En matemáticas , la sustitución trigonométrica es la sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculo , la sustitución trigonométrica es una técnica para evaluar integrales. Además, se pueden usar las identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales . [1] [2] Al igual que otros métodos de integración por sustitución, al evaluar una integral definida, puede ser más sencillo deducir completamente la antiderivada antes de aplicar los límites de integración.
Caso I: Integrandos que contienen a 2 - X 2 {\ Displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}} Dejar X = a pecado θ {\ Displaystyle x = a \ sin \ theta} y usa la identidad 1 - pecado 2 θ = porque 2 θ {\ Displaystyle 1- \ sin ^ {2} \ theta = \ cos ^ {2} \ theta} .
Ejemplos de caso I
Construcción geométrica para el caso I
Ejemplo 1 En la integral
∫ D X a 2 - X 2 , {\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},} podemos usar
X = a pecado θ , D X = a porque θ D θ , θ = arcos X a . {\ Displaystyle x = a \ sin \ theta, \ quad dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}.} Luego,
∫ D X a 2 - X 2 = ∫ a porque θ D θ a 2 - a 2 pecado 2 θ = ∫ a porque θ D θ a 2 ( 1 - pecado 2 θ ) = ∫ a porque θ D θ a 2 porque 2 θ = ∫ D θ = θ + C = arcos X a + C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int d \ theta \\ [6pt] & = \ theta + C \\ [6pt] & = \ arcsin {\ frac {x} {a}} + C. \ end {alineado}}} El paso anterior requiere que a > 0 {\ Displaystyle a> 0} y porque θ > 0 {\ Displaystyle \ cos \ theta> 0} . Podemos elegir a {\ Displaystyle a} ser la raíz principal de a 2 {\ Displaystyle a ^ {2}} , e imponer la restricción - π / 2 < θ < π / 2 {\ Displaystyle - \ pi / 2 <\ theta <\ pi / 2} mediante el uso de la función de seno inverso.
Para una integral definida, uno debe averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplo, como X {\ Displaystyle x} viene de 0 {\ displaystyle 0} a a / 2 {\ Displaystyle a / 2} , luego pecado θ {\ Displaystyle \ sin \ theta} viene de 0 {\ displaystyle 0} a 1 / 2 {\ Displaystyle 1/2} , entonces θ {\ Displaystyle \ theta} viene de 0 {\ displaystyle 0} a π / 6 {\ Displaystyle \ pi / 6} . Luego,
∫ 0 a / 2 D X a 2 - X 2 = ∫ 0 π / 6 D θ = π 6 . {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 6} d \ theta = {\ frac {\ pi} {6}}.} Se necesita algo de cuidado al elegir los límites. Porque la integración anterior requiere que - π / 2 < θ < π / 2 {\ Displaystyle - \ pi / 2 <\ theta <\ pi / 2} , θ {\ Displaystyle \ theta} solo puede ir desde 0 {\ displaystyle 0} a π / 6 {\ Displaystyle \ pi / 6} . Descuidando esta restricción, uno podría haber elegido θ {\ Displaystyle \ theta} para ir de π {\ Displaystyle \ pi} a 5 π / 6 {\ Displaystyle 5 \ pi / 6} , lo que habría resultado en el valor real negativo.
Alternativamente, evalúe completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da
∫ 0 a / 2 D X a 2 - X 2 = arcos ( X a ) | 0 a / 2 = arcos ( 1 2 ) - arcos ( 0 ) = π 6 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ arcsin \ left ({\ frac {x } {a}} \ right) {\ Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) - \ arcsin (0) = { \ frac {\ pi} {6}}} como antes. Ejemplo 2 La integral
∫ a 2 - X 2 D X , {\ Displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx,} puede ser evaluado dejando X = a pecado θ , D X = a porque θ D θ , θ = arcos X a , {\ Displaystyle x = a \ sin \ theta, \, dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}},}
dónde a > 0 {\ Displaystyle a> 0} así que eso a 2 = a {\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a} , y - π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}} por el rango de arcoseno, de modo que porque θ ≥ 0 {\ Displaystyle \ cos \ theta \ geq 0} y porque 2 θ = porque θ {\ Displaystyle {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ theta}} = \ cos \ theta} .
Luego,
∫ a 2 - X 2 D X = ∫ a 2 - a 2 pecado 2 θ ( a porque θ ) D θ = ∫ a 2 ( 1 - pecado 2 θ ) ( a porque θ ) D θ = ∫ a 2 ( porque 2 θ ) ( a porque θ ) D θ = ∫ ( a porque θ ) ( a porque θ ) D θ = a 2 ∫ porque 2 θ D θ = a 2 ∫ ( 1 + porque 2 θ 2 ) D θ = a 2 2 ( θ + 1 2 pecado 2 θ ) + C = a 2 2 ( θ + pecado θ porque θ ) + C = a 2 2 ( arcos X a + X a 1 - X 2 a 2 ) + C = a 2 2 arcos X a + X 2 a 2 - X 2 + C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta)}} \ , (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ cos \ theta) (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} } \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ theta + \ sin \ theta \ cos \ theta) + C \\ [6pt] & = { \ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ frac {x} {a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} { a}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. \ end {alineado}}} Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan usando la ecuación θ = arcos X a {\ Displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}} , con valores en el rango - π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}} . Alternativamente, aplique los términos de límite directamente a la fórmula de la antiderivada.
Por ejemplo, la integral definida
∫ - 1 1 4 - X 2 D X , {\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx,} puede evaluarse sustituyendo X = 2 pecado θ , D X = 2 porque θ D θ {\ Displaystyle x = 2 \ sin \ theta, \, dx = 2 \ cos \ theta \, d \ theta} , con los límites determinados mediante θ = arcos X 2 {\ Displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {2}}} .
Desde arcos ( 1 / 2 ) = π / 6 {\ Displaystyle \ arcsin (1/2) = \ pi / 6} y arcos ( - 1 / 2 ) = - π / 6 {\ Displaystyle \ arcsin (-1/2) = - \ pi / 6} ,
∫ - 1 1 4 - X 2 D X = ∫ - π / 6 π / 6 4 - 4 pecado 2 θ ( 2 porque θ ) D θ = ∫ - π / 6 π / 6 4 ( 1 - pecado 2 θ ) ( 2 porque θ ) D θ = ∫ - π / 6 π / 6 4 ( porque 2 θ ) ( 2 porque θ ) D θ = ∫ - π / 6 π / 6 ( 2 porque θ ) ( 2 porque θ ) D θ = 4 ∫ - π / 6 π / 6 porque 2 θ D θ = 4 ∫ - π / 6 π / 6 ( 1 + porque 2 θ 2 ) D θ = 2 [ θ + 1 2 pecado 2 θ ] - π / 6 π / 6 = [ 2 θ + pecado 2 θ ] | - π / 6 π / 6 = ( π 3 + pecado π 3 ) - ( - π 3 + pecado ( - π 3 ) ) = 2 π 3 + 3 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4-4 \ sin ^ {2} \ theta}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [ 6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} (2 \ cos \ theta) (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = 2 \ left [\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right] _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = [2 \ theta + \ sin 2 \ theta] {\ Biggl |} _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = \ left ({\ frac {\ pi} {3}} + \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) - \ left (- {\ frac { \ pi} {3}} + \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ right) = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3 }}. \\ [6pt] \ end {alineado}}} Por otro lado, la aplicación directa de los términos de frontera a la fórmula obtenida previamente para los rendimientos de antiderivadas
∫ - 1 1 4 - X 2 D X = [ 2 2 2 arcos X 2 + X 2 2 2 - X 2 ] - 1 1 = ( 2 arcos 1 2 + 1 2 4 - 1 ) - ( 2 arcos ( - 1 2 ) + - 1 2 4 - 1 ) = ( 2 ⋅ π 6 + 3 2 ) - ( 2 ⋅ ( - π 6 ) - 3 2 ) = 2 π 3 + 3 {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ left [{\ frac {2 ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {2}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \ right] _ {- 1} ^ {1} \\ [6pt] & = \ left (2 \ arcsin {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ derecha) - \ left (2 \ arcsin \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {-1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) \\ [6pt] & = \ left (2 \ cdot {\ frac {\ pi} {6}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) - \ left (2 \ cdot \ izquierda (- {\ frac {\ pi} {6}} \ derecha) - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ derecha) \\ [6pt] & = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}} \ end {alineado}}} como antes.
Caso II: Integrandos que contienen a 2 + X 2 {\ Displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}} Dejar X = a broncearse θ {\ Displaystyle x = a \ tan \ theta} y usa la identidad 1 + broncearse 2 θ = segundo 2 θ {\ Displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta} .
Ejemplos de caso II
Construcción geométrica para Case II
Ejemplo 1 En la integral
∫ D X a 2 + X 2 {\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}} podemos escribir
X = a broncearse θ , D X = a segundo 2 θ D θ , θ = arctan X a , {\ Displaystyle x = a \ tan \ theta, \ quad dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},} para que la integral se convierta
∫ D X a 2 + X 2 = ∫ a segundo 2 θ D θ a 2 + a 2 broncearse 2 θ = ∫ a segundo 2 θ D θ a 2 ( 1 + broncearse 2 θ ) = ∫ a segundo 2 θ D θ a 2 segundo 2 θ = ∫ D θ a = θ a + C = 1 a arctan X a + C , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {d \ theta} {a}} \\ [6pt] & = {\ frac { \ theta} {a}} + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} + C, \ end {alineado}}} previsto a ≠ 0 {\ Displaystyle a \ neq 0} .
Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan usando la ecuación θ = arctan X a {\ Displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}}} , con valores en el rango - π 2 < θ < π 2 {\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}} . Alternativamente, aplique los términos de límite directamente a la fórmula de la antiderivada.
Por ejemplo, la integral definida
∫ 0 1 4 1 + X 2 D X {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx} puede evaluarse sustituyendo X = broncearse θ , D X = segundo 2 θ D θ {\ Displaystyle x = \ tan \ theta, \, dx = \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} , con los límites determinados mediante θ = arctan X {\ Displaystyle \ theta = \ arctan x} .
Desde arctan 0 = 0 {\ Displaystyle \ arctan 0 = 0} y arctan 1 = π / 4 {\ Displaystyle \ arctan 1 = \ pi / 4} ,
∫ 0 1 4 D X 1 + X 2 = 4 ∫ 0 1 D X 1 + X 2 = 4 ∫ 0 π / 4 segundo 2 θ D θ 1 + broncearse 2 θ = 4 ∫ 0 π / 4 segundo 2 θ D θ segundo 2 θ = 4 ∫ 0 π / 4 D θ = ( 4 θ ) | 0 π / 4 = 4 ( π 4 - 0 ) = π . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4 \, dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {\ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} d \ theta \\ [6pt] & = (4 \ theta) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 4} = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi. \ End {alineado }}} Mientras tanto, la aplicación directa de los términos de frontera a la fórmula para los rendimientos de antiderivadas
∫ 0 1 4 1 + X 2 D X = 4 ∫ 0 1 D X 1 + X 2 = 4 [ 1 1 arctan X 1 ] 0 1 = 4 ( arctan X ) | 0 1 = 4 ( arctan 1 - arctan 0 ) = 4 ( π 4 - 0 ) = π , {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx & = 4 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ & = 4 \ left [{\ frac {1} {1}} \ arctan {\ frac {x} {1}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan x) {\ Bigg |} _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan 1- \ arctan 0) \\ & = 4 \ izquierda ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ derecha) = \ pi, \ end {alineado}}} Igual que antes.
Ejemplo 2 La integral
∫ a 2 + X 2 D X {\ Displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, {dx}} puede ser evaluado dejando X = a broncearse θ , D X = a segundo 2 θ D θ , θ = arctan X a , {\ Displaystyle x = a \ tan \ theta, \, dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},}
dónde a > 0 {\ Displaystyle a> 0} así que eso a 2 = a {\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a} , y - π 2 < θ < π 2 {\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}} por el rango de arcangente, de modo que segundo θ > 0 {\ Displaystyle \ sec \ theta> 0} y segundo 2 θ = segundo θ {\ Displaystyle {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta}} = \ sec \ theta} .
Luego,
∫ a 2 + X 2 D X = ∫ a 2 + a 2 broncearse 2 θ ( a segundo 2 θ ) D θ = ∫ a 2 ( 1 + broncearse 2 θ ) ( a segundo 2 θ ) D θ = ∫ a 2 segundo 2 θ ( a segundo 2 θ ) D θ = ∫ ( a segundo θ ) ( a segundo 2 θ ) D θ = a 2 ∫ segundo 3 θ D θ . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2 } \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ sec \ theta) (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ sec ^ {3} \ theta \, d \ theta. \\ [6pt] \ end {alineado}}} La integral de la secante al cubo se puede evaluar mediante la integración por partes . Como resultado,
∫ a 2 + X 2 D X = a 2 2 ( segundo θ broncearse θ + en | segundo θ + broncearse θ | ) + C = a 2 2 ( 1 + X 2 a 2 ⋅ X a + en | 1 + X 2 a 2 + X a | ) + C = 1 2 ( X a 2 + X 2 + a 2 en | X + a 2 + X 2 a | ) + C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ cdot {\ frac {x} {a}} + \ ln \ left | {\ sqrt {1 + {\ frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + {\ frac {x} {a}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 }} \ left (x {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ End {alineado}}}
Caso III: Integrandos que contienen X 2 - a 2 {\ Displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}} Dejar X = a segundo θ {\ Displaystyle x = a \ sec \ theta} y usa la identidad segundo 2 θ - 1 = broncearse 2 θ . {\ Displaystyle \ sec ^ {2} \ theta -1 = \ tan ^ {2} \ theta.}
Ejemplos de caso III
Construcción geométrica para el Caso III
Integrales como
∫ D X X 2 - a 2 {\ Displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}} también se puede evaluar mediante fracciones parciales en lugar de sustituciones trigonométricas. Sin embargo, la integral
∫ X 2 - a 2 D X {\ Displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx} no puedo. En este caso, una sustitución adecuada es:
X = a segundo θ , D X = a segundo θ broncearse θ D θ , θ = segundos de arco X a , {\ Displaystyle x = a \ sec \ theta, \, dx = a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ operatorname {arcsec} {\ frac {x} {a}} ,} dónde a > 0 {\ Displaystyle a> 0} así que eso a 2 = a {\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a} , y 0 ≤ θ < π 2 {\ Displaystyle 0 \ leq \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}} asumiendo X > 0 {\ Displaystyle x> 0} , así que eso broncearse θ ≥ 0 {\ Displaystyle \ tan \ theta \ geq 0} y broncearse 2 θ = broncearse θ {\ Displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = \ tan \ theta} .
Luego,
∫ X 2 - a 2 D X = ∫ a 2 segundo 2 θ - a 2 ⋅ a segundo θ broncearse θ D θ = ∫ a 2 ( segundo 2 θ - 1 ) ⋅ a segundo θ broncearse θ D θ = ∫ a 2 broncearse 2 θ ⋅ a segundo θ broncearse θ D θ = ∫ a 2 segundo θ broncearse 2 θ D θ = a 2 ∫ ( segundo θ ) ( segundo 2 θ - 1 ) D θ = a 2 ∫ ( segundo 3 θ - segundo θ ) D θ . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta -a ^ {2}}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ sec ^ {2} \ theta - 1)}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int a ^ {2} \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ & = a ^ {2} \ int (\ sec \ theta) (\ sec ^ {2} \ theta -1) \, d \ theta \\ & = a ^ {2} \ int (\ sec ^ {3} \ theta - \ sec \ theta) \ , d \ theta. \ end {alineado}}} Se puede evaluar la integral de la función secante multiplicando el numerador y el denominador por ( segundo θ + broncearse θ ) {\ Displaystyle (\ sec \ theta + \ tan \ theta)} y la integral de la secante al cubo por partes. [3] Como resultado,
∫ X 2 - a 2 D X = a 2 2 ( segundo θ broncearse θ + en | segundo θ + broncearse θ | ) - a 2 en | segundo θ + broncearse θ | + C = a 2 2 ( segundo θ broncearse θ - en | segundo θ + broncearse θ | ) + C = a 2 2 ( X a ⋅ X 2 a 2 - 1 - en | X a + X 2 a 2 - 1 | ) + C = 1 2 ( X X 2 - a 2 - a 2 en | X + X 2 - a 2 a | ) + C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) -a ^ {2} \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta - \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {x} {a}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - \ ln \ left | {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ end {alineado}}} Cuándo π 2 < θ ≤ π {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta \ leq \ pi} , que pasa cuando X < 0 {\ Displaystyle x <0} dado el rango de arcosecante, broncearse θ ≤ 0 {\ Displaystyle \ tan \ theta \ leq 0} , significado broncearse 2 θ = - broncearse θ {\ Displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = - \ tan \ theta} en cambio en ese caso.
Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas La sustitución se puede utilizar para eliminar funciones trigonométricas.
Por ejemplo,
∫ F ( pecado ( X ) , porque ( X ) ) D X = ∫ 1 ± 1 - tu 2 F ( tu , ± 1 - tu 2 ) D tu tu = pecado ( X ) ∫ F ( pecado ( X ) , porque ( X ) ) D X = ∫ 1 ∓ 1 - tu 2 F ( ± 1 - tu 2 , tu ) D tu tu = porque ( X ) ∫ F ( pecado ( X ) , porque ( X ) ) D X = ∫ 2 1 + tu 2 F ( 2 tu 1 + tu 2 , 1 - tu 2 1 + tu 2 ) D tu tu = broncearse ( X 2 ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f \ left (u, \ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ sin (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin ( x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ mp {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (\ pm {\ sqrt {1 -u ^ {2}}}, u \ right) \, du && u = \ cos (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int { \ frac {2} {1 + u ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] \ end {alineado}}} La última sustitución se conoce como sustitución de Weierstrass , que utiliza fórmulas de medio ángulo tangente .
Por ejemplo,
∫ 4 porque X ( 1 + porque X ) 3 D X = ∫ 2 1 + tu 2 4 ( 1 - tu 2 1 + tu 2 ) ( 1 + 1 - tu 2 1 + tu 2 ) 3 D tu = ∫ ( 1 - tu 2 ) ( 1 + tu 2 ) D tu = ∫ ( 1 - tu 4 ) D tu = tu - tu 5 5 + C = broncearse X 2 - 1 5 broncearse 5 X 2 + C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {4 \ cos x} {(1+ \ cos x) ^ {3}}} \, dx & = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} {\ frac {4 \ left ({\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right)} {\ left (1 + {\ frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \, du = \ int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) \, du \\ & = \ int (1-u ^ {4}) \, du = u - {\ frac {u ^ {5}} {5}} + C = \ tan {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {5}} \ tan ^ {5} {\ frac {x} {2}} + C. \ end {alineado}}}
Sustitución hiperbólica También se pueden utilizar sustituciones de funciones hiperbólicas para simplificar integrales. [4]
En la integral ∫ 1 a 2 + X 2 D X {\ Displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx} , haz la sustitución X = a pecado tu {\ Displaystyle x = a \ sinh {u}} , D X = a aporrear tu D tu . {\ Displaystyle dx = a \ cosh u \, du.}
Luego, usando las identidades aporrear 2 ( X ) - pecado 2 ( X ) = 1 {\ Displaystyle \ cosh ^ {2} (x) - \ sinh ^ {2} (x) = 1} y pecado - 1 X = en ( X + X 2 + 1 ) , {\ Displaystyle \ sinh ^ {- 1} {x} = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}),}
∫ 1 a 2 + X 2 D X = ∫ a aporrear tu a 2 + a 2 pecado 2 tu D tu = ∫ a aporrear tu a 1 + pecado 2 tu D tu = ∫ a aporrear tu a aporrear tu D tu = tu + C = pecado - 1 X a + C = en ( X 2 a 2 + 1 + X a ) + C = en ( X 2 + a 2 + X a ) + C {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx & = \ int {\ frac {a \ cosh u} {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ sinh ^ {2} u}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} {u}}}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a \ cosh u}} \ , du \\ [6pt] & = u + C \\ [6pt] & = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {x} {a}} + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ( {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + {\ frac {x} {a}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} \ right) + C \ end {alineado}}}
Ver también Portal de matemáticas
Referencias