En semántica formal , la semántica del valor de verdad es una alternativa a la semántica de Tarsk . Ha sido defendida principalmente por Ruth Barcan Marcus , [1] H. Leblanc y M. Dunn y N. Belnap. [2] También se le llama interpretación de sustitución (de los cuantificadores) o cuantificación de sustitución.
La idea de esta semántica es que el cuantificador universal (existencial) puede leerse como una conjunción (disyunción) de fórmulas en las que las constantes reemplazan a las variables en el alcance del cuantificador. Por ejemplo, ∀xPx puede leerse (Pa & Pb & Pc & ...) donde a, b, c son constantes individuales que reemplazan todas las apariciones de x en Px.
La principal diferencia entre la semántica del valor de verdad y la semántica estándar de la lógica de predicados es que no hay dominios para la semántica del valor de verdad. Sólo las cláusulas de verdad para fórmulas atómicas y cuantificacionales difieren de las de la semántica estándar. Mientras que en la semántica estándar las fórmulas atómicas como Pb o Rca son verdaderas si y solo si (el referente de) b es miembro de la extensión del predicado P, respectivamente, si y solo si el par (c, a) es miembro de la extensión de R, en la semántica del valor de verdad, los valores de verdad de las fórmulas atómicas son básicos. Una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si todas (algunas) instancias de sustitución de ella son verdaderas. Compare esto con la semántica estándar, que dice que una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si para todos (algunos) miembros del dominio, la fórmula es válida para todos (algunos) de ellos; Por ejemplo, ∀xA es verdadera (bajo una interpretación) si y solo si para todo k en el dominio D, A (k / x) es verdadera (donde A (k / x) es el resultado de sustituir k por todas las apariciones de x en A). (Aquí asumimos que las constantes son nombres en sí mismas, es decir, también son miembros del dominio).
La semántica del valor de la verdad no está exenta de problemas. Primero, el teorema de integridad fuerte y la compacidad fallan. Para ver esto, considere el conjunto {F (1), F (2), ...}. Claramente, la fórmula ∀xF (x) es una consecuencia lógica del conjunto, pero no es una consecuencia de ningún subconjunto finito del mismo (y por lo tanto no es deducible de él). De ello se deduce inmediatamente que tanto la compacidad como el teorema de completitud fuerte fallan en la semántica del valor de verdad. Esto se rectifica con una definición modificada de consecuencia lógica como se da en Dunn y Belnap 1968. [2]
Otro problema ocurre en la lógica libre . Considere un lenguaje con una constante individual c que no se designa y un predicado F que representa "no existe". Entonces ∃xFx es falso aunque una instancia de sustitución (de hecho, cada instancia de este tipo bajo esta interpretación) sea verdadera. Para resolver este problema simplemente agregamos la condición de que un enunciado cuantificado existencialmente es verdadero bajo una interpretación de al menos una instancia de sustitución en la que la constante designa algo que existe.
Ver también
Referencias
- ^ Marcus, Ruth Barcan (1962). "Interpretación de la cuantificación". Consulta . 5 (1–4): 252–259. doi : 10.1080 / 00201746208601353 . ISSN 0020-174X .
- ^ a b Dunn, J. Michael; Belnap, Nuel D. (1968). "La interpretación de sustitución de los cuantificadores". Noûs . 2 (2): 177. CiteSeerX 10.1.1.148.1804 . doi : 10.2307 / 2214704 . ISSN 0029-4624 . JSTOR 2214704 .