Número trascendental

Número que no se puede encontrar como resultado de una ecuación algebraica con coeficientes enteros

Pi ( π ) es un número trascendental bien conocido

En matemáticas , un número trascendental es un número que no es algebraico , es decir, no es la raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes racionales . Los números trascendentales más conocidos son π y e . ^{[1] [2]}

Aunque solo se conocen unas pocas clases de números trascendentales, en parte porque puede ser extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendental, los números trascendentales no son raros. De hecho, casi todos los números reales y complejos son trascendentales, ya que los números algebraicos componen un conjunto contable , mientras que el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos son conjuntos incontables y, por lo tanto, más grandes que cualquier conjunto contable. Todos los números reales trascendentales (también conocidos como números trascendentales reales o números irracionales trascendentales ) son números irracionales, ya que todos los números racionales son algebraicos. ^{[3] [4] [5] [6]} Lo contrario no es cierto: no todos los números irracionales son trascendentales. Por lo tanto, el conjunto de números reales consiste en números reales racionales, algebraicos no racionales y trascendentales que no se superponen. ^[3] Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, pero no es un número trascendental ya que es una raíz de la ecuación polinómica x ² - 2 = 0 . La proporción áurea (denotada o ) es otro número irracional que no es trascendental, ya que es una raíz de la ecuación polinomial x ² - x${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$- 1 = 0 .

Historia

El nombre "trascendental" proviene del latín trascendĕre 'trepar por encima o más allá, superar', ^[7] y se utilizó por primera vez para el concepto matemático en el artículo de Leibniz de 1682 en el que demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^{[8] [9]} Euler , en el siglo XVIII, fue probablemente la primera persona en definir los números trascendentales en el sentido moderno. ^[10]

Johann Heinrich Lambert conjetura que e y π eran ambos números trascendentales en su artículo de 1768 demostrando el número π es irracional , y propuso un bosquejo tentativo de una prueba de π 's trascendencia. ^[11]

Joseph Liouville demostró por primera vez la existencia de números trascendentales en 1844, ^[12] y en 1851 dio los primeros ejemplos decimales como la constante de Liouville.

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\\end{aligned}}}$

en el que el n- ésimo dígito después del punto decimal es 1 si n es igual a k ! ( k factorial ) para algunos k y 0 en caso contrario. ^[13] En otras palabras, ¡el n- ésimo dígito de este número es 1 solo si n es uno de los números 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 , etc. Liouville demostró que este número pertenece a una clase de números trascendentales que pueden aproximarse más de cerca mediante números racionales que cualquier número algebraico irracional, y esta clase de números se denominan números de Liouville., nombrado en su honor. Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales. ^[14]

El primer número en ser probado trascendental sin haber sido construido específicamente con el propósito de probar la existencia de números trascendentales fue e , por Charles Hermite en 1873.

En 1874, Georg Cantor demostró que los números algebraicos son contables y los números reales son incontables. También dio un nuevo método para construir números trascendentales. ^{[15] [16]} Aunque esto ya estaba implícito en su prueba de la contabilidad de los números algebraicos, Cantor también publicó una construcción que prueba que hay tantos números trascendentales como números reales. ^[17] El trabajo de Cantor estableció la ubicuidad de los números trascendentales.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publicó la primera prueba completa de la trascendencia de π . Primero demostró que e ^a es trascendental si a es un número algebraico distinto de cero. Entonces, dado que e ^{i π} = −1 es algebraico (ver la identidad de Euler ), i π debe ser trascendental. Pero como i es algebraico, π debe ser trascendental. Este enfoque fue generalizado por Karl Weierstrass a lo que ahora se conoce como el teorema de Lindemann-Weierstrass . La trascendencia de πpermitió probar la imposibilidad de varias construcciones geométricas antiguas que involucraban compás y regla , incluida la más famosa, cuadrando el círculo .

En 1900, David Hilbert planteó una pregunta influyente sobre los números trascendentales, el séptimo problema de Hilbert : si a es un número algebraico que no es cero ni uno, y b es un número algebraico irracional , ¿es a ^b necesariamente trascendental? La respuesta afirmativa fue proporcionada en 1934 por el teorema de Gelfond-Schneider . Alan Baker amplió este trabajo en la década de 1960 en su trabajo sobre límites inferiores para formas lineales en cualquier número de logaritmos (de números algebraicos). ^[18]

Propiedades

El conjunto de números trascendentales es incontablemente infinito . Dado que los polinomios con coeficientes racionales son contables , y dado que cada polinomio tiene un número finito de ceros , los números algebraicos también deben ser contables. Sin embargo, el argumento diagonal de Cantor prueba que los números reales (y por lo tanto también los números complejos) son incontables. Dado que los números reales son la unión de números algebraicos y trascendentales, estos últimos no pueden ser contables a la vez. Esto hace que los números trascendentales sean incontables.

Ningún número racional es trascendental y todos los números trascendentales reales son irracionales. Los números irracionales contienen todos los números trascendentales reales y un subconjunto de los números algebraicos, incluidos los irracionales cuadráticos y otras formas de irracionales algebraicos.

Cualquier función algebraica no constante de una sola variable produce un valor trascendental cuando se aplica a un argumento trascendental. Por ejemplo, al saber que π es trascendental, se puede deducir inmediatamente que números como 5 π ,π -3/√ 2, ( √ π - √ 3 ) ⁸ , y ⁴ √ π ⁵ +7 también son trascendentales.

Sin embargo, una función algebraica de varias variables puede producir un número algebraico cuando se aplica a números trascendentales si estos números no son algebraicamente independientes . Por ejemplo, π y (1 - π ) son ambos trascendentales, pero π + (1 - π ) = 1 obviamente no lo es. Se desconoce si e + π , por ejemplo, es trascendental, aunque al menos uno de e + π y eπ debe ser trascendental. Más en general, para cualquier par de números trascendentes un y b , al menos uno de un +b y ab deben ser trascendentales. Para ver esto, considere el polinomio ( x - a ) ( x - b ) = x ² - ( a + b ) x + ab . Si ( a + b ) y ab fueran algebraicos, entonces este sería un polinomio con coeficientes algebraicos. Debido a que los números algebraicos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , esto implicaría que las raíces del polinomio, una y b, debe ser algebraico. Pero esto es una contradicción y, por lo tanto, debe ser el caso de que al menos uno de los coeficientes sea trascendental.

Los números no computables son un subconjunto estricto de los números trascendentales.

Todos los números de Liouville son trascendentales, pero no al revés. Cualquier número de Liouville debe tener cocientes parciales ilimitados en su expansión fraccionaria continua . Usando un argumento de conteo, se puede demostrar que existen números trascendentales que tienen cocientes parciales acotados y, por lo tanto, no son números de Liouville.

Usando la expansión de fracción continua explícita de e , se puede demostrar que e no es un número de Liouville (aunque los cocientes parciales en su expansión de fracción continua son ilimitados). Kurt Mahler demostró en 1953 que π tampoco es un número de Liouville. Se conjetura que todas las fracciones continuas infinitas con términos acotados que no son eventualmente periódicos son trascendentales (las fracciones continuas eventualmente periódicas corresponden a irracionales cuadráticas). ^[19]

Se ha demostrado que los números son trascendentales

Números que han demostrado ser trascendentales:

• e ^a siaesalgebraicoy distinto de cero (según elteorema de Lindemann-Weierstrass).
• π (según el teorema de Lindemann-Weierstrass ).
• e ^π , constante de Gelfond , así como e ^{- π / 2} = i ⁱ (según el teorema de Gelfond-Schneider ).
• a ^b donde a es algebraico pero no 0 o 1, y b es algebraico irracional (según el teorema de Gelfond-Schneider), en particular:

2 ^{√ 2} , la constante de Gelfond-Schneider (o número de Hilbert)

• pecado una , cos una , bronceado una , csc una , sec una , y cuna una , y sus homólogos hiperbólicas , para cualquier número distinto de cero algebraica una , expresado en radianes (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
• El punto fijo de la función coseno (también conocido como el número dottie d ) - la única solución real a la ecuación cos x = x , donde x está en radianes (según el teorema de Lindemann-Weierstrass). ^[20]
• En a si a es algebraico y no es igual a 0 o 1, para cualquier rama de la función logarítmica (según el teorema de Lindemann-Weierstrass).
• log _b un si un y b no son números enteros positivos ambas potencias del mismo número entero (por el teorema de Gelfond-Schneider).
• W ( a )siaes algebraico y distinto de cero, para cualquier rama de la función W de Lambert (según el teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular:Ωlaconstante omega
• √ x _s , la superraíz cuadrada de cualquier número natural es un número entero o trascendental (según el teorema de Gelfond-Schneider)
• Γ (1/3) , ^[21] Γ (1/4) , ^[22] y Γ (1/6) . ^[22]
• 0.64341054629 ..., constante de Cahen . ^[23]
• Las constantes de Champernowne , los números irracionales formados por la concatenación de representaciones de todos los números enteros positivos. ^{[24] [25]}
• Ω , constante de Chaitin (ya que es un número no computable). ^[26]
• Las llamadas constantes de Fredholm, como ^{[12] [27] [28]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots }$

que también se cumple al reemplazar 10 con cualquier b > 1 algebraico . ^[29]

• La constante de Gauss .
• Las dos constantes de lemniscata L ₁ (a veces denotadas como ϖ ) y L ₂ .
• La constante de Liouville antes mencionada para cualquier b ∈ (0, 1) algebraico .
• La constante de Prouhet-Thue-Morse . ^{[30] [31]}
• La constante Komornik-Loreti.
• Cualquier número para el que los dígitos con respecto a una base fija forman una palabra sturmiana . ^[32]
• Para β > 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$

¿Dónde está la función de piso ?${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$

• 3.300330000000000330033 ... y su recíproco 0.30300000303 ..., dos números con solo dos dígitos decimales diferentes cuyas posiciones de dígitos distintos de cero están dadas por la secuencia Moser – de Bruijn y su doble. ^[33]
• El número π/2Y ₀ (2)/J ₀ (2)- γ , donde Y _α ( x ) y J _α ( x ) son funciones de Bessel y γ es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[34] [35]}

Posibles números trascendentales

Números que aún no se ha demostrado que sean trascendentales o algebraicos:

• La mayoría de las sumas, productos, potencias, etc.del número π y el número e , por ejemplo, eπ , e + π , π - e , π / e , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} son no se sabe que sea racional, algebraico, irracional o trascendental. Una excepción notable es e ^{π √ n} (para cualquier número entero positivo n ) que ha demostrado ser trascendental.^[36]
• La constante de Euler-Mascheroni γ : En 2010 M. Ram Murty y N. Saradha consideraron una lista infinita de números que también conteníanγ/4y demostró que todos menos uno de ellos tienen que ser trascendentales. ^{[37] [38]} En 2012 se demostró que al menos uno de γ y la constante de Euler-Gompertz δ es trascendental. ^[39]
• El catalán es constante , ni siquiera ha demostrado ser irracional.
• La constante de Khinchin , tampoco ha demostrado ser irracional.
• Constante de Apéry ζ (3) (que Apéry demostró que es irracional).
• La función zeta de Riemann en otros enteros impares, ζ (5) , ζ (7) , ... (no se ha demostrado que sea irracional).
• Las constantes de Feigenbaum δ y α , tampoco han demostrado ser irracionales.
• La constante de Mills , tampoco ha demostrado ser irracional.
• La constante de Copeland-Erd , formada por la concatenación de las representaciones decimales de los números primos.

Conjeturas:

• Conjetura de Schanuel ,
• Conjetura de cuatro exponenciales .

Bosquejo de una prueba de que e es trascendental

La primera prueba de que la base de los logaritmos naturales, e , es trascendental data de 1873. Seguiremos ahora la estrategia de David Hilbert (1862-1943) quien dio una simplificación de la prueba original de Charles Hermite . La idea es la siguiente:

Suponga, con el propósito de encontrar una contradicción, que e es algebraico. Entonces existe un conjunto finito de coeficientes enteros c ₀ , c ₁ , ..., c _{n que} satisfacen la ecuación:

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

Ahora, para un entero positivo k , definimos el siguiente polinomio:

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

y multiplica ambos lados de la ecuación anterior por

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$

para llegar a la ecuación:

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$

Al dividir los respectivos dominios de integración, esta ecuación se puede escribir en la forma

${\displaystyle P+Q=0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)\end{aligned}}}$

Lema 1. Para una elección apropiada de k , es un número entero distinto de cero.${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$

Prueba. Cada término en P es un número entero multiplicado por una suma de factoriales, que resulta de la relación

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$

que es válido para cualquier entero positivo j (considere la función Gamma ).

No es cero porque para todo a satisfactorio 0 < a ≤ n , el integrando en

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$

es e ^{−x por} una suma de términos cuya potencia más baja de x es k +1 después de sustituir x por x + a en la integral. Entonces esto se convierte en una suma de integrales de la forma

${\displaystyle A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$Donde A _j-k es un número entero.

con k +1 ≤ j , y por tanto es un entero divisible por ( k +1) !. Después de dividir por k! , obtenemos cero módulo ( k +1). Sin embargo, podemos escribir:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.}$

Entonces, al dividir cada integral en P por k! , el inicial no es divisible por k +1, pero todos los demás lo son, siempre que k +1 sea primo y mayor que ny | c ₀ |. De ello se deduce que en sí mismo no es divisible por el primo k +1 y, por lo tanto, no puede ser cero.${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$

Lema 2. para suficientemente grande .${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$${\displaystyle k}$

Prueba. Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$

donde y son funciones continuas de para todos , por lo que están limitadas en el intervalo . Es decir, hay constantes tales que${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,n]}$${\displaystyle G,H>0}$

${\displaystyle \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n.}$

Entonces cada una de esas integrales que la componen está acotada, siendo el peor de los casos${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\,dx\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,dx=nG^{k}H.}$

Ahora también es posible unir la suma :${\displaystyle Q}$

${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M,}$

donde es una constante que no depende de . Resulta que${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty ,}$

terminando la prueba de este lema.

Elegir un valor que satisfaga ambos lemas conduce a que un número entero distinto de cero ( ) agregado a una cantidad extremadamente pequeña ( ) sea igual a cero, es una imposibilidad. De ello se deduce que el supuesto original de que e puede satisfacer una ecuación polinomial con coeficientes enteros también es imposible; es decir, e es trascendental.${\displaystyle k}$${\displaystyle P/k!}$${\displaystyle Q/k!}$

La trascendencia de π

Se puede usar una estrategia similar, diferente del enfoque original de Lindemann , para demostrar que el número π es trascendental. Además de la función gamma y algunas estimaciones como en la prueba de e , los hechos sobre polinomios simétricos juegan un papel vital en la prueba.

Para obtener información detallada relativa a las pruebas de la trascendencia de π y e , consulte las referencias y enlaces externos.

Ver también

• Teoría de los números trascendentales , el estudio de cuestiones relacionadas con los números trascendentales.
• Teorema de Gelfond-Schneider
• Aproximación diofántica
• Períodos , un conjunto de números (incluidos los números trascendentales y algebraicos) que pueden definirse mediante ecuaciones integrales.

Notas

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2. Shidlovskii, Andrei B. (junio de 2011). Números trascendentales . Walter de Gruyter. pag. 1. ISBN 9783110889055.
3. Bunday, BD; Mulholland, H. Matemáticas puras para nivel avanzado . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-1-4831-0613-7. Consultado el 21 de marzo de 2021 .
4. Baker, A. (1964). "Sobre la clasificación de Mahler de los números trascendentales" . projecteuclid.org . doi : 10.1007 / bf02391010.full . Consultado el 21 de marzo de 2021 .
5. Heuer, Nicolaus; Loeh, Clara (1 de noviembre de 2019). "Volúmenes simpliciales trascendentales" . Impresiones electrónicas arXiv . 1911 : arXiv: 1911.06386 . Consultado el 21 de marzo de 2021 .
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10. Erdős y Dudley 1983 .
11. Lambert 1768 .
12. Kempner, 1916 .
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14. Liouville 1851 .
15. Cantor 1874 .
16. Gris 1994 .
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23. Davison y Shallit 1991 .
24. Mahler, 1937 .
25. Mahler 1976 , p. 12.
26. Calude 2002 , p. 239.
27. Allouche y Shallit 2003 , págs. 385,403. El nombre 'número de Fredholm' está fuera de lugar: Kempner demostró por primera vez que este número es trascendental, y la nota de la página 403 afirma que Fredholm nunca estudió este número.
28. Deberá 1999 .
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Referencias

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Enlaces externos

Wikisource tiene texto original relacionado con este artículo: Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (en alemán)

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• (en inglés) Prueba de que la constante de Liouville es trascendental
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