Un número triangular o un número de triángulo cuenta los objetos dispuestos en un triángulo equilátero . Los números triangulares son un tipo de número figurado , otros ejemplos son los números cuadrados y los números cúbicos . El n- ésimo número triangular es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en un lado, y es igual a la suma de los n números naturales de 1 a n . La secuencia de números triangulares (secuencia A000217 en la OEIS ), comenzando en el número triangular 0 , es
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...
Fórmula
Los números triangulares vienen dados por las siguientes fórmulas explícitas:
La primera ecuación se puede ilustrar mediante una demostración visual . [1] Por cada número triangular, imagine una disposición de "medio cuadrado" de objetos correspondientes al número triangular, como en la figura siguiente. Copiar esta disposición y rotarla para crear una figura rectangular duplica el número de objetos, produciendo un rectángulo con dimensiones., que también es el número de objetos en el rectángulo. Claramente, el número triangular en sí es siempre exactamente la mitad del número de objetos en tal figura, o:. El ejemplo sigue:
(verde más amarillo) implica que (verde). |
La primera ecuación también se puede establecer mediante inducción matemática : [2] Dado quees igual a uno, se establece un caso base. De la definición se desprende que, así que asumiendo la hipótesis inductiva para , agregando a ambos lados da inmediatamente
En otras palabras, dado que la proposición (es decir, la primera ecuación, o la propia hipótesis inductiva) es verdadera cuando , y desde ser verdad implica que también es cierto, entonces la primera ecuación es verdadera para todos los números naturales. El argumento anterior se puede modificar fácilmente para comenzar con cero e incluirlo.
Se dice que el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss encontró esta relación en su juventud al multiplicarnorte/2pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . [3] Sin embargo, independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonta a los pitagóricos en el siglo V a. C. [4] Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil en aproximadamente 816 en su Computus . [5]
El número triangular T n resuelve el problema del apretón de manos de contar el número de apretones de manos si cada persona en una habitación con n + 1 personas se da la mano una vez a cada persona. En otras palabras, la solución al problema del apretón de manos de n personas es T n −1 . [6] La función T es el análogo aditivo de la función factorial , que son los productos de números enteros de 1 an .
El número de segmentos de línea entre los pares de puntos más cercanos en el triángulo se puede representar en términos del número de puntos o con una relación de recurrencia :
En el límite , la relación entre los dos números, puntos y segmentos de línea es
Relaciones con otros números figurados
Los números triangulares tienen una amplia variedad de relaciones con otros números figurados.
De manera más simple, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado, siendo la suma el cuadrado de la diferencia entre los dos (y por lo tanto la diferencia de los dos es la raíz cuadrada de la suma). Algebraicamente,
Este hecho se puede demostrar gráficamente colocando los triángulos en direcciones opuestas para crear un cuadrado:
6 + 10 = 16 |
10 + 15 = 25 |
Hay infinitos números triangulares que también son números cuadrados; por ejemplo, 1, 36, 1225. Algunos de ellos se pueden generar mediante una fórmula recursiva simple:
Todos los números triangulares cuadrados se encuentran a partir de la recursividad.
Además, el cuadrado del n- ésimo número triangular es el mismo que la suma de los cubos de los enteros 1 an . Esto también se puede expresar como
La suma de los primeros n números triangulares es el n- ésimo número tetraédrico :
De manera más general, la diferencia entre el n - ésimo número m -gonal y el n- ésimo número ( m + 1) -gonal es el ( n - 1) número triangular. Por ejemplo, el sexto número heptagonal (81) menos el sexto número hexagonal (66) es igual al quinto número triangular, 15. Cada otro número triangular es un número hexagonal. Conociendo los números triangulares, se puede calcular cualquier número poligonal centrado ; el n- ésimo número k -gonal centrado se obtiene mediante la fórmula
donde T es un número triangular.
La diferencia positiva de dos números triangulares es un número trapezoidal .
Otras propiedades
Los números triangulares corresponden al caso de primer grado de la fórmula de Faulhaber .
Los números triangulares alternos (1, 6, 15, 28, ...) también son números hexagonales.
Todo número perfecto par es triangular (así como hexagonal), dado por la fórmula
Por ejemplo, el tercer número triangular es (3 × 2 =) 6, el séptimo es (7 × 4 =) 28, el 31 es (31 × 16 =) 496 y el 127 es (127 × 64 =) 8128.
En base 10 , la raíz digital de un número triangular distinto de cero es siempre 1, 3, 6 o 9. Por lo tanto, cada número triangular es divisible por tres o tiene un resto de 1 cuando se divide por 9:
1 = 9 × 0 + 1
3 = 9 × 0 + 3
6 = 9 × 0 + 6
10 = 9 × 1 + 1
15 = 9 × 1 + 6
21 = 9 × 2 + 3
28 = 9 × 3 + 1
36 = 9 × 4
45 = 9 × 5
55 = 9 × 6 + 1
66 = 9 × 7 + 3
78 = 9 × 8 + 6
91 = 9 × 10 + 1
...Hay una propiedad más específica de los números triangulares que no son divisibles por 3; es decir, tienen un resto 1 o 10 cuando se dividen entre 27. Aquellos que son iguales a 10 mod 27 también son iguales a 10 mod 81.
El patrón de raíz digital para números triangulares, que se repite cada nueve términos, como se muestra arriba, es "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".
Sin embargo, lo contrario de la afirmación anterior no siempre es cierto. Por ejemplo, la raíz digital de 12, que no es un número triangular, es 3 y es divisible por tres.
Si x es un número triangular, entonces ax + b también es un número triangular, dado que a es un cuadrado impar y b = a - 1/8. Tenga en cuenta que b siempre será un número triangular, porque 8 T n + 1 = (2 n + 1) 2 , lo que produce que todos los cuadrados impares se revelen al multiplicar un número triangular por 8 y sumar 1, y el proceso para b dado a es un cuadrado impar es el inverso de esta operación. Los primeros pares de esta forma (sin contar 1 x + 0 ) son: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 ,… etc. Dado que x es igual a T n , estas fórmulas producen T 3 n + 1 , T 5 n + 2 , T 7 n + 3 , T 9 n + 4 , y así sucesivamente.
La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es
Esto se puede demostrar usando la suma básica de una serie telescópica :
Otras dos fórmulas con respecto a los números triangulares son
En 1796, Gauss descubrió que cada entero positivo es representable como una suma de tres números triangulares (posiblemente incluyendo T 0 = 0), escribiendo en su diario sus famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! Num = Δ + Δ + Δ ". Este teorema no implica que los números triangulares sean diferentes (como en el caso de 20 = 10 + 10 + 0), ni que deba existir una solución con exactamente tres números triangulares distintos de cero. Este es un caso especial del teorema de números poligonales de Fermat .
El número triangular más grande de la forma 2 k - 1 es 4095 (consulte la ecuación de Ramanujan-Nagell ).
Wacław Franciszek Sierpiński planteó la cuestión de la existencia de cuatro números triangulares distintos en progresión geométrica . Fue conjeturado por el matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible y luego fue probado por Fang y Chen en 2007. [7] [8]
Las fórmulas que implican expresar un entero como la suma de números triangulares están conectadas a funciones theta , en particular a la función theta de Ramanujan . [9] [10]
Aplicaciones
Una red completamente conectada de n dispositivos informáticos requiere la presencia de cables T n - 1 u otras conexiones; esto es equivalente al problema del protocolo de enlace mencionado anteriormente.
En un formato de torneo que utiliza una fase de grupos de todos contra todos , el número de partidos que deben jugarse entre n equipos es igual al número triangular T n - 1 . Por ejemplo, una fase de grupos con 4 equipos requiere 6 partidos, y una fase de grupos con 8 equipos requiere 28 partidos. Esto también es equivalente al problema del protocolo de enlace y los problemas de red completamente conectados.
Una forma de calcular la depreciación de un activo es el método de la suma de dígitos de los años , que implica encontrar T n , donde n es la duración en años de la vida útil del activo. Cada año, el artículo pierde ( b - s ) × n - y/T n, donde b es el valor inicial del artículo (en unidades de moneda), s es su valor de rescate final, n es el número total de años que el artículo es utilizable e y el año actual en el programa de depreciación. Con este método, un artículo con una vida útil de n = 4 años perdería 4/10 de su valor de "pérdida" en el primer año, 3/10 en el segundo, 2/10 en el tercero, y 1/10 en el cuarto, acumulando una depreciación total de 10/10 (la totalidad) del valor perdible.
Raíces triangulares y pruebas para números triangulares
Por analogía con la raíz cuadrada de x , se puede definir la raíz triangular (positiva) de x como el número n tal que T n = x : [11]
que se sigue inmediatamente de la fórmula cuadrática . Entonces, un entero x es triangular si y solo si 8 x + 1 es un cuadrado. De manera equivalente, si la raíz triangular positiva n de x es un número entero, entonces x es el n- ésimo número triangular. [11]
nombre alternativo
Un nombre alternativo propuesto por Donald Knuth , por analogía con los factoriales , es "termial", con la notación n ? para el n- ésimo número triangular. [12] Sin embargo, aunque algunas otras fuentes usan este nombre y notación, [13] no son de uso generalizado.
Ver también
- Número doblemente triangular , un número triangular cuya posición en la secuencia de números triangulares es también un número triangular
- Tetractys , una disposición de diez puntos en un triángulo, importante en el pitagorismo
Referencias
- ^ "Secuencia de números triangulares" . Las matemáticas son divertidas .
- ↑ Andrews, George E. Number Theory , Dover, Nueva York, 1971. págs. 3-4.
- ^ Hayes, Brian. "Día del juicio final de Gauss" . Científico estadounidense . Ciencias de la Computación . Consultado el 16 de abril de 2014 .
- ^ Eves, Howard. "La página web cita UNA INTRODUCCIÓN A LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS" . Mathcentral . Consultado el 28 de marzo de 2015 .
- ^ Esposito, M. Un tratado astronómico inédito del monje irlandés Dicuil. Actas de la Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.
- ^ https://web.archive.org/web/20160310182700/http://www.mathcircles.org/node/835
- ^ Chen, Fang: números triangulares en progresión geométrica
- ^ Colmillo: inexistencia de una progresión geométrica que contiene cuatro números triangulares
- ^ Liu, Zhi-Guo (1 de diciembre de 2003). "Una identidad de Ramanujan y la representación de enteros como sumas de números triangulares". El diario Ramanujan . 7 (4): 407–434. doi : 10.1023 / B: RAMA.0000012425.42327.ae . ISSN 1382-4090 .
- ^ Sun, Zhi-Hong (24 de enero de 2016). "Funciones theta de Ramanujan y sumas de números triangulares". arXiv : 1601.06378 [ matemáticas.NT ].
- ^ a b Euler, Leonhard ; Lagrange, Joseph Louis (1810), Elements of Algebra , 1 (2ª ed.), J. Johnson and Co., págs. 332–335
- ^ Donald E. Knuth (1997). El arte de la programación informática: Volumen 1: Algoritmos fundamentales . 3ª Ed. Addison Wesley Longman, Estados Unidos p. 48.
- ^ Stone, John David (2018), Algoritmos para programación funcional , Springer, p. 282, doi : 10.1007 / 978-3-662-57970-1
enlaces externos
- "Serie aritmética" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Números triangulares al cortar el nudo
- Existen números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Número triangular" . MathWorld .
- Raíces politópicas hipertetraédricas de Rob Hubbard, incluida la generalización a raíces cúbicas triangulares , algunas dimensiones superiores y algunas fórmulas aproximadas