La duodécima raíz de dos o(o equivalentemente ) es un número irracional algebraico . Es más importante en la teoría de la música occidental , donde representa la relación de frecuencia ( intervalo musical ) de un semitono ( Play ( ayuda · info ) ) en temperamento igual de doce tonos . Este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical. en los siglos XVI y XVII. Permite la medición y comparación de diferentes intervalos (relaciones de frecuencia) que constan de diferentes números de un solo intervalo, el semitono con temperamento igual (por ejemplo, un tercio menor es de 3 semitonos, un tercio mayor es de 4 semitonos y el quinto perfecto es de 7 semitonos ). [a] Un semitono en sí se divide en 100 centavos (1 centavo =).
La escala cromática de temperamento igual
Un intervalo musical es una proporción de frecuencias y la escala cromática de temperamento igual divide la octava (que tiene una proporción de 2: 1) en doce partes.
Aplicando este valor sucesivamente a los tonos de una escala cromática, comenzando desde A por encima del C medio (conocido como A 4 ) con una frecuencia de 440 Hz, produce la siguiente secuencia de tonos :
Nota | Nombre (s) de intervalo estándar relacionados con A 440 | Frecuencia (Hz) | Multiplicador | Coeficiente (a seis lugares) | Solo proporción de entonación |
---|---|---|---|---|---|
A | Unísono | 440,00 | 2 0 ⁄ 12 | 1.000 000 | 1 |
A ♯ / B ♭ | Segundo menor / Medio paso / Semitono | 466,16 | 21 ⁄ 12 | 1.059 463 | ≈ 16 ⁄ 15 |
B | Segundo mayor / Paso completo / Tono completo | 493,88 | 22 ⁄ 12 | 1,122 462 | ≈ 9 ⁄ 8 |
C | Tercio menor | 523.25 | 23 ⁄ 12 | 1,189 207 | ≈ 6 ⁄ 5 |
C ♯ / D ♭ | Tercio mayor | 554,37 | 24 ⁄ 12 | 1.259 921 | ≈ 5 ⁄ 4 |
D | Cuarto perfecto | 587,33 | 25 ⁄ 12 | 1.334 839 | ≈ 4 ⁄ 3 |
D ♯ / E ♭ | Cuarta aumentada / Quinta disminuida / Tritono | 622.25 | 26 ⁄ 12 | 1.414 213 | ≈ 7 ⁄ 5 |
mi | Quinto perfecto | 659,26 | 27 ⁄ 12 | 1.498 307 | ≈ 3 ⁄ 2 |
F | Menor sexto | 698,46 | 28 ⁄ 12 | 1.587 401 | ≈ 8 ⁄ 5 |
F ♯ / G ♭ | Sexto mayor | 739,99 | 29 ⁄ 12 | 1.681 792 | ≈ 5 ⁄ 3 |
GRAMO | Séptimo menor | 783,99 | 210 ⁄ 12 | 1.781 797 | ≈ 9 ⁄ 5 |
G ♯ / A ♭ | Séptima mayor | 830,61 | 211 ⁄ 12 | 1.887 748 | ≈ 15 ⁄ 8 |
A | Octava | 880,00 | 212 ⁄ 12 | 2.000 000 | 2 |
La A final (A 5 : 880 Hz) es exactamente el doble de la frecuencia de la A más baja (A 4 : 440 Hz), es decir, una octava más alta.
Otras escalas de afinación
Otras escalas de afinación utilizan relaciones de intervalo ligeramente diferentes:
- El quinto perfecto justo o pitagórico es 3/2, y la diferencia entre el quinto perfecto de igual temperamento y el justo es un gradiente , la raíz duodécima de la coma pitagórica ( 12 √ 531441/524288 ).
- La escala de Bohlen-Pierce de temperamento igual utiliza el intervalo de la decimotercera raíz de tres ( 13 √ 3 ).
- El estudio II de Stockhausen (1954) utiliza la raíz vigésimo quinta de cinco ( 25 √ 5 ), una tercera mayor compuesta dividida en partes de 5 × 5.
- La escala delta se basa en ≈ 50 √ 3/2 .
- La escala de gamma se basa en ≈ 20 √ 3/2 .
- La escala beta se basa en ≈ 11 √ 3/2 .
- La escala alfa se basa en ≈ 9 √ 3/2 .
Ajuste de tono
Dado que la relación de frecuencia de un semitono es cercana al 106% (), si aumenta o disminuye la velocidad de reproducción de una grabación en un 6%, el tono aumentará o disminuirá aproximadamente un semitono o "medio paso". Las grabadoras de cinta magnética de carrete a carrete de alta gama suelen tener ajustes de tono de hasta ± 6%, generalmente utilizados para hacer coincidir el tono de reproducción o grabación con otras fuentes de música que tienen afinaciones ligeramente diferentes (o posiblemente grabadas en equipos que no funcionaban al velocidad correcta). Los estudios de grabación modernos utilizan el cambio de tono digital para lograr resultados similares, que van desde centavos hasta varios semitonos (tenga en cuenta que los ajustes de carrete a carrete también afectan el tempo del sonido grabado, mientras que el cambio digital no).
Los giradiscos de DJ pueden tener un ajuste de hasta ± 20%, pero esto se usa más a menudo para la sincronización de ritmo entre canciones que para el ajuste de tono, que es principalmente útil solo en transiciones entre partes sin ritmo y ambiente. Para música de alto contenido melódico que combine con el ritmo, el DJ trataría principalmente de buscar canciones que suenen armónicas cuando se establezcan en el mismo tempo.
Historia
Históricamente, este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical en 1580 (redactado, reescrito en 1610) por Simon Stevin . [2] En 1581, el músico italiano Vincenzo Galilei puede ser el primer europeo en sugerir un temperamento igual de doce tonos. [1] La duodécima raíz de dos fue calculada por primera vez en 1584 por el matemático y músico Zhu Zaiyu usando un ábaco para alcanzar veinticuatro lugares decimales, [1] calculado alrededor de 1605 por el matemático flamenco Simon Stevin , [1] en 1636 por los franceses el matemático Marin Mersenne y en 1691 por el músico alemán Andreas Werckmeister . [3]
Ver también
- Entonación justa § Dificultades prácticas
- Musica y matematicas
- Frecuencias de las teclas del piano
- Notación científica de tono
- Técnica de doce tonos
- El clave bien temperado
Notas
- ^ "El intervalo más pequeño en una escala de temperamento igual es la proporción, entonces , donde la relación r divide la relación p (= 2/1 en una octava) en n partes iguales ". [1]
Referencias
- ↑ a b c d Joseph, George Gheverghese (2010). La cresta del pavo real : raíces no europeas de las matemáticas , p.294-5. Tercera edicion. Princeton. ISBN 9781400836369 .
- ^ Christensen, Thomas (2002), The Cambridge History of Western Music Theory , pág. 205 , ISBN 978-0521686983
- ^ Goodrich, L. Carrington (2013). Una breve historia del pueblo chino , [no paginado] . Mensajero. ISBN 9780486169231 . Cita: Chu Tsai-yü (1584). Nuevas observaciones sobre el estudio de tubos resonantes .
Otras lecturas
- Barbour, JM (1933). "Una aproximación china del siglo XVI para π ". American Mathematical Monthly . 40 (2): 69–73. doi : 10.2307 / 2300937 . JSTOR 2300937 .
- Ellis, Alexander ; Helmholtz, Hermann (1954). Sobre las sensaciones del tono . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60753-4.
- Partch, Harry (1974). Génesis de una música . Prensa Da Capo. ISBN 0-306-80106-X.