En ingeniería, una función de transferencia (también conocida como función del sistema [1] o función de red ) de un componente del sistema electrónico o de control es una función matemática que, en teoría, modela la salida del dispositivo para cada entrada posible. [2] [3] [4] En su forma más simple, esta función es un gráfico bidimensional de una entrada escalar independiente frente a la salida escalar dependiente, llamada curva de transferencia o curva característica. Las funciones de transferencia para componentes se utilizan para diseñar y analizar sistemas ensamblados a partir de componentes, particularmente usando la técnica de diagrama de bloques , en electrónica y teoría de control .
Las dimensiones y unidades de la función de transferencia modelan la respuesta de salida del dispositivo para un rango de posibles entradas. Por ejemplo, la función de transferencia de un circuito electrónico de dos puertos como un amplificador podría ser un gráfico bidimensional del voltaje escalar en la salida en función del voltaje escalar aplicado a la entrada; la función de transferencia de un actuador electromecánico podría ser el desplazamiento mecánico del brazo móvil en función de la corriente eléctrica aplicada al dispositivo; la función de transferencia de un fotodetector podría ser el voltaje de salida en función de la intensidad luminosa de la luz incidente de una longitud de onda determinada.
El término "función de transferencia" también se utiliza en el análisis en el dominio de la frecuencia de sistemas que utilizan métodos de transformación como la transformada de Laplace ; aquí significa la amplitud de la salida en función de la frecuencia de la señal de entrada. Por ejemplo, la función de transferencia de un filtro electrónico es la amplitud del voltaje en la salida en función de la frecuencia de una onda sinusoidal de amplitud constante aplicada a la entrada. Para los dispositivos de formación de imágenes ópticas, la función de transferencia óptica es la transformada de Fourier de la función de dispersión de puntos (por lo tanto, una función de la frecuencia espacial ).
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Las funciones de transferencia se utilizan comúnmente en el análisis de sistemas, como los filtros de entrada única y salida única en los campos del procesamiento de señales , la teoría de la comunicación y la teoría del control . El término se usa a menudo exclusivamente para referirse a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La mayoría de los sistemas reales tienen características de entrada / salida no lineales , pero muchos sistemas, cuando se operan dentro de parámetros nominales (no "sobrecargados") tienen un comportamiento lo suficientemente cercano al lineal que la teoría del sistema LTI es una representación aceptable del comportamiento de entrada / salida.
Las descripciones siguientes se dan en términos de una variable compleja, , que conlleva una breve explicación. En muchas aplicaciones, es suficiente definir (por lo tanto ), que reduce las transformadas de Laplace con argumentos complejos a transformadas de Fourier con argumento real ω. Las aplicaciones en las que esto es común son aquellas en las que solo hay interés en la respuesta de estado estable de un sistema LTI, no en los comportamientos fugaces de encendido y apagado o problemas de estabilidad. Ese suele ser el caso del procesamiento de señales y la teoría de la comunicación .
Por lo tanto, para la señal de entrada de tiempo continuo y salida , la función de transferencia es el mapeo lineal de la transformada de Laplace de la entrada, , a la transformada de Laplace de la salida :
o
- .
En sistemas de tiempo discreto , la relación entre una señal de entrada y salida se trata con el uso de la transformada z , y luego la función de transferencia se escribe de manera similar comoy esto a menudo se denomina función de transferencia de pulsos. [ cita requerida ]
Derivación directa de ecuaciones diferenciales
Considere una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes
donde u y r son lisas adecuadamente funciones de t , y L es el definido por el operador en el espacio de la función relevante, que transforma u en r . Ese tipo de ecuación se puede usar para restringir la función de salida de u en términos de obligar a la función r . La función de transferencia se puede utilizar para definir un operadorque sirve como inversa a la derecha de L , lo que significa que.
Las soluciones de la homogénea , ecuación diferencial constante coeficiente se puede encontrar intentando . Esa sustitución produce el polinomio característico
El caso no homogéneo se puede resolver fácilmente si la función de entrada r también tiene la forma. En ese caso, sustituyendo uno encuentra que si definimos
Tomar eso como la definición de la función de transferencia requiere una desambiguación cuidadosa [se necesita aclaración ] entre valores complejos y reales, que tradicionalmente está influenciada [ aclaración necesaria ] por la interpretación de abs (H (s)) como la ganancia y -atan (H (s)) como el desfase . Se utilizan otras definiciones de la función de transferencia: por ejemplo[5]
Ganancia, comportamiento transitorio y estabilidad
Una entrada sinusoidal general a un sistema de frecuencia. puede ser escrito . La respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal que comienza en el momentoconsistirá en la suma de la respuesta de estado estable y una respuesta transitoria. La respuesta de estado estable es la salida del sistema en el límite de tiempo infinito, y la respuesta transitoria es la diferencia entre la respuesta y la respuesta de estado estable (corresponde a la solución homogénea de la ecuación diferencial anterior). La función de transferencia para un sistema LTI puede escribirse como el producto:
donde s P i son las N raíces del polinomio característico y, por lo tanto, serán los polos de la función de transferencia. Considere el caso de una función de transferencia con un solo polo dónde . La transformada de Laplace de una sinusoide general de unidad de amplitud será. La transformada de Laplace de la salida será y la salida temporal será la transformada de Laplace inversa de esa función:
El segundo término del numerador es la respuesta transitoria, y en el límite del tiempo infinito divergerá hasta el infinito si σ P es positivo. Para que un sistema sea estable, su función de transferencia no debe tener polos cuyas partes reales sean positivas. Si la función de transferencia es estrictamente estable, las partes reales de todos los polos serán negativas y el comportamiento transitorio tenderá a cero en el límite del tiempo infinito. La salida de estado estable será:
La respuesta de frecuencia (o "ganancia") G del sistema se define como el valor absoluto de la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada en estado estable:
que es solo el valor absoluto de la función de transferencia evaluado en . Se puede demostrar que este resultado es válido para cualquier número de polos de función de transferencia.
Procesamiento de la señal
Dejar ser la entrada a un sistema invariante en el tiempo lineal general , yser la salida, y la transformada bilateral de Laplace de y ser
Entonces la salida está relacionada con la entrada por la función de transferencia como
y la función de transferencia en sí misma es por lo tanto
En particular, si una señal armónica compleja con un componente sinusoidal con amplitud , frecuencia angular y fase , donde arg es el argumento
- dónde
es la entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo, entonces el componente correspondiente en la salida es:
Tenga en cuenta que, en un sistema lineal invariante en el tiempo, la frecuencia de entrada no ha cambiado, el sistema solo ha cambiado la amplitud y el ángulo de fase de la sinusoide. La respuesta de frecuencia describe este cambio para cada frecuencia en términos de ganancia :
y cambio de fase :
El retardo de fase (es decir, la cantidad de retardo que depende de la frecuencia introducido en la sinusoide por la función de transferencia) es:
El retardo de grupo (es decir, la cantidad de retardo que depende de la frecuencia introducida en la envolvente de la sinusoide por la función de transferencia) se calcula calculando la derivada del desplazamiento de fase con respecto a la frecuencia angular.,
La función de transferencia también se puede mostrar usando la transformada de Fourier, que es solo un caso especial de la transformada de Laplace bilateral para el caso en que.
Familias de funciones de transferencia comunes
Si bien cualquier sistema LTI puede describirse mediante una función de transferencia u otra, existen ciertas "familias" de funciones de transferencia especiales que se utilizan comúnmente.
Algunas familias de funciones de transferencia comunes y sus características particulares son:
- Filtro Butterworth : máximamente plano en banda de paso y banda de parada para el orden dado
- Filtro Chebyshev (Tipo I) : máximamente plano en la banda de detención, corte más nítido que un filtro Butterworth del mismo orden
- Filtro Chebyshev (Tipo II) : máximamente plano en la banda de paso, corte más nítido que un filtro Butterworth del mismo orden
- Filtro Bessel : la mejor respuesta de pulso para un pedido dado porque no tiene rizado de retardo de grupo
- Filtro elíptico : corte más nítido (transición más estrecha entre la banda de paso y la banda de parada) para el orden dado
- Filtro "L" óptimo
- Filtro gaussiano - retardo mínimo de grupo; no da sobreimpulso a una función escalonada
- Filtro de reloj de arena
- Filtro de coseno elevado
Ingeniería de control
En la ingeniería de control y la teoría de control, la función de transferencia se deriva utilizando la transformada de Laplace .
La función de transferencia fue la herramienta principal utilizada en la ingeniería de control clásica. Sin embargo, ha demostrado ser difícil de manejar para el análisis de sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) y ha sido reemplazado en gran medida por representaciones de espacio de estados para tales sistemas. [ cita requerida ] A pesar de esto, siempre se puede obtener una matriz de transferencia para cualquier sistema lineal, con el fin de analizar su dinámica y otras propiedades: cada elemento de una matriz de transferencia es una función de transferencia que relaciona una variable de entrada particular con una variable de salida .
Howard H. Rosenbrock propuso una representación útil que une el espacio de estados y los métodos de función de transferencia, que se conoce como matriz del sistema de Rosenbrock .
Óptica
En óptica, la función de transferencia de modulación indica la capacidad de transmisión de contraste óptico.
Por ejemplo, al observar una serie de franjas de luz blanca y negra dibujadas con una frecuencia espacial específica, la calidad de la imagen puede decaer. Los flecos blancos se desvanecen mientras que los negros se vuelven más brillantes.
La función de transferencia de modulación en una frecuencia espacial específica se define por
donde la modulación (M) se calcula a partir de la siguiente imagen o brillo de luz:
Imagen
En imágenes , las funciones de transferencia se utilizan para describir la relación entre la luz de la escena, la señal de la imagen y la luz mostrada.
Sistemas no lineales
Las funciones de transferencia no existen correctamente para muchos sistemas no lineales . Por ejemplo, no existen para osciladores de relajación ; [6] sin embargo, las funciones descriptivas a veces se pueden usar para aproximar tales sistemas no lineales invariantes en el tiempo.
Ver también
- Computadora analógica
- Caja negra
- Diagrama de Bode
- Circunvolución
- Principio de Duhamel
- Respuesta frecuente
- Respuesta impulsiva
- Transformada de Laplace
- Teoría del sistema LTI
- Parcela de Nyquist
- Amplificador operacional
- Función de transferencia óptica
- Función de transferencia adecuada
- Matriz del sistema Rosenbrock
- Gráfico semilogarítmico
- Gráfico de flujo de señal
- Función de transferencia de señal
Referencias
- ^ Bernd Girod , Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Señales y sistemas , 2ª ed., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 50
- ^ MA Laughton; DF Warne (27 de septiembre de 2002). Libro de referencia del ingeniero eléctrico (16 ed.). Newnes. págs. 14 / 9–14 / 10. ISBN 978-0-08-052354-5.
- ^ EA Parr (1993). Manual del diseñador lógico: circuitos y sistemas (2ª ed.). Novedad. págs. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.
- ^ Ian Sinclair; John Dunton (2007). Servicio electrónico y eléctrico: Electrónica comercial y de consumo . Routledge. pag. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7.
- ^ Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.[ página necesaria ]
- ^ Valentijn De Smedt, Georges Gielen y Wim Dehaene (2015). Referencias de tiempo independientes de la temperatura y el voltaje de suministro para redes de sensores inalámbricos . Saltador. pag. 47. ISBN 978-3-319-09003-0.
enlaces externos
- ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI - Breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).