La trigonometría (del griego trigōnon , "triángulo" y metron , "medida" [1] ) es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos de los triángulos . El campo surgió en el mundo helenístico durante el siglo III a. C. a partir de aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos . [2] Los griegos se centraron en el cálculo de acordes , mientras que los matemáticos de la India crearon las tablas de valores más antiguas conocidas para las relaciones trigonométricas (también llamadas funciones trigonométricas ) como el seno.. [[[Wikipedia:Citing_sources|
A lo largo de la historia, la trigonometría se ha aplicado en áreas como geodesia , topografía , mecánica celeste y navegación . [4]
La trigonometría es conocida por sus múltiples identidades . Estas identidades trigonométricas [5] [6] se utilizan comúnmente para reescribir expresiones trigonométricas con el objetivo de simplificar una expresión, encontrar una forma más útil de una expresión o resolver una ecuación . [7]
Historia
Los astrónomos sumerios estudiaron la medida de ángulos, usando una división de círculos en 360 grados. [9] Ellos, y más tarde los babilonios , estudiaron las proporciones de los lados de triángulos similares y descubrieron algunas propiedades de estas proporciones, pero no convirtieron eso en un método sistemático para encontrar lados y ángulos de triángulos. Los antiguos nubios utilizaron un método similar. [10]
En el siglo III a. C., matemáticos helenísticos como Euclides y Arquímedes estudiaron las propiedades de las cuerdas y los ángulos inscritos en círculos, y probaron teoremas que son equivalentes a las fórmulas trigonométricas modernas, aunque las presentaron geométricamente en lugar de algebraicamente. En 140 a. C., Hiparco (de Nicea , Asia Menor) dio las primeras tablas de acordes, análogas a las tablas modernas de valores sinusoidales , y las utilizó para resolver problemas de trigonometría y trigonometría esférica . [11] En el siglo II d. C., el astrónomo greco-egipcio Ptolomeo (de Alejandría, Egipto) construyó tablas trigonométricas detalladas ( la tabla de acordes de Ptolomeo ) en el libro 1, capítulo 11 de su Almagesto . [12] Ptolomeo usó la longitud de la cuerda para definir sus funciones trigonométricas, una diferencia menor de la convención de seno que usamos hoy. [13] (El valor que llamamos sin (θ) se puede encontrar buscando la longitud de la cuerda para el doble del ángulo de interés (2θ) en la tabla de Ptolomeo y luego dividiendo ese valor por dos). Pasaron siglos antes de que se presentaran tablas más detalladas. producido, y el tratado de Ptolomeo se mantuvo en uso para realizar cálculos trigonométricos en astronomía durante los siguientes 1200 años en los mundos medieval bizantino , islámico y, más tarde, europeo occidental.
La convención del seno moderno se atestiguó por primera vez en el Surya Siddhanta , y sus propiedades fueron documentadas más a fondo por el matemático y astrónomo indio del siglo V (d. C.) Aryabhata . [14] Estas obras griegas e indias fueron traducidas y ampliadas por matemáticos islámicos medievales . En el siglo X, los matemáticos islámicos usaban las seis funciones trigonométricas, habían tabulado sus valores y los estaban aplicando a problemas de geometría esférica . [15] [16] El erudito persa Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como disciplina matemática por derecho propio. [17] [18] [19] Nasīr al-Dīn al-Tūsī fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica en su forma actual. [20] Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su En la figura del sector , estableció la ley de los senos para los triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para los triángulos esféricos y proporcionó pruebas de ambas leyes. [21] El conocimiento de las funciones y métodos trigonométricos llegó a Europa Occidental a través de las traducciones latinas del griego Almagesto de Ptolomeo , así como las obras de astrónomos persas y árabes como Al Battani y Nasir al-Din al-Tusi . [22] Uno de los primeros trabajos sobre trigonometría de un matemático del norte de Europa es De Triangulis, del matemático alemán del siglo XV Regiomontanus , a quien animó a escribir y le proporcionó una copia del Almagest , por el cardenal griego bizantino Basilios Bessarion con con quien vivió durante varios años. [23] Al mismo tiempo, el cretense Jorge de Trebisonda completó otra traducción del Almagesto del griego al latín . [24] La trigonometría era todavía tan poco conocida en el norte de Europa del siglo XVI que Nicolaus Copernicus dedicó dos capítulos de De revolutionibus orbium coelestium a explicar sus conceptos básicos.
Impulsada por las demandas de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas geográficas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. [25] Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en usar la palabra, publicando su Trigonometria en 1595. [26] Gemma Frisius describió por primera vez el método de triangulación que todavía se usa hoy en día en la topografía. Fue Leonhard Euler quien incorporó por completo los números complejos a la trigonometría. Los trabajos de los matemáticos escoceses James Gregory en el siglo XVII y Colin Maclaurin en el siglo XVIII fueron influyentes en el desarrollo de las series trigonométricas . [27] También en el siglo XVIII, Brook Taylor definió la serie general de Taylor . [28]
Relaciones trigonométricas
Las razones trigonométricas son las razones entre los bordes de un triángulo rectángulo. Estas relaciones están dadas por las siguientes funciones trigonométricas del ángulo conocido A , donde un , b y c se refiere a las longitudes de los lados en la figura adjunta:
- Función seno (sin), definida como la relación entre el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa .
- Función coseno (cos), definida como la relación entre elcateto adyacente (el lado del triángulo que une el ángulo con el ángulo recto) y la hipotenusa.
- Función tangente (tan), definida como la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados en un triángulo rectángulo; es el lado más largo del triángulo y uno de los dos lados adyacentes a ángulo A . La pata adyacente es el otro lado que es adyacente al ángulo A . El lado opuesto es el lado que es opuesto al ángulo A . Los términos perpendicular y base se utilizan a veces para los lados opuesto y adyacente, respectivamente. Consulte a continuación en Mnemotécnicos .
Desde cualquiera de los dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo A son similares , [29] el valor de una relación trigonométrica sólo depende de la ángulo A .
Los recíprocos de estas funciones se denominan cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot), respectivamente:
El coseno, cotangente y cosecante se denominan así porque son respectivamente el seno, la tangente y la secante del ángulo complementario abreviado como "co-". [30]
Con estas funciones, uno puede responder virtualmente a todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios usando la ley de los senos y la ley de los cosenos . [31] Estas leyes pueden usarse para calcular los ángulos y lados restantes de cualquier triángulo tan pronto como se conozcan dos lados y su ángulo incluido o dos ángulos y un lado o tres lados.
Mnemotécnica
Un uso común de los mnemónicos es recordar hechos y relaciones en trigonometría. Por ejemplo, las razones de seno , coseno y tangente en un triángulo rectángulo se pueden recordar representándolas y sus lados correspondientes como cadenas de letras. Por ejemplo, un mnemotécnico es SOH-CAH-TOA: [32]
- S ine = O pposite ÷ H ypotenuse
- C osine = A adyacente ÷ H ypotenusa
- T angent = O pposite ÷ A djacent
Una forma de recordar las letras es a tocarlas fonéticamente (es decir, SOH-CAH-TOA , que se pronuncia 'so-ka- toe -uh' / s oʊ k æ t oʊ ə / ). Otro método es ampliar las letras en una frase, como " S OMe O ld H ippie C algo A tro H ippie T rippin' O n A CID". [33]
El círculo unitario y los valores trigonométricos comunes
Las proporciones trigonométricas también se pueden representar utilizando el círculo unitario , que es el círculo de radio 1 centrado en el origen del plano. [34] En esta configuración, el lado terminal de un ángulo A colocado en la posición estándar intersecará el círculo unitario en un punto (x, y), donde y . [34] Esta representación permite el cálculo de valores trigonométricos comúnmente encontrados, como los de la siguiente tabla: [35]
Función | 0 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
seno | 0 | 1 | 0 | ||||||
coseno | 1 | 0 | -1 | ||||||
tangente | 0 | indefinido | 0 | ||||||
secante | 1 | indefinido | -1 | ||||||
cosecante | indefinido | 1 | indefinido | ||||||
cotangente | indefinido | 0 | indefinido |
Funciones trigonométricas de variables reales o complejas
Usando el círculo unitario , se pueden extender las definiciones de razones trigonométricas a todos los argumentos positivos y negativos [36] (ver función trigonométrica ).
Gráficos de funciones trigonométricas
La siguiente tabla resume las propiedades de los gráficos de las seis funciones trigonométricas principales: [37] [38]
Función | Período | Dominio | Distancia | Grafico |
---|---|---|---|---|
seno | ||||
coseno | ||||
tangente | ||||
secante | ||||
cosecante | ||||
cotangente |
Funciones trigonométricas inversas
Debido a que las seis funciones trigonométricas principales son periódicas, no son inyectables (o, 1 a 1) y, por lo tanto, no son invertibles. Por restringir el dominio de una función trigonométrica, sin embargo, pueden hacerse invertible. [39] : 48 y siguientes
Los nombres de las funciones trigonométricas inversas, junto con sus dominios y rango, se pueden encontrar en la siguiente tabla: [39] : 48ff [40] : 521ff
Nombre | Notación habitual | Definición | Dominio de x para un resultado real | Rango de valor principal habitual ( radianes ) | Rango de valor principal habitual ( grados ) |
---|---|---|---|---|---|
arcoseno | y = arcosen ( x ) | x = sin ( y ) | −1 ≤ x ≤ 1 | -π/2≤ y ≤ π/2 | −90 ° ≤ y ≤ 90 ° |
arcocosina | y = arccos ( x ) | x = cos ( y ) | −1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0 ° ≤ y ≤ 180 ° |
arctangent | y = arctan ( x ) | x = tan ( y ) | todos los números reales | - π/2< y < π/2 | −90 ° < y <90 ° |
arcotangente | y = arccot ( x ) | x = cuna ( y ) | todos los números reales | 0 < y < π | 0 ° < y <180 ° |
arcosecante | y = segundos de arco ( x ) | x = seg ( y ) | x ≤ −1 o 1 ≤ x | 0 ≤ y < π/2 o π/2< y ≤ π | 0 ° ≤ y <90 ° o 90 ° < y ≤ 180 ° |
arcosecante | y = arccsc ( x ) | x = csc ( y ) | x ≤ −1 o 1 ≤ x | - π/2≤ y <0 o 0 < y ≤ π/2 | −90 ° ≤ y <0 ° o 0 ° < y ≤ 90 ° |
Representaciones de series de potencias
Cuando se consideran funciones de una variable real, las razones trigonométricas se pueden representar mediante una serie infinita . Por ejemplo, el seno y el coseno tienen las siguientes representaciones: [41]
Con estas definiciones, las funciones trigonométricas se pueden definir para números complejos . [42] Cuando se extiende como funciones de variables reales o complejas, la siguiente fórmula es válida para el exponencial complejo:
Esta función exponencial compleja, escrita en términos de funciones trigonométricas, es particularmente útil. [43] [44]
Calcular funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se encontraban entre los primeros usos de las tablas matemáticas . [45] Estas tablas se incorporaron a los libros de texto de matemáticas y se enseñó a los estudiantes a buscar valores y cómo interpolar entre los valores enumerados para obtener una mayor precisión. [46] Las reglas de cálculo tenían escalas especiales para funciones trigonométricas. [47]
Las calculadoras científicas tienen botones para calcular las principales funciones trigonométricas (sin, cos, tan y, a veces, cis y sus inversas). [48] La mayoría permite una selección de métodos de medición de ángulos: grados , radianes y, a veces, gradianes . La mayoría de los lenguajes de programación informática proporcionan bibliotecas de funciones que incluyen funciones trigonométricas. [49] El hardware de la unidad de punto flotante incorporado en los chips de microprocesador utilizados en la mayoría de las computadoras personales tiene instrucciones integradas para calcular funciones trigonométricas. [50]
Otras funciones trigonométricas
Además de las seis razones enumeradas anteriormente, existen funciones trigonométricas adicionales que fueron históricamente importantes, aunque rara vez se utilizan en la actualidad. Estos incluyen el acorde ( crd ( θ ) = 2 sin ( θ/2) ), La versine ( versin ( θ ) = 1 - cos ( theta ) = 2 sen 2 ( θ/2) ) (que apareció en las primeras tablas [51] ), la portada ( coversin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin ( π/2- θ ) ), el haversine ( haversin ( θ ) = 1/2versin ( θ ) = sin 2 ( θ/2) ), [52] el existente ( exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1 ), y el excosecante ( excsc ( θ ) = exsec ( π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1 ). Consulte Lista de identidades trigonométricas para conocer más relaciones entre estas funciones.
Aplicaciones
Astronomía
Durante siglos, la trigonometría esférica se ha utilizado para localizar posiciones solares, lunares y estelares, [53] predecir eclipses y describir las órbitas de los planetas. [54]
En los tiempos modernos, la técnica de triangulación se utiliza en astronomía para medir la distancia a estrellas cercanas, [55] así como en sistemas de navegación por satélite . [dieciséis]
Históricamente, la trigonometría se ha utilizado para localizar latitudes y longitudes de veleros, trazar rumbos y calcular distancias durante la navegación. [56]
La trigonometría todavía se utiliza en la navegación a través de medios como el Sistema de Posicionamiento Global y la inteligencia artificial para vehículos autónomos . [57]
Topografía
En agrimensura , la trigonometría se utiliza en el cálculo de longitudes, áreas y ángulos relativos entre objetos. [58]
A mayor escala, la trigonometría se utiliza en geografía para medir distancias entre puntos de referencia. [59]
Funciones periódicas
Las funciones seno y coseno son fundamentales para la teoría de las funciones periódicas , [60] como las que describen las ondas sonoras y luminosas . Fourier descubrió que cada continua , función periódica podría ser descrito como una suma infinita de funciones trigonométricas.
Incluso las funciones no periódicas se pueden representar como una integral de senos y cosenos a través de la transformada de Fourier . Esto tiene aplicaciones a la mecánica cuántica [61] y las comunicaciones, [62] entre otros campos.
Óptica y acústica
La trigonometría es útil en muchas ciencias físicas , [63] incluida la acústica , [64] y la óptica . [64] En estas áreas, se utilizan para describir ondas de luz y sonido , y para resolver problemas relacionados con los límites y la transmisión. [sesenta y cinco]
Otras aplicaciones
Otros campos que utilizan trigonometría o funciones trigonométricas incluyen teoría musical , [66] geodesia , síntesis de audio , [67] arquitectura , [68] electrónica , [66] biología , [69] imágenes médicas ( tomografías computarizadas y ultrasonido ), [70] química , [71] teoría de números (y por tanto criptología ), [72] sismología , [64] meteorología , [73] oceanografía , [74] compresión de imágenes , [75] fonética , [76] economía , [77] ingeniería eléctrica , ingeniería mecánica , ingeniería civil , [66] infografía , [78] cartografía , [66] cristalografía [79] y desarrollo de juegos . [78]
Identidades
La trigonometría se ha destacado por sus muchas identidades, es decir, ecuaciones que son verdaderas para todas las entradas posibles. [80]
Las identidades que involucran solo ángulos se conocen como identidades trigonométricas . Otras ecuaciones, conocidas como identidades de triángulos , [81] relacionan tanto los lados como los ángulos de un triángulo dado.
Identidades triangulares
En las siguientes identidades, A , B y C son los ángulos de un triángulo y un , b y c son las longitudes de los lados del triángulo opuesto a los ángulos respectivos (como se muestra en el diagrama). [82]
Ley de los senos
La ley de los senos (también conocida como la "regla del seno") para un triángulo arbitrario establece: [83]
dónde es el área del triángulo y R es el radio del círculo circunscrito del triángulo:
Ley de los cosenos
La ley de los cosenos (conocida como fórmula del coseno o "regla del cos") es una extensión del teorema de Pitágoras a triángulos arbitrarios: [83]
o equivalente:
Ley de las tangentes
La ley de las tangentes , desarrollada por François Viète , es una alternativa a la Ley de los cosenos al resolver las aristas desconocidas de un triángulo, proporcionando cálculos más simples cuando se utilizan tablas trigonométricas. [84] Está dado por:
Área
Dados dos lados una y b y el ángulo entre los lados C , el área del triángulo se da por medio del producto de las longitudes de dos lados y el seno del ángulo entre las dos partes: [83]
La fórmula de Heron es otro método que se puede utilizar para calcular el área de un triángulo. Esta fórmula establece que si un triángulo tiene lados de longitudes a , b , y c , y si el semiperímetro es
entonces el área del triángulo es: [85]
- ,
donde R es el radio de la circunferencia del triángulo.
Identidades trigonométricas
Identidades pitagóricas
Las siguientes identidades trigonométricas están relacionadas con el teorema de Pitágoras y son válidas para cualquier valor: [86]
Fórmula de Euler
Fórmula de Euler , que establece que, produce las siguientes identidades analíticas para seno, coseno y tangente en términos de e y la unidad imaginaria i :
Otras identidades trigonométricas
Otras identidades trigonométricas de uso común incluyen las identidades de medio ángulo, las identidades de suma y diferencia de ángulos y las identidades de producto a suma. [29]
Ver también
- Tabla de seno de Aryabhata
- Trigonometría generalizada
- Esfera Lénárt
- Lista de temas de triángulos
- Lista de identidades trigonométricas
- Trigonometría racional
- Triángulo flaco
- Aproximación de ángulo pequeño
- Funciones trigonométricas
- Circulo unitario
- Usos de la trigonometría
Referencias
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Una de las contribuciones matemáticas más importantes de al-Tusi fue la creación de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio más que como una simple herramienta para aplicaciones astronómicas. En Tratado sobre el cuadrilátero, al-Tusi dio la primera exposición existente de todo el sistema de trigonometría plana y esférica. Este trabajo es realmente el primero en la historia sobre la trigonometría como una rama independiente de las matemáticas puras y el primero en el que se exponen los seis casos de un triángulo esférico en ángulo recto.
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Bibliografía
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Otras lecturas
- "Funciones trigonométricas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Linton, Christopher M. (2004). De Eudoxo a Einstein: una historia de la astronomía matemática . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Weisstein, Eric W. "Fórmulas de adición trigonométricas" . MathWorld .
enlaces externos
- Khan Academy: trigonometría, microconferencias gratuitas en línea
- Trigonometría de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, texto completo presentado.
- El rompecabezas de trigonometría de Benjamin Banneker en la convergencia
- Curso corto de Dave en trigonometría por David Joyce de la Universidad de Clark
- Trigonometry, por Michael Corral, cubre trigonometría elemental, distribuido bajo licencia de documentación libre GNU