Verdadera anomalía

La verdadera anomalía del punto P es el ángulo f . El centro de la elipse es el punto C , y el foco es el punto F .

Parte de una serie sobre
Astrodinámica
Mecánica orbital
Elementos orbitales Ápside Argumento de periapsis Excentricidad Inclinación Anomalía media Ganglios orbitarios Semieje mayor Verdadera anomalía
Tipos de órbitas de dos cuerpos , por excentricidad Órbita circular Órbita elíptica Transferencia de órbita ( Órbita de transferencia de Hohmann Órbita de transferencia bielíptica ) Órbita parabólica Órbita hiperbólica Órbita radial Órbita decadente
Ecuaciones Fricción dinámica Velocidad de escape Ecuación de Kepler Leyes de Kepler del movimiento planetario Periodo orbital Velocidad orbital Gravedad superficial Energía orbital específica Ecuación vis-viva
Mecánica celeste
Influencias gravitacionales Baricentro Esfera de colina Perturbaciones Esfera de influencia
Órbitas de N cuerpos Puntos lagrangianos ( Órbitas de halo ) Órbitas de Lissajous Órbitas de Lyapunov
Ingeniería y eficiencia
Ingeniería previa al vuelo Relación de masa Fracción de carga útil Fracción de masa de propulsor Ecuación del cohete Tsiolkovsky
Medidas de eficiencia Asistencia de gravedad Efecto Oberth
v t mi

En mecánica celeste , la anomalía verdadera es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección de la periapsis y la posición actual del cuerpo, visto desde el foco principal de la elipse (el punto alrededor del cual orbita el objeto).

La anomalía verdadera generalmente se denota con las letras griegas ν o θ , o la letra latina f , y generalmente está restringida al rango de 0–360 ° (0–2π ^c ).

Como se muestra en la imagen, la verdadera anomalía f es uno de los tres parámetros angulares ( anomalías ) que define una posición a lo largo de una órbita, los otros dos son la anomalía excéntrica y la anomalía media .

Fórmulas

De vectores estatales

Para órbitas elípticas, la verdadera anomalía ν se puede calcular a partir de vectores de estado orbital como:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r ⋅ v <0 entonces reemplace ν por 2 π - ν )

dónde:

• v es el vector de velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• e es el vector de excentricidad ,
• r es el vector de posición orbital (segmento FP en la figura) del cuerpo en órbita.

Órbita circular

Para las órbitas circulares, la verdadera anomalía no está definida, porque las órbitas circulares no tienen una periapsis determinada de forma única. En su lugar, se utiliza el argumento de latitud u :

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r _z <0 , reemplace u por 2 π - u )

dónde:

• n es un vector que apunta hacia el nodo ascendente (es decir, el componente z de n es cero).
• r _z es el componente z del vector de posición orbital r

Órbita circular con inclinación cero

Para órbitas circulares con inclinación cero, el argumento de latitud tampoco está definido, porque no hay una línea de nodos determinada de forma única. En su lugar, se usa la longitud verdadera :

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si v _x > 0 entonces reemplace l por 2 π - l )

dónde:

• r _x es el componente x del vector de posición orbital r
• v _x es la componente x del vector de velocidad orbital v .

De la anomalía excéntrica

La relación entre la anomalía verdadera ν y la anomalía excéntrica E es:

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

o usando el seno ^[1] y la tangente :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

o equivalente:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

Una forma equivalente evita la singularidad como e  → 1, sin embargo, no produce el valor correcto para :${\displaystyle \nu \,}$

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arg} \left({\sqrt {1-e\,}}\,\cos {\frac {E}{2}},\;{\sqrt {1+e\,}}\sin {\frac {E}{2}}\right)}$

o, con el mismo problema que e  → 1,

${\displaystyle \nu =\operatorname {arg} \left(\cos {E}-e,\;{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}\right)}$.

En ambos de los anteriores, la función arg ( x ,  y ) es el argumento polar del vector ( x  y ), disponible en muchos lenguajes de programación como la función de biblioteca denominada atan2 ( y , x ) (observe el orden inverso de x y y ).

De la anomalía media

La verdadera anomalía se puede calcular directamente a partir de la anomalía media mediante una expansión de Fourier : ^[2]

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {O} \left(e^{4}\right)}$

donde significa que los términos omitidos son todos de orden e ⁴ o superior. Tenga en cuenta que, por razones de precisión, esta aproximación suele limitarse a órbitas en las que la excentricidad (e) es pequeña.${\displaystyle \operatorname {O} \left(e^{4}\right)}$

La expresión se conoce como la ecuación del centro .${\displaystyle \nu -M}$

Radio de la anomalía verdadera

El radio (distancia entre el foco de atracción y el cuerpo en órbita) está relacionado con la verdadera anomalía por la fórmula

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

donde a es el semieje mayor de la órbita .

Ver también

• Leyes de Kepler del movimiento planetario
• Anomalía excéntrica
• Anomalía media
• Elipse
• Hipérbola

Referencias

1. Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones por David A. Vallado
2. Roy, AE (2005). Movimiento orbital (4 ed.). Bristol, Reino Unido; Filadelfia, PA: Instituto de Física (IoP). pag. 84. ISBN 0750310154.

Lectura adicional

• Murray, CD y Dermott, SF, 1999, Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4 
• Plummer, HC, 1960, Tratado introductorio sobre astronomía dinámica , Publicaciones de Dover, Nueva York. OCLC 1311887 (Reimpresión de la edición de Cambridge University Press de 1918). 

Enlaces externos

• Administración Federal de Aviación: descripción de las órbitas