Prisma triangular uniforme | |
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Tipo | Poliedro uniforme prismático |
Elementos | F = 5, E = 9 V = 6 (χ = 2) |
Caras por lados | 3 {4} +2 {3} |
Símbolo de Schläfli | t {2,3} o {3} × {} |
Símbolo de Wythoff | 2 3 | 2 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | D 3 h , [3,2], (* 322), orden 12 |
Grupo de rotacion | D 3 , [3,2] + , (322), orden 6 |
Referencias | U 76 (a) |
Doble | Bipirámide triangular |
Propiedades | convexo |
Figura de vértice 4.4.3 |
En geometría , un prisma triangular es una de tres lados del prisma ; es un poliedro formado por una base triangular , una copia traducida y 3 caras que unen los lados correspondientes . Un prisma triangular recto tiene lados rectangulares , de lo contrario es oblicuo . Un prisma triangular uniforme es un prisma triangular recto con bases equiláteras y lados cuadrados.
De manera equivalente, es un poliedro cuyas dos caras son paralelas, mientras que las normales superficiales de las otras tres están en el mismo plano (que no es necesariamente paralelo a los planos base). Estas tres caras son paralelogramos . Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son el mismo triángulo.
Como poliedro semirregular (o uniforme)
Un prisma triangular rectángulo es semirregular o, más generalmente, un poliedro uniforme si las caras de la base son triángulos equiláteros y las otras tres caras son cuadrados . Se puede ver como un truncado trigonal hosohedron , representada por Schläfli símbolo t {2,3}. Alternativamente, puede verse como el producto cartesiano de un triángulo y un segmento de línea , y representado por el producto, El dual de un prisma triangular es una bipirámide triangular .
El grupo de simetría de un prisma de 3 lados rectos con base triangular es D 3h de orden 12. El grupo de rotación es D 3 de orden 6. El grupo de simetría no contiene inversión .
Volumen
El volumen de cualquier prisma es el producto del área de la base y la distancia entre las dos bases. En este caso, la base es un triángulo, por lo que simplemente necesitamos calcular el área del triángulo y multiplicar esto por la longitud del prisma:
donde b es la longitud de un lado del triángulo, h es la longitud de una altitud dibujada hacia ese lado y l es la distancia entre las caras triangulares.
Prisma triangular truncado
Un prisma triangular rectángulo truncado tiene una cara triangular truncada ( cepillada ) en un ángulo oblicuo. [1]
El volumen de un prisma triangular truncado con un área de base A y las tres alturas h 1 , h 2 y h 3 está determinado por [2]
Facetas
Hay dos facetas de simetría D 2h completas de un prisma triangular , ambas con 6 caras de triángulos isósceles , una que mantiene los triángulos superior e inferior originales y la otra los cuadrados originales. Dos facetas de simetría C 3v inferiores tienen un triángulo de base, 3 caras cuadradas laterales cruzadas y 3 caras laterales de triángulo isósceles.
Convexo | Facetas | |||
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Simetría D 3h | Simetría C 3v | |||
2 {3} 3 {4} | 3 {4} 6 () v {} | 2 {3} 6 () v {} | 1 {3} 3 t '{2} 6 () v {} | 1 {3} 3 t '{2} 3 () v {} |
Poliedros y teselados relacionados
Nombre del prisma | Prisma digital | (Trigonal) Prisma triangular | (Tetragonal) Prisma cuadrado | Prisma pentagonal | Prisma hexagonal | Prisma heptagonal | Prisma octogonal | Prisma enneagonal | Prisma decagonal | Prisma hendecagonal | Prisma dodecagonal | ... | Prisma apeirogonal |
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Imagen de poliedro | ... | ||||||||||||
Imagen de mosaico esférico | Imagen de mosaico plano | ||||||||||||
Configuración de vértice | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | ∞.4.4 |
Diagrama de Coxeter | ... |
norte | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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Nombre | {2} || t {2} | {3} || t {3} | {4} || t {4} | {5} || t {5} | {6} || t {6} |
Código corto | 2c | 3c | 4c | 5c | 6c |
Cúpula | Cúpula digonal | Cúpula triangular | Cúpula cuadrada | Cúpula pentagonal | Cúpula hexagonal (plana) |
Poliedros uniformes relacionados | Prisma triangular | Cubocta- edro | Rhombi- cubocta- hedron | Rhomb- icosidodeca- hedron | Rhombi- trihexagonal alicatado |
Mutaciones de simetría
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros truncados uniformes con configuraciones de vértice (3.2n.2n) y simetría de grupo de Coxeter [n, 3] .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: t { n , 3} | |||||||||||
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Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | ||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | |
Figuras truncadas | |||||||||||
Símbolo | t {2,3} | t {3,3} | t {4,3} | t {5,3} | t {6,3} | t {7,3} | t {8,3} | t {∞, 3} | t {12i, 3} | t {9i, 3} | t {6i, 3} |
Figuras de triakis | |||||||||||
Config. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de la secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), y continúa como teselaciones del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (* n32) simetría de reflexión .
Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de la secuencia de poliedros cantelados con figura de vértice (3.4.n.4), y continúa como teselaciones del plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (* n32) simetría de reflexión .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones expandidas: 3.4. n. 4 | ||||||||
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Simetría * n 32 [n, 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Figura | ||||||||
Config. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Compuestos
Hay 4 compuestos uniformes de prismas triangulares:
- Compuesto de cuatro prismas triangulares , compuesto de ocho prismas triangulares , compuesto de diez prismas triangulares , compuesto de veinte prismas triangulares .
Panales
Hay 9 panales uniformes que incluyen celdas de prisma triangular:
- Giroelongada panal cúbico alternado , alargado en forma de panal cúbico alternado , gyrated panal prismática triangular , desairar panal prismática cuadrada , de nido de abeja prismático triangular , en forma de panal prismática triangular-hexagonal , truncada hexagonal prismática de nido de abeja , rhombitriangular-hexagonal panal prismática , chata triangular-hexagonal panal prismática , triangular alargada panal prismático
Politopos relacionados
El prisma triangular es el primero en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye en la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como que contiene todas las facetas politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplejos ( triángulos y cuadrados equiláteros en el caso del prisma triangular). En la notación de Coxeter , el prisma triangular recibe el símbolo −1 21 .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
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Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Espacio de cuatro dimensiones
El prisma triangular existe como células de una serie de 4 politopos uniformes de cuatro dimensiones , que incluyen:
Politopos de cuatro dimensiones con prismas triangulares | |||||||||||
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Prisma tetraédrico | Prisma octaédrico | Prisma cuboctaédrico | Prisma icosaédrico | Prisma icosidodecaédrico | Prisma dodecaédrico truncado | ||||||
Prisma rombo-icosidodecaédrico | Prisma rombo-cuboctaédrico | Prisma cúbico truncado | Prisma dodecaédrico chato | prisma antipismático n-gonal | |||||||
5 celdas canteladas | Cantitruncado de 5 celdas | 5 celdas runcinadas | Runcitruncado de 5 celdas | Tesseract cantelado | Tesseract cantitruncado | Tesseract runcinado | Runcitruncado tesseract | ||||
24 celdas canteladas | Cantitruncado de 24 celdas | 24 celdas runcinadas | Runcitruncated 24 celdas | 120 celdas canteladas | 120 celdas cantitruncadas | 120 células runcinadas | Runcitruncated 120 celdas | ||||
Ver también
- Cuña (geometría)
Referencias
- ^ Kern, William F .; Soso, James R. (1938). Medición sólida con pruebas . pag. 81. OCLC 1035479 .
- ^ "Volumen de prisma truncado" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 9 de julio de 2019 .
- Weisstein, Eric W. "Prisma triangular" . MathWorld .
- Poliedro interactivo: Prisma triangular
- Área de superficie y volumen de un prisma triangular.