En matemáticas , un grupo trivial o grupo cero es un grupo que consta de un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos , por lo que uno habla a menudo de la grupo trivial. El elemento único del grupo trivial es el elemento de identidad y, por lo tanto, generalmente se denota como tal: 0, 1 o e, según el contexto. Si la operación de grupo se denota ∗, entonces se define por e ∗ e = e .
El monoide trivial definido de manera similar también es un grupo ya que su único elemento es su propio inverso y, por lo tanto, es el mismo que el grupo trivial.
El grupo trivial no debe confundirse con el conjunto vacío (que no tiene elementos y, al carecer de un elemento de identidad, no puede ser un grupo).
Dado cualquier grupo G , el grupo que consiste en sólo el elemento de identidad es un subgrupo de G , y, siendo el grupo trivial, que se llama el subgrupo trivial de G .
El término, cuando se refiere a " G no tiene subgrupos adecuados no triviales" se refiere a los únicos subgrupos de G siendo el grupo trivial { e } y el grupo G en sí.
Propiedades
El grupo trivial es cíclico de orden 1; como tal, puede denominarse Z 1 o C 1 . Si la operación de grupo se llama suma, el grupo trivial generalmente se denota con 0. Si la operación de grupo se llama multiplicación, entonces 1 puede ser una notación para el grupo trivial. (La combinación de estos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de suma y multiplicación son idénticas y 0 = 1).
El grupo trivial sirve como el objeto cero en la categoría de grupos , lo que significa que es tanto un objeto inicial como un objeto terminal .
El grupo trivial puede convertirse en un grupo (bi-) ordenado equipándolo con el orden trivial no estricto ≤.
Ver también
Referencias
- Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Trivial Group" . MathWorld .