En matemáticas, una serie trigonométrica es una serie de la forma:
Se llama serie de Fourier si los términos y tener la forma:
dónde es una función integrable .
Los ceros de una serie trigonométrica
La singularidad y los ceros de las series trigonométricas fueron un área activa de investigación en la Europa del siglo XIX. Primero, Georg Cantor demostró que si una serie trigonométrica es convergente a una función en el intervalo , que es idénticamente cero, o más generalmente, es distinto de cero en un número finito de puntos como máximo, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. [1]
Más tarde, Cantor demostró que incluso si el conjunto S en el quees distinto de cero es infinito, pero el conjunto derivado S ' de S es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, demostró un resultado más general. Sea S 0 = S y sea S k + 1 el conjunto derivado de S k . Si hay un número finito n para el cual S n es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Más tarde, Lebesgue demostró que si hay un α ordinal numerablemente infinito tal que S α es finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el problema de la unicidad lo llevó a inventar números ordinales transfinitos , que aparecían como subíndices α en S α . [2]
Referencias
- ^ [1]
- ^ Cooke, Roger (1993), "Unicidad de series trigonométricas y teoría de conjuntos descriptiva, 1870-1985", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 45 (4): 281-334, doi : 10.1007 / BF01886630 .