Desigualdad triangular

propiedad de la geometría, también utilizada para generalizar la noción de "distancia" en espacios métricos

Este artículo trata sobre la desigualdad básica . Para conocer otras desigualdades asociadas con triángulos, consulte Lista de desigualdades de triángulos .${\displaystyle z\leq x+y}$

Tres ejemplos de la desigualdad de triángulos para triángulos con lados de longitudes x , y , z . El ejemplo superior muestra un caso donde z es mucho menor que la suma x + y de los otros dos lados, y el ejemplo inferior muestra un caso donde el lado z es solo un poco menor que x + y .

En matemáticas , la desigualdad del triángulo establece que para cualquier triángulo , la suma de las longitudes de dos lados debe ser mayor o igual que la longitud del lado restante. ^{[1] [2]} Esta afirmación permite la inclusión de triángulos degenerados , pero algunos autores, especialmente aquellos que escriben sobre geometría elemental, excluirán esta posibilidad, dejando de lado la posibilidad de igualdad. ^[3] Si x , y y z son las longitudes de los lados del triángulo, sin que ningún lado sea mayor que z , entonces la desigualdad del triángulo establece que

${\displaystyle z\leq x+y,}$

con igualdad solo en el caso degenerado de un triángulo con área cero. En la geometría euclidiana y algunas otras geometrías, la desigualdad del triángulo es un teorema sobre distancias, y se escribe usando vectores y longitudes de vectores ( normas ):

${\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|,}$

donde la longitud z del tercer lado ha sido reemplazada por la suma vectorial x + y . Cuando x y y son números reales , que puedan ser vistos como vectores en ℝ ¹ , y la desigualdad triangular expresa una relación entre los valores absolutos .

En geometría euclidiana, para los triángulos rectángulos la desigualdad del triángulo es una consecuencia del teorema de Pitágoras , y para los triángulos generales, una consecuencia de la ley de los cosenos , aunque puede demostrarse sin estos teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente en ℝ ² o ℝ ³ . La figura de la derecha muestra tres ejemplos que comienzan con una clara desigualdad (arriba) y se acercan a la igualdad (abajo). En el caso euclidiano, la igualdad ocurre solo si el triángulo tiene un ángulo de 180 ° y dos ángulos de 0 ° , lo que hace que los tres vértices sean colineales, como se muestra en el ejemplo inferior. Por tanto, en la geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

En geometría esférica , la distancia más corta entre dos puntos es un arco de un gran círculo , pero la desigualdad del triángulo se mantiene siempre que se establezca la restricción de que la distancia entre dos puntos en una esfera es la longitud de un segmento de línea esférica menor (es decir, uno con ángulo central en [0, π ] ) con esos extremos. ^{[4] [5]}

La desigualdad del triángulo es una propiedad definitoria de las normas y medidas de distancia . Esta propiedad debe ser establecido como un teorema para cualquier función propuesta para tales fines para cada espacio particular: por ejemplo, espacios como los números reales , espacios euclídeos , los L ^p espacios ( p ≥ 1 ), y los espacios interiores de productos .

Geometría euclidiana

Construcción de Euclides para la prueba de la desigualdad del triángulo para la geometría plana.

Euclides demostró la desigualdad del triángulo para distancias en geometría plana usando la construcción de la figura. ^[6] Comenzando con el triángulo ABC , se construye un triángulo isósceles con un lado tomado como BC y el otro cateto igual BD a lo largo de la extensión del lado AB . Luego se argumenta que el ángulo β > α , por lo que el lado AD > AC . Pero AD = AB + BD = AB + BC entonces la suma de los lados AB + BC > AC. Esta prueba aparece en Elementos de Euclides , Libro 1, Proposición 20. ^[7]

Expresión matemática de la restricción en los lados de un triángulo

Para un triángulo adecuado, la desigualdad del triángulo, como se indica en palabras, se traduce literalmente en tres desigualdades (dado que un triángulo adecuado tiene longitudes de lado a , b , c que son todas positivas y excluye el caso degenerado de área cero):

${\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.}$

Se puede demostrar que una forma más sucinta de este sistema de desigualdad es

${\displaystyle |a-b|<c<a+b.}$

Otra forma de decirlo es

${\displaystyle \max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)<a+b+c-\max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)}$

Insinuando

${\displaystyle 2\max(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)<a+b+c}$

y así que la longitud del lado más largo es menor que el semiperímetro .

Una formulación matemáticamente equivalente es que el área de un triángulo con lados a , b , c debe ser un número real mayor que cero. La fórmula de Heron para el área es

${\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}}$

En términos de cualquier expresión de área, la desigualdad del triángulo impuesta en todos los lados es equivalente a la condición de que la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada sea real y mayor que cero (por lo que la expresión del área es real y mayor que cero).

La desigualdad triangular proporciona dos restricciones más interesantes para los triángulos cuyos lados son a, b, c , donde a ≥ b ≥ c y es la proporción de oro , como${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}<3}$

${\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .}$^[8]

Triángulo rectángulo

Triángulo isósceles con lados iguales AB = AC dividido en dos triángulos rectángulos por una altitud dibujada de uno de los dos ángulos base.

En el caso de los triángulos rectángulos, la desigualdad del triángulo se especializa en el enunciado de que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los dos lados y menor que su suma. ^[9]

La segunda parte de este teorema ya se estableció anteriormente para cualquier lado de cualquier triángulo. La primera parte se establece utilizando la figura inferior. En la figura, considere el triángulo rectángulo ADC . Un triángulo isósceles ABC se construye con lados iguales AB = AC . Del postulado del triángulo , los ángulos en el triángulo rectángulo ADC satisfacen:

${\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .}$

Asimismo, en el triángulo isósceles ABC , los ángulos satisfacen:

${\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,}$

y así, en particular,

${\displaystyle \alpha <\beta \ .}$

Eso significa que el lado AD opuesto al ángulo α es más corto que el lado AB opuesto al ángulo mayor β . Pero AB = AC . Por eso:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}>{\overline {\mathrm {AD} }}\ .}$

Una construcción similar muestra AC > DC , estableciendo el teorema.

Una prueba alternativa (también basada en el postulado del triángulo) procede considerando tres posiciones para el punto B : ^[10] (i) como se muestra (que se va a probar), o (ii) B coincidente con D (lo que significaría el isósceles triángulo tenía dos ángulos rectos como ángulos base más el ángulo del vértice γ , que violaría el postulado del triángulo ), o por último, (iii) B interior al triángulo rectángulo entre los puntos A y D (en cuyo caso el ángulo ABC es un ángulo exterior de un triángulo rectángulo BDC y por lo tanto más grande que π / 2, lo que significa que el otro ángulo de la base del triángulo isósceles también es mayor que π / 2 y su suma excede π en violación del postulado del triángulo).

Este teorema que establece desigualdades se agudiza mediante el teorema de Pitágoras a la igualdad de que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Ejemplos de uso

Considere un triángulo cuyos lados están en una progresión aritmética y sean los lados a , a + d , a + 2 d . Entonces la desigualdad del triángulo requiere que

${\displaystyle 0<a<2a+3d}$

${\displaystyle 0<a+d<2a+2d}$

${\displaystyle 0<a+2d<2a+d.}$

Para satisfacer todas estas desigualdades se requiere

${\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.}$^[11]

Cuando se elige d tal que d = a / 3 , se genera un triángulo rectángulo que siempre es similar al triple pitagórico de lados 3 , 4 , 5 .

Ahora considere un triángulo cuyos lados están en progresión geométrica y sean los lados a , ar , ar ² . Entonces la desigualdad del triángulo requiere que

${\displaystyle 0<a<ar+ar^{2}}$

${\displaystyle 0<ar<a+ar^{2}}$

${\displaystyle 0<ar^{2}<a+ar.}$

La primera desigualdad requiere un > 0 ; en consecuencia, puede dividirse y eliminarse. Con a > 0 , la desigualdad media solo requiere r > 0 . Esto ahora deja la primera y tercera desigualdades que necesitan satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}}$

La primera de estas desigualdades cuadráticas requiere que r se extienda en la región más allá del valor de la raíz positiva de la ecuación cuadrática r ² + r - 1 = 0 , es decir, r > φ - 1 donde φ es la proporción áurea . La segunda desigualdad cuadrática requiere que r entre 0 y la raíz positiva de la ecuación cuadrática r ² - r - 1 = 0 , es decir, 0 < r < φ . Los requisitos combinados dan como resultado que r se limite al rango

${\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.}$^[12]

Cuando r, la razón común se elige tal que r = √ φ genera un triángulo rectángulo que siempre es similar al triángulo de Kepler .

Generalización a cualquier polígono

La desigualdad del triángulo se puede extender por inducción matemática a caminos poligonales arbitrarios, mostrando que la longitud total de dicho camino no es menor que la longitud de la línea recta entre sus extremos. En consecuencia, la longitud de cualquier lado del polígono es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros lados del polígono.

Ejemplo de desigualdad poligonal generalizada para un cuadrilátero

Considere un cuadrilátero cuyos lados están en una progresión geométrica y sean los lados a , ar , ar ² , ar ³ . Entonces la desigualdad poligonal generalizada requiere que

${\displaystyle 0<a<ar+ar^{2}+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar<a+ar^{2}+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar^{2}<a+ar+ar^{3}}$

${\displaystyle 0<ar^{3}<a+ar+ar^{2}.}$

Estas desigualdades para a > 0 se reducen a lo siguiente

${\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0}$

${\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.}$^[13]

Los polinomios del lado izquierdo de estas dos desigualdades tienen raíces que son la constante tribonacci y su recíproca. En consecuencia, r está limitado al rango 1 / t < r < t donde t es la constante de tribonacci.

Relación con los caminos más cortos

La longitud de arco de una curva se define como el límite superior mínimo de las longitudes de aproximaciones poligonales.

Esta generalización se puede utilizar para demostrar que la curva más corta entre dos puntos en la geometría euclidiana es una línea recta.

Ningún camino poligonal entre dos puntos es más corto que la línea entre ellos. Esto implica que ninguna curva puede tener una longitud de arco menor que la distancia entre sus extremos. Por definición, la longitud de arco de una curva es el límite superior mínimo de las longitudes de todas las aproximaciones poligonales de la curva. El resultado para trayectos poligonales muestra que la línea recta entre los puntos finales es la más corta de todas las aproximaciones poligonales. Debido a que la longitud del arco de la curva es mayor o igual que la longitud de cada aproximación poligonal, la curva en sí no puede ser más corta que la trayectoria de la línea recta. ^[14]

Converse

Lo contrario del teorema de desigualdad de triángulos también es cierto: si tres números reales son tales que cada uno es menor que la suma de los demás, entonces existe un triángulo con estos números como longitudes de sus lados y con área positiva; y si un número es igual a la suma de los otros dos, existe un triángulo degenerado (es decir, con área cero) con estos números como longitudes de sus lados.

En cualquier caso, si las longitudes de los lados son a, b, c , podemos intentar colocar un triángulo en el plano euclidiano como se muestra en el diagrama. Tenemos que demostrar que no existe un número real h coherente con los valores a, b, y c , en cuyo caso existe este triángulo.

Triángulo con altitud h cortando la base c en d + ( c - d ) .

Según el teorema de Pitágoras , tenemos b ² = h ² + d ² y a ² = h ² + ( c - d ) ^{2 de} acuerdo con la figura de la derecha. Restar estos da como resultado a ² - b ² = c ² - 2 cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo:

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Para la altura del triángulo tenemos que h ² = b ² - d ² . Reemplazando d con la fórmula dada arriba, tenemos

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.}$

Para que un número real h satisfaga esto, debe ser no negativo:${\displaystyle h^{2}}$

${\displaystyle b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\geq 0,}$

${\displaystyle \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\geq 0,}$

${\displaystyle \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\geq 0,}$

${\displaystyle (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\geq 0,}$

${\displaystyle (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\geq 0,}$

que se cumple si la desigualdad del triángulo se satisface para todos los lados. Por lo tanto, existe un número real h consistente con los lados a, b, c , y el triángulo existe. Si la desigualdad de cada triángulo se cumple estrictamente , h > 0 y el triángulo no es degenerado (tiene un área positiva); pero si una de las desigualdades se cumple con la igualdad, entonces h = 0, el triángulo está degenerado.

Generalización a dimensiones superiores

En el espacio euclidiano, el hipervolumen de una ( n - 1) - faceta de un n - simplex es menor o igual que la suma de los hipervolúmenes de las otras n facetas. En particular, el área de una cara triangular de un tetraedro es menor o igual a la suma de las áreas de los otros tres lados.

Espacio vectorial normado

Desigualdad triangular para normas de vectores.

En un espacio vectorial normado V , una de las propiedades definitorias de la norma es la desigualdad del triángulo:

${\displaystyle \displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V}$

es decir, la norma de la suma de dos vectores es como máximo tan grande como la suma de las normas de los dos vectores. Esto también se conoce como subaditividad . Para que cualquier función propuesta se comporte como una norma, debe satisfacer este requisito. ^[15]

Si el espacio normado es euclidiana , o, más generalmente, estrictamente convexa , a continuación, si y sólo si el triángulo formado por x , y , y x + y , es degenerado, es decir, x y y están en el mismo rayo, es decir, x = 0 o y = 0 , o x = α y para algunos α > 0 . Esta propiedad caracteriza espacios normativos estrictamente convexos como los espacios ℓ _p con 1 < p <∞${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$. Sin embargo, existen espacios normativos en los que esto no es cierto. Por ejemplo, considere el plano con la norma ℓ ₁ (la distancia de Manhattan ) y denote x = (1, 0) e y = (0, 1) . Entonces el triángulo formado por x , y , y x + y , no es degenerado pero

${\displaystyle \|x+y\|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|x\|+\|y\|.}$

Normas de ejemplo

• Valor absoluto como norma para la línea real . Para ser una norma, la desigualdad triangular requiere que el valor absoluto satisface para cualquier números reales x e y :

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|,}$

lo que hace.

Prueba: ^[16]

${\displaystyle -\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert }$

${\displaystyle -\left\vert y\right\vert \leq y\leq \left\vert y\right\vert }$

Después de agregar,

${\displaystyle -(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )\leq x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert }$

Utilice el hecho de que (con b reemplazado por x + y y a por ), tenemos${\displaystyle \left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a}$${\displaystyle \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert }$

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

La desigualdad del triángulo es útil en el análisis matemático para determinar la mejor estimación superior del tamaño de la suma de dos números, en términos de los tamaños de los números individuales.

También hay una estimación más baja, que se puede encontrar utilizando la desigualdad del triángulo inverso que establece que para los números reales x e y :

${\displaystyle |x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}.}$

• Producto interior como norma en un espacio de producto interior . Si la norma surge de un producto interno (como es el caso de los espacios euclidianos), entonces la desigualdad del triángulo se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz de la siguiente manera: Dados los vectores y , y denota el producto interno como : ^[17]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \|x+y\|^{2}}$	${\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle }$
	${\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}}$
	${\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}}$
	${\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}}$ (por la desigualdad de Cauchy-Schwarz)
	${\displaystyle =\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}$.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz vueltas en una igualdad si y sólo si x e y son linealmente dependientes. La desigualdad se convierte en una igualdad para linealmente dependientes y si y solo si uno de los vectores x o y es un no negativo escalar de la otra.${\displaystyle \langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2|\langle x,y\rangle |}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Sacar la raíz cuadrada del resultado final da la desigualdad del triángulo.

• p -norm: una norma comúnmente utilizada es lap-norm:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\ ,}$

donde x _i son los componentes del vector x . Para p = 2, la p -norm se convierte en la norma euclidiana :

${\displaystyle \|x\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}\ ,}$

que es el teorema de Pitágoras en n dimensiones, un caso muy especial correspondiente a una norma de producto interno. Excepto en el caso de p = 2 , la p -norm no es una norma de producto interno, porque no satisface la ley del paralelogramo . La desigualdad del triángulo para valores generales de p se llama desigualdad de Minkowski . ^[18] Toma la forma:

${\displaystyle \|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}\ .}$

Espacio métrico

En un espacio métrico M con métrica d , la desigualdad del triángulo es un requisito sobre la distancia :

${\displaystyle d(x,\ z)\leq d(x,\ y)+d(y,\ z)\ ,}$

para todos x , y , z en M . Es decir, la distancia de x a z es como máximo tan grande como la suma de la distancia desde x a y y la distancia desde y a z .

La desigualdad del triángulo es responsable de la mayor parte de la estructura interesante en un espacio métrico, a saber, la convergencia. Esto se debe a que los requisitos restantes para una métrica son bastante simplistas en comparación. Por ejemplo, el hecho de que cualquier secuencia convergente en un espacio métrico sea una secuencia de Cauchy es una consecuencia directa de la desigualdad del triángulo, porque si elegimos cualquier x _n y x _m tal que d ( x _n , x ) < ε / 2 y d ( x _m , x ) < ε / 2 , donde ε> 0 es dado y arbitrario (como en la definición de un límite en un espacio métrico), luego por la desigualdad del triángulo, d ( x _n , x _m ) ≤ d ( x _n , x ) + d ( x _m , x ) < ε / 2 + ε / 2 = ε , de modo que la secuencia { x _n } es una secuencia de Cauchy, por definición.

Esta versión de la desigualdad del triángulo se reduce a la indicada anteriormente en el caso de espacios vectoriales normalizados donde una métrica se induce a través de d ( x , y ) ≔ ‖ x - y ‖ , siendo x - y el vector que apunta desde el punto y hasta x .

Desigualdad del triángulo inverso

La desigualdad del triángulo inverso es una consecuencia elemental de la desigualdad del triángulo que da límites inferiores en lugar de límites superiores. Para la geometría plana, la afirmación es: ^[19]

Cualquier lado de un triángulo es mayor que la diferencia entre los otros dos lados .

En el caso de un espacio vectorial normalizado, la declaración es:

${\displaystyle {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|,}$

o para espacios métricos, | d ( y , x ) - d ( x , z ) | ≤ d ( y , z ) . Esto implica que tanto la función de norma como la de distancia son Lipschitz continuas con Lipschitz constante 1 y, por lo tanto, son en particular uniformemente continuas .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,\cdot )}$

La prueba del triángulo inverso usa la desigualdad del triángulo regular y :${\displaystyle \|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,}$

${\displaystyle \|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,}$

La combinación de estas dos declaraciones da:

${\displaystyle -\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.}$

Inversión en el espacio de Minkowski

La métrica del espacio de Minkowski no es definida positiva, lo que significa que puede tener signo o desaparecer, incluso si el vector x no es cero. Además, si x y y son ambos vectores tipo tiempo que yacen en el futuro cono de luz, la desigualdad triangular se invierte:${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle \|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$

${\displaystyle \|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|.}$

Un ejemplo físico de esta desigualdad es la paradoja de las gemelas en la relatividad especial . La misma forma inversa de la desigualdad se cumple si ambos vectores se encuentran en el cono de luz pasado y si uno o ambos son vectores nulos. El resultado se mantiene en n + 1 dimensiones para cualquier n ≥ 1. Si el plano definido por x y y es tipo espacio (y por lo tanto un subespacio euclidiana), entonces la desigualdad triangular habitual sostiene.

Ver también

• Subaditividad
• Desigualdad de Minkowski
• La desigualdad de Ptolomeo

Notas

1. Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html
2. Mohamed A. Khamsi; William A. Kirk (2001). "§1.4 La desigualdad del triángulo en ℝ n " . Una introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.
3. por ejemplo, Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman & Co., p. 246, ISBN 0-7167-0456-0
4. Oliver Brock; Jeff Trinkle; Fabio Ramos (2009). Robótica: ciencia y sistemas IV . MIT Press. pag. 195. ISBN 978-0-262-51309-8.
5. Arlan Ramsay; Robert D. Richtmyer (1995). Introducción a la geometría hiperbólica . Saltador. pag. 17 . ISBN 0-387-94339-0.
6. Harold R. Jacobs (2003). Geometría: ver, hacer, comprender (3ª ed.). Macmillan. pag. 201. ISBN 0-7167-4361-2.
7. David E. Joyce (1997). "Elementos de Euclides, Libro 1, Proposición 20" . Elementos de Euclides . Departamento de Matemáticas e Informática, Universidad de Clark . Consultado el 25 de junio de 2010 .
8. American Mathematical Monthly , págs. 49-50, 1954.
9. Claude Irwin Palmer (1919). Matemáticas prácticas para el estudio en casa: siendo los fundamentos de aritmética, geometría, álgebra y trigonometría . McGraw-Hill. pag. 422 .
10. Alexander Zawaira; Gavin Hitchcock (2009). "Lema 1: En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los otros dos lados" . Una cartilla para concursos de matemáticas . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-953988-8.
11. Wolfram | Alpha. "entrada: resolver 0 <a <2a + 3d, 0 <a + d <2a + 2d, 0 <a + 2d <2a + d, " . Wolfram Research . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .
12. Wolfram | Alpha. "entrada: resolver 0 <a <ar + ar 2 , 0 <ar <a + ar 2 , 0 <ar 2 <a + ar " . Wolfram Research . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .
13. Wolfram | Alpha. "entrada: resolver 0 <a <ar + ar 2 + ar 3 , 0 <ar 3 <a + ar + ar 2 " . Wolfram Research . Consultado el 29 de julio de 2012 .
14. John Stillwell (1997). Números y geometría . Saltador. ISBN 978-0-387-98289-2.pag. 95.
15. Rainer Kress (1988). "§3.1: Espacios normativos" . Análisis numérico . Saltador. pag. 26. ISBN 0-387-98408-9.
16. James Stewart (2008). Cálculo esencial . Thomson Brooks / Cole. pag. A10. ISBN 978-0-495-10860-3.
17. John Stillwell (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Saltador. pag. 80 . ISBN 0-387-25530-3.
18. Karen Saxe (2002). Inicio del análisis funcional . Saltador. pag. 61. ISBN 0-387-95224-1.
19. Anónimo (1854). "Ejercicio I. a la proposición XIX" . El educador popular; cuarto volumen . Ludgate Hill, Londres: John Cassell. pag. 196.

Referencias

• Pedoe, Daniel (1988). Geometría: un curso completo . Dover. ISBN 0-486-65812-0..
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X..

Enlaces externos

• La desigualdad de triángulos en ProofWiki