos, también probó el ángulo más pequeño, pero descubrió que daba algo de coloración debido a la proximidad del ángulo crítico y su ligera dependencia de la longitud de onda. (Compare la Fig. 13 anterior, que muestra que la diferencia de fase δ es más sensible al índice de refracción para ángulos de incidencia más pequeños).
Para mayor confianza, Fresnel predijo y verificó que cuatro reflejos internos totales a 68 ° 27 'darían una polarización circular precisa si dos de los reflejos tuvieran agua como medio externo mientras que los otros dos tuvieran aire, pero no si las superficies reflectantes fueran todas. mojado o todo seco. [106]
Se cree que la deducción de Fresnel del cambio de fase en TIR fue la primera ocasión en la que se atribuyó un significado físico al argumento de un número complejo. Aunque este razonamiento se aplicó sin el beneficio de saber que las ondas de luz eran electromagnéticas, pasó la prueba del experimento y sobrevivió notablemente intacto después de que James Clerk Maxwell cambiara la presunta naturaleza de las ondas. [107] Mientras tanto, el éxito de Fresnel inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy , a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales utilizando las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo . [108] La parte imaginaria del índice complejo representa la absorción. [109]
El término ángulo crítico , utilizado por conveniencia en la narrativa anterior, es anacrónico: aparentemente data de 1873. [110]
En el siglo XX, la electrodinámica cuántica reinterpretó la amplitud de una onda electromagnética en términos de la probabilidad de encontrar un fotón. [111] En este marco, la transmisión parcial y el TIR frustrado se refieren a la probabilidad de que un fotón cruce un límite, y la reflectancia total atenuada se refiere a la probabilidad de que un fotón sea absorbido en el otro lado.
La investigación sobre los aspectos más sutiles del cambio de fase en TIR, incluidos los efectos Goos-Hänchen e Imbert-Fedorov y sus interpretaciones cuánticas, ha continuado en el siglo XXI. [42]
Galería
Un pez ballesta indio y su reflejo total en la superficie del agua.
Reflexión total de un pincel por la superficie agua-aire en un vaso.
Reflejo interno total de un láser verde en el tallo de una copa de vino.
Ver también
- Reflectancia total atenuada
- Campo evanescente
- Fibroscopio
- Ecuaciones de Fresnel
- lente de Fresnel
- Rombo de Fresnel
- Efecto Goos – Hänchen
- Efecto Imbert-Fedorov
- Fibra óptica
- Polarización (ondas)
- Ventana de Snell
- Microscopio de fluorescencia TIR
- Microscopía TIR
- Reflexión "externa" total
Notas
- ^ Los medios birrefringentes , como la calcita , no son isotrópicos (anisotrópicos). Cuando decimos que la refracción extraordinaria de un cristal de calcita "viola la ley de Snell", queremos decir que la ley de Snell no se aplica al rayo extraordinario, porque la dirección de este rayo dentro del cristal generalmente difiere de la de la onda normal asociada ( Huygens, 1690, tr. Thompson, p. 65, Art. 24), y porque la velocidad normal de onda depende en sí misma de la dirección. (Tenga en cuenta que el pasaje citado contiene un error de traducción: en la frase "conjugar con respecto a los diámetros que no están en la línea recta AB", la palabra "no" no está respaldada por el francés original de Huygens y es geométricamente incorrecta).
- ^ Según las Ecs. ( 13 ) y ( 15 ), la reflexión es total para la incidencia en el ángulo crítico. Sobre esa base, la Fig. 5 debería mostrar un rayo completamente reflejado, y ningún rayo tangencial, para la incidencia en θ c . Pero, debido a la difracción , un haz incidente de ancho finito no puede tener un solo ángulo de incidencia; debe haber alguna divergencia del haz. Además, la gráfica del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia se vuelve vertical en θ c (Jenkins y White, 1976, p. 527), de modo que una pequeña divergencia del haz provoca una gran pérdida de reflexión. De manera similar, cerca del ángulo crítico, una pequeña divergencia en el ángulo de incidencia provoca una gran divergencia en el ángulo de refracción (cf. Huygens, 1690, tr. Thompson, p. 41); por tanto, el rayo tangencial refractado debe tomarse sólo como un caso límite.
- ^ Para medios no isotrópicos, Eq. ( 1 ) todavía describe la ley de refracción en términos dedirecciones y velocidades normales de onda , pero el rango de aplicabilidad de esa ley está determinado por las restricciones en lasdirecciones delos rayos (cf. Buchwald, 1989, p. 29).
- ^ El rango citado varía debido a los diferentes politipos de cristales.
- ^ La potencia "por unidad de área" es apropiada para campos en tres dimensiones. En dos dimensiones, podríamos querer que el producto del esfuerzo y el flujo sea la potencia por unidad de longitud . En una dimensión, o en un modelo de elementos agrupados , podríamos querer que sea simplemente poder.
- ^ Suponemos que las ecuaciones que describen los campos son lineales .
- ^ La forma anterior ( 5 ) es la que suelen utilizar los físicos. Los ingenieros eléctricos suelen preferir la formaes decir, no solo usan j en lugar de i para la unidad imaginaria, sino que también cambian el signo del exponente, con el resultado de que toda la expresión se reemplaza por su conjugado complejo , dejando la parte real sin cambios. La forma de los ingenieros eléctricos y las fórmulas derivadas de la misma pueden convertirse a la convención de los físicos sustituyendo −i por j (Stratton, 1941, págs. Vii-viii).
- ^ Suponemos que no hay cambios Doppler , por lo que ω no cambia en las interfaces entre los medios.
- ^ Si convertimos esta correctamente a la convención de la ingeniería eléctrica, obtenemos -j √⋯ en el lado derecho de ( 9 ), que es no la raíz cuadrada principal. Por tanto, no es válido suponer, a priori , que lo que los matemáticos llaman la " raíz cuadrada principal " es la físicamente aplicable.
- ^ En la convención de la ingeniería eléctrica, el factor dependiente del tiempo es e jωt , de modo que un avance de fase corresponde a la multiplicación por una constante compleja con un positivo argumento. Este artículo, sin embargo, utiliza la convención de la física, con el factor dependiente del tiempo e −iωt .
- ↑ La s proviene originalmente del alemán senkrecht , que significa "perpendicular" (al plano de incidencia). Los mnemónicos alternativos en el texto son quizás más adecuados para hablantes de inglés.
- ^ En otras palabras, para ambas polarizaciones, este artículo utiliza la convención de que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido son todas iguales para cualquier campo que sea normal al plano de incidencia; este es elcampo E para lapolarización sy elcampo H para lapolarización p .
- ↑ Esta nomenclatura sigue a Jenkins y White, 1976, págs. 526–9. Algunos autores, sin embargo, utilizan elíndice de refracción recíproco y, por lo tanto, obtienen diferentes formas para nuestras Ecs. ( 17 ) y ( 18 ). Los ejemplos incluyen Born & Wolf [1970, p. 49, ecs. δ ⊥ y δ ∥ como argumentos en lugar de cambios de fase, lo que provoca un cambio de signo. y Stratton [1941, p. 499, ecs. (43)]. Además, Born & Wolf definen
- ^ Es simplemente fortuito que la raíz cuadrada principal resulte ser la correcta en la situación actual, y solo porque usamos el factor dependiente del tiempo e −iωt . Si por el contrario se utilizaron los ingenieros eléctricos factor dependiente del tiempo e jωt , la elección de la raíz cuadrada principal de rendiría el mismo argumento para el coeficiente de reflexión, pero esto sería interpretado como el opuesto de desplazamiento de fase, lo que sería un error. Pero si elegimos la raíz cuadrada para que el campo transmitido sea evanescente, obtenemos el cambio de fase correcto con cualquiera de los factores dependientes del tiempo.
- ^ La fórmula más familiar arctan n para incidencia-rare-a denso. En ambos casos, n es el índice de refracción del medio más denso en relación con el medio más raro.
- ^ Para un rayo externo que incide sobre una gota de lluvia esférica, el rayo refractado está en el plano del rayo incidente y el centro de la gota, y el ángulo de refracción es menor que el ángulo crítico para la incidencia agua-aire; pero este ángulo de refracción, por la simetría esférica, es también el ángulo de incidencia de la reflexión interna, que por lo tanto es menor que la total. Además, si esa reflexión fuera total, todas las reflexiones internas posteriores tendrían el mismo ángulo de incidencia (debido a la simetría) y también serían totales, por lo que la luz nunca escaparía para producir un arco visible.
- ^ Por lo tanto, donde Fresnel dice que después de la reflexión interna total en la incidencia apropiada, la onda polarizada paralela al plano de incidencia está "detrás" en 1/8 de ciclo (citado por Buchwald, 1989, p. 381), se refiere a la onda cuyo plano de polarización es paralelo al plano de incidencia, es decir, la onda cuya vibración es perpendicular a ese plano, es decir, lo que ahora llamamoscomponente s .
Referencias
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- ^ Cf. Born & Wolf, 1970, págs. 12-13.
- ^ Cf. Huygens, 1690, tr. Thompson, pág. 38.
- ^ Born y Wolf, 1970, p. 13; Jenkins y White, 1976, págs. 9-10. Esta definición utiliza un vacío como "medio de referencia". En principio, se puede elegir cualquier medio isotrópico como referencia. Para algunos propósitos, es conveniente elegir el aire, en el que la velocidad de la luz es aproximadamente un 0,03% menor que en el vacío (cf. Rutten y van Venrooij, 2002, págs. 10, 352). El presente artículo, sin embargo, elige un vacío.
- ^ Cf. Jenkins y White, 1976, pág. 25.
- ^ Jenkins y White, 1976, págs.10, 25.
- ^ Cf. DK Lynch (1 de febrero de 2015), "Snell's window in wavy water" , Applied Optics , 54 (4): B8 – B11, doi : 10.1364 / AO.54.0000B8 .
- ↑ Huygens (1690, tr. Thompson, p. 41), para la incidencia de vidrio a aire, señaló que si la oblicuidad del rayo incidente es solo 1 ° menos del crítico, el rayo refractado está a más de 11 ° de la tangente . NB: La definición de Huygens del "ángulo de incidencia" es el complemento de la definición moderna.
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- ^ Born y Wolf, 1970, p. dieciséis.
- ^ Whittaker, 1910, págs. 132, 135–6.
- ↑ Una autoridad notable que usa la convención "diferente" (pero sin llevarla muy lejos) es The Feynman Lectures on Physics , en el Volumen I , eq. (33.8) (para B ) y Volumen II , Figs. 33-6 y 33-7.
- ^ Born y Wolf, 1970, p. 40, eq. (20), (21), donde el subíndice ⊥ corresponde a s , y ∥ a p .
- ^ a b c Cf. Jenkins y White, 1976, pág. 529.
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- ^ Cf. Buchwald, 1989, pág. 30 (citando a Malus).
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- ^ Este efecto había sido descubierto previamente por Brewster , pero aún no se informó adecuadamente. Véase: "Sobre una nueva especie de polarización móvil" , [Quarterly] Journal of Science and the Arts , vol. 2, no. 3, 1817, pág. 213; T. Young , "Cromática", Suplemento de las ediciones cuarta, quinta y sexta de la Encyclopædia Britannica , vol. 3 (primera mitad, publicado en febrero de 1818), págs. 141–63, en pág. 157 ; Lloyd, 1834, pág. 368.
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