Incertidumbre

La incertidumbre se refiere a epistémicas situaciones que implican imperfecta o desconocido información . Se aplica a las predicciones de eventos futuros, a las mediciones físicas que ya se han realizado o a lo desconocido. La incertidumbre surge en entornos estocásticos o parcialmente observables , así como debido a la ignorancia , la indolencia o ambas. ^[1] Surge en varios campos, incluidos los seguros , la filosofía , la física , la estadística , la economía , las finanzas , la psicología y la sociología., ingeniería , metrología , meteorología , ecología y ciencias de la información .

A menudo surgen situaciones en las que se debe tomar una decisión cuando los resultados de cada elección posible son inciertos.

Conceptos

Aunque los términos se utilizan de diversas formas entre el público en general, muchos especialistas en teoría de la decisión , estadística y otros campos cuantitativos han definido la incertidumbre, el riesgo y su medición como:

Incertidumbre

La falta de certeza , un estado de conocimiento limitado donde es imposible describir exactamente el estado existente, un resultado futuro o más de un resultado posible. ^[2]

Medida de incertidumbre

Un conjunto de posibles estados o resultados donde se asignan probabilidades a cada posible estado o resultado; esto también incluye la aplicación de una función de densidad de probabilidad a variables continuas. ^[3]

Incertidumbre de segundo orden

En estadística y economía, la incertidumbre de segundo orden se representa en funciones de densidad de probabilidad sobre probabilidades (de primer orden). ^{[4] [5]}

Las opiniones en lógica subjetiva ^[6] conllevan este tipo de incertidumbre.

Riesgo

Un estado de incertidumbre en el que algunos resultados posibles tienen un efecto no deseado o una pérdida significativa.

Medida de riesgo

Un conjunto de incertidumbres medidas donde algunos resultados posibles son pérdidas y las magnitudes de esas pérdidas; esto también incluye funciones de pérdida sobre variables continuas. ^{[7] [8] [9] [10]}

Incertidumbre knightiana

En economía, en 1921 Frank Knight distinguió la incertidumbre del riesgo, siendo la incertidumbre la falta de conocimiento que es inconmensurable e imposible de calcular; esto ahora se conoce como incertidumbre knightiana :

La incertidumbre debe tomarse en un sentido radicalmente distinto de la noción familiar de riesgo, de la que nunca se ha separado adecuadamente ... El hecho esencial es que 'riesgo' significa en algunos casos una cantidad susceptible de medición, mientras que en otros es algo que claramente no tiene este carácter; y existen diferencias cruciales y de gran alcance en los rumbos de los fenómenos dependiendo de cuál de los dos está realmente presente y operando ... Parecerá que una incertidumbre medible, o 'riesgo' propiamente dicho, como usaremos el término , es tan diferente de uno inconmensurable que, en efecto, no es una incertidumbre en absoluto.

-  Frank Knight (1885-1972), Riesgo, incertidumbre y ganancias (1921), Universidad de Chicago . ^[11]

No puede estar seguro de la incertidumbre.

-  Frank Knight

Otras taxonomías de incertidumbres y decisiones incluyen un sentido más amplio de incertidumbre y cómo debe abordarse desde una perspectiva ética: ^[12]

Una taxonomía de la incertidumbre

Hay algunas cosas que sabes que son verdaderas y otras que sabes que son falsas; sin embargo, a pesar de este extenso conocimiento que tienes, quedan muchas cosas cuya verdad o falsedad desconoces. Decimos que no estás seguro de ellos. No está seguro, en diversos grados, sobre todo en el futuro; mucho del pasado está oculto para ti; y hay mucho del presente sobre el que no tienes información completa. La incertidumbre está en todas partes y no puedes escapar de ella.

Dennis Lindley , Comprensión de la incertidumbre (2006)

Por ejemplo, si se desconoce si lloverá o no mañana, entonces existe un estado de incertidumbre. Si se aplican probabilidades a los posibles resultados utilizando pronósticos meteorológicos o incluso simplemente una evaluación de probabilidad calibrada , la incertidumbre se ha cuantificado. Supongamos que se cuantifica como un 90% de probabilidad de luz solar. Si hay un evento al aire libre importante y costoso planeado para mañana, existe un riesgo, ya que hay un 10% de probabilidad de lluvia, y la lluvia no sería deseable. Además, si se trata de un evento empresarial y se perderían $ 100.000 si llueve, entonces el riesgo se ha cuantificado (una probabilidad del 10% de perder $ 100.000). Estas situaciones se pueden hacer aún más realistas al cuantificar la lluvia ligera frente a la lluvia intensa, el costo de los retrasos frente a la cancelación total, etc. ^{[ cita requerida ]}

Algunos pueden representar el riesgo en este ejemplo como la "pérdida de oportunidad esperada" (EOL) o la posibilidad de la pérdida multiplicada por el monto de la pérdida (10% × $ 100,000 = $ 10,000). Eso es útil si el organizador del evento es "neutral al riesgo", lo que la mayoría de la gente no lo es. La mayoría estaría dispuesta a pagar una prima para evitar la pérdida. Una compañía de seguros, por ejemplo, calcularía un EOL como mínimo para cualquier cobertura de seguro y luego agregaría a esos otros costos operativos y ganancias. Dado que muchas personas están dispuestas a comprar un seguro por muchas razones, es evidente que la EOL por sí sola no es el valor percibido de evitar el riesgo.

Los usos cuantitativos de los términos incertidumbre y riesgo son bastante consistentes en campos como la teoría de la probabilidad , la ciencia actuarial y la teoría de la información . Algunos también crean nuevos términos sin cambiar sustancialmente las definiciones de incertidumbre o riesgo. Por ejemplo, la sorpresa es una variación de la incertidumbre que a veces se utiliza en la teoría de la información . Pero fuera de los usos más matemáticos del término, el uso puede variar ampliamente. En psicología cognitiva , la incertidumbre puede ser real o simplemente una cuestión de percepción, como expectativas , amenazas, etc.

La vaguedad es una forma de incertidumbre en la que el analista es incapaz de diferenciar claramente entre dos clases diferentes, como "persona de estatura media". y 'persona alta'. Esta forma de vaguedad puede ser modelado por alguna variación en Zadeh 's lógica difusa o lógica subjetiva .

La ambigüedad es una forma de incertidumbre en la que incluso los posibles resultados tienen significados e interpretaciones poco claros. La afirmación "Él regresa del banco" es ambigua porque su interpretación depende de si la palabra "banco" se entiende como "el lado de un río" o "una institución financiera" . La ambigüedad suele surgir en situaciones en las que varios analistas u observadores tienen diferentes interpretaciones de las mismas declaraciones. ^{[ cita requerida ]}

La incertidumbre puede ser consecuencia de la falta de conocimiento de los hechos obtenibles. Es decir, puede haber incertidumbre sobre si un nuevo diseño de cohete funcionará, pero esta incertidumbre se puede eliminar con más análisis y experimentación.

A nivel subatómico, la incertidumbre puede ser una propiedad fundamental e inevitable del universo. En mecánica cuántica , el principio de incertidumbre de Heisenberg pone límites a cuánto puede saber un observador sobre la posición y la velocidad de una partícula. Esto puede no ser solo ignorancia de hechos potencialmente obtenibles, sino que no hay ningún hecho que se pueda encontrar. Existe cierta controversia en física sobre si tal incertidumbre es una propiedad irreductible de la naturaleza o si existen "variables ocultas" que describirían el estado de una partícula incluso más exactamente de lo que permite el principio de incertidumbre de Heisenberg. ^{[ cita requerida ]}

Mediciones

El procedimiento más comúnmente utilizado para calcular la incertidumbre de la medición se describe en la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" (GUM) publicada por ISO . Un trabajo derivado es, por ejemplo, la Nota técnica 1297 del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST), "Pautas para evaluar y expresar la incertidumbre de los resultados de medición del NIST", y la publicación de Eurachem / Citac "Cuantificación de la incertidumbre en la medición analítica". La incertidumbre del resultado de una medición generalmente consta de varios componentes. Los componentes se consideran variables aleatorias y pueden agruparse en dos categorías según el método utilizado para estimar sus valores numéricos:

• Tipo A, los evaluados por métodos estadísticos
• Tipo B, los evaluados por otros medios, por ejemplo, asignando una distribución de probabilidad

Al propagar las varianzas de los componentes a través de una función que relaciona los componentes con el resultado de la medición, la incertidumbre de la medición combinada se da como la raíz cuadrada de la varianza resultante. La forma más simple es la desviación estándar de una observación repetida.

En meteorología , física e ingeniería , la incertidumbre o margen de error de una medición, cuando se indica explícitamente, viene dada por un rango de valores que probablemente encierran el valor verdadero. Esto puede estar indicado por barras de error en un gráfico o por las siguientes notaciones: ^{[ cita requerida ]}

• valor medido ± incertidumbre
• valor medido ^{+ incertidumbre}
  _{−incertidumbre}
• valor medido ( incertidumbre )

En la última notación, los paréntesis son la notación concisa de la notación ±. Por ejemplo, aplicando 10 1 ⁄ 2 metros en una aplicación científica o de ingeniería, podría escribirse10,5 m o10,50 m , por convención significa una precisión de dentro de una décima parte de un metro, o centésima. La precisión es simétrica alrededor del último dígito. En este caso, es media décima hacia arriba y media décima hacia abajo, por lo que 10,5 significa entre 10,45 y 10,55. Por tanto, se entiende que 10,5 significa10,5 ± 0,05 y 10,50 medias10,50 ± 0,005 , también escrito10,50 (5) y10.500 (5) respectivamente. Pero si la precisión está dentro de las dos décimas, la incertidumbre es ± una décima y se requiere que sea explícita:10,5 ± 0,1 y10,50 ± 0,01 o10,5 (1) y10,50 (1) . Los números entre paréntesis se aplican al número que queda a la izquierda de ellos mismos y no son parte de ese número, sino parte de una notación de incertidumbre. Se aplican a los dígitos menos significativos . Por ejemplo,1.007 94 (7) significa1.007 94 ± 0.000 07 , mientras que1.007 94 (72) significa1,007 94 ± 0,000 72 . ^[13] Esta notación concisa es utilizada, por ejemplo, por la IUPAC para indicar la masa atómica de los elementos .

La notación del medio se utiliza cuando el error no es simétrico con respecto al valor, por ejemplo 3.4+0,3
−0,2. Esto puede ocurrir cuando se usa una escala logarítmica, por ejemplo.

La incertidumbre de una medición se puede determinar repitiendo una medición para llegar a una estimación de la desviación estándar de los valores. Entonces, cualquier valor individual tiene una incertidumbre igual a la desviación estándar. Sin embargo, si se promedian los valores, entonces el valor medio de la medición tiene una incertidumbre mucho menor, igual al error estándar de la media, que es la desviación estándar dividida por la raíz cuadrada del número de mediciones. Sin embargo, este procedimiento ignora los errores sistemáticos . ^{[ cita requerida ]}

Cuando la incertidumbre representa el error estándar de la medición, aproximadamente el 68,3% de las veces, el valor real de la cantidad medida cae dentro del rango de incertidumbre establecido. Por ejemplo, es probable que para el 31,7% de los valores de masa atómica dados en la lista de elementos por masa atómica , el valor real se encuentre fuera del rango establecido. Si el ancho del intervalo se duplica, entonces probablemente solo el 4.6% de los valores verdaderos se encuentran fuera del intervalo duplicado, y si el ancho se triplica, probablemente solo el 0.3% se encuentran afuera. Estos valores se derivan de las propiedades de la distribución normal y solo se aplican si el proceso de medición produce errores distribuidos normalmente. En ese caso, los errores estándar citados se convierten fácilmente en intervalos de confianza del 68,3% ("un sigma "), 95,4% ("dos sigma") o 99,7% ("tres sigma") . ^{[ cita requerida ]}

En este contexto, la incertidumbre depende tanto de la exactitud como de la precisión del instrumento de medición. Cuanto menor sea la exactitud y precisión de un instrumento, mayor será la incertidumbre de la medición. La precisión a menudo se determina como la desviación estándar de las medidas repetidas de un valor dado, es decir, utilizando el mismo método descrito anteriormente para evaluar la incertidumbre de la medición. Sin embargo, este método es correcto solo cuando el instrumento es preciso. Cuando es inexacta, la incertidumbre es mayor que la desviación estándar de las medidas repetidas, y parece evidente que la incertidumbre no depende solo de la precisión instrumental.

En los medios

La incertidumbre en la ciencia, y la ciencia en general, puede interpretarse de manera diferente en la esfera pública que en la comunidad científica. ^[14] Esto se debe en parte a la diversidad de la audiencia pública ya la tendencia de los científicos a malinterpretar al público no especializado y, por lo tanto, a no comunicar ideas de forma clara y eficaz. ^[14] Un ejemplo se explica por el modelo de déficit de información . Además, en el ámbito público, a menudo hay muchas voces científicas que aportan información sobre un solo tema. ^[14] Por ejemplo, dependiendo de cómo se informe un problema en la esfera pública, las discrepancias entre los resultados de múltiples estudios científicos debido a diferencias metodológicas podrían ser interpretadas por el público como una falta de consenso en una situación en la que de hecho existe un consenso. . ^[14] Esta interpretación puede incluso haber sido promovida intencionalmente, ya que la incertidumbre científica puede manejarse para alcanzar ciertos objetivos. Por ejemplo, los negadores del cambio climático siguieron el consejo de Frank Luntz de enmarcar el calentamiento global como un tema de incertidumbre científica, que fue un precursor del marco de conflicto utilizado por los periodistas al informar sobre el tema. ^[15]

"Se puede decir vagamente que la indeterminación se aplica a situaciones en las que no se conocen por completo todos los parámetros del sistema y sus interacciones, mientras que la ignorancia se refiere a situaciones en las que no se sabe lo que no se sabe". ^[16] Estas incógnitas, indeterminación e ignorancia, que existen en la ciencia a menudo se "transforman" en incertidumbre cuando se informan al público para hacer los problemas más manejables, ya que la indeterminación científica y la ignorancia son conceptos difíciles de transmitir para los científicos sin perder credibilidad. ^[14] Por el contrario, el público suele interpretar la incertidumbre como ignorancia. ^[17] La transformación de la indeterminación y la ignorancia en incertidumbre puede estar relacionada con la mala interpretación del público de la incertidumbre como ignorancia.

Los periodistas pueden inflar la incertidumbre (hacer que la ciencia parezca más incierta de lo que realmente es) o minimizar la incertidumbre (hacer que la ciencia parezca más segura de lo que realmente es). ^[18] Una forma en que los periodistas inflan la incertidumbre es describiendo una nueva investigación que contradice investigaciones anteriores sin proporcionar un contexto para el cambio. ^{[18] Los} periodistas pueden dar a los científicos con puntos de vista minoritarios el mismo peso que a los científicos con puntos de vista mayoritarios, sin describir o explicar adecuadamente el estado del consenso científico sobre el tema. ^[18] En la misma línea, los periodistas pueden prestar a los no científicos la misma atención e importancia que a los científicos. ^[18]

Los periodistas pueden restar importancia a la incertidumbre al eliminar "la redacción tentativa cuidadosamente elegida por los científicos, y al perder estas advertencias, la información se sesga y se presenta como más certera y concluyente de lo que realmente es". ^[18] Además, las historias con una sola fuente o sin ningún contexto de investigación previa significan que el tema en cuestión se presenta como más definitivo y cierto de lo que es en la realidad. ^[18] A menudo existe un enfoque de "producto sobre proceso" en el periodismo científico que también ayuda a restar importancia a la incertidumbre. ^[18] Finalmente, y más notablemente para esta investigación, cuando la ciencia es enmarcada por los periodistas como una búsqueda triunfante, la incertidumbre se enmarca erróneamente como "reducible y resoluble". ^[18]

Algunas rutinas de los medios y factores organizativos afectan la exageración de la incertidumbre; otras rutinas de los medios y factores organizativos ayudan a inflar la certeza de un problema. Debido a que el público en general (en los Estados Unidos) generalmente confía en los científicos, cuando las historias científicas se cubren sin señales de alarma por parte de organizaciones de interés especial (grupos religiosos, organizaciones ambientales, facciones políticas, etc.), a menudo se cubren en un sentido relacionado con los negocios. , en un marco de desarrollo económico o de progreso social. ^[19] La naturaleza de estos marcos es minimizar o eliminar la incertidumbre, por lo que cuando las promesas económicas y científicas se centran en las primeras etapas del ciclo temático, como ha sucedido con la cobertura de la biotecnología vegetal y la nanotecnología en los Estados Unidos, el asunto en cuestión parece más definitivo y certero. ^[19]

A veces, los accionistas, los propietarios o la publicidad presionarán a una organización de medios para que promueva los aspectos comerciales de un tema científico y, por lo tanto, cualquier reclamo de incertidumbre que pueda comprometer los intereses comerciales se minimiza o elimina. ^[18]

Aplicaciones

• La incertidumbre está diseñada en los juegos , sobre todo en los juegos de azar , donde el azar es fundamental para jugar.
• En modelos científicos , en los que se debe entender que la predicción de eventos futuros tiene un rango de valores esperados.
• En optimización , la incertidumbre permite describir situaciones en las que el usuario no tiene control total sobre el resultado final del procedimiento de optimización, ver optimización de escenarios y optimización estocástica .
  • En el pronóstico del tiempo , ahora es común incluir datos sobre el grado de incertidumbre en un pronóstico del tiempo .
• La incertidumbre o el error se utilizan en la notación científica y de ingeniería. Los valores numéricos solo deben expresarse en aquellos dígitos que sean físicamente significativos, que se denominan cifras significativas . La incertidumbre está involucrada en cada medición, como medir una distancia, una temperatura, etc., el grado depende del instrumento o técnica utilizada para realizar la medición. De manera similar, la incertidumbre se propaga a través de cálculos de modo que el valor calculado tenga cierto grado de incertidumbre dependiendo de las incertidumbres de los valores medidos y la ecuación utilizada en el cálculo. ^[20]
• En física , el principio de incertidumbre de Heisenberg forma la base de la mecánica cuántica moderna .
• En metrología , la incertidumbre de la medición es un concepto central que cuantifica la dispersión que uno puede atribuir razonablemente a un resultado de medición. Esta incertidumbre también puede denominarse error de medición . En la vida diaria, la incertidumbre de la medición a menudo es implícita ("Mide 6 pies de altura" más o menos unas pocas pulgadas), mientras que para cualquier uso serio es necesaria una declaración explícita de la incertidumbre de la medición. La incertidumbre de medición esperada de muchos instrumentos de medición (escalas, osciloscopios, medidores de fuerza, reglas, termómetros, etc.) se indica a menudo en las especificaciones de los fabricantes.
• En ingeniería , la incertidumbre se puede utilizar en el contexto de la validación y verificación del modelado de materiales. ^[21]
• La incertidumbre ha sido un tema común en el arte, tanto como dispositivo temático (ver, por ejemplo, la indecisión de Hamlet ), como un dilema para el artista (como la dificultad de Martin Creed para decidir qué obras de arte hacer).
• La incertidumbre es un factor importante en economía . Según el economista Frank Knight , es diferente del riesgo , donde hay una probabilidad específica asignada a cada resultado (como cuando se lanza una moneda al aire). La incertidumbre de Knight implica una situación que tiene probabilidades desconocidas.
• Invertir en mercados financieros como el mercado de valores implica la incertidumbre de Knight cuando se desconoce la probabilidad de un evento poco común pero catastrófico.

Filosofía

En la filosofía occidental, el primer filósofo en abrazar la incertidumbre fue Pirrón ^{[22], lo que} dio lugar a las filosofías helenísticas del pirronismo y el escepticismo académico , las primeras escuelas de escepticismo filosófico . La aporía y la acatalepsia representan conceptos clave en la filosofía griega antigua con respecto a la incertidumbre.

Ver también

• Economía de la información aplicada
• Certeza
• Teoría de Dempster-Shafer
• Se necesita más investigación
• Teoría de conjuntos difusos
• Teoría de juego
• Entropía de la información
• Elemento finito de intervalo
• Incertidumbre de medicion
• Análisis morfológico (resolución de problemas)
• Propagación de la incertidumbre
• Aleatoriedad
• El gato de Schrödinger
• Consenso científico
• Mecánica estadística
• Lógica subjetiva
• Cuantificación de la incertidumbre
• Tolerancia a la incertidumbre
• Volatilidad, incertidumbre, complejidad y ambigüedad

Referencias

1. Peter Norvig ; Sebastian Thrun . "Introducción a la Inteligencia Artificial" . Udacity .
2. Hubbard, DW (2014). Cómo medir cualquier cosa: encontrar el valor de los "intangibles" en los negocios. Wiley.
3. Kabir, HD, Khosravi, A., Hosen, MA y Nahavandi, S. (2018). Cuantificación de la incertidumbre basada en redes neuronales: un estudio de metodologías y aplicaciones. Acceso IEEE. Vol. 6, páginas 36218 - 36234, doi : 10.1109 / ACCESS.2018.2836917
4. Gärdenfors, Peter; Sahlin, Nils-Eric (1982). "Probabilidades poco fiables, toma de riesgos y toma de decisiones". Síntesis . 53 (3): 361–386. doi : 10.1007 / BF00486156 . S2CID  36194904 .
5. David Sundgren y Alexander Karlsson. Niveles de incertidumbre de probabilidad de segundo orden . Polibits , 48: 5-11, 2013.
6. Audun Jøsang. Lógica subjetiva: un formalismo para el razonamiento en la incertidumbre . Springer, Heidelberg, 2016.
7. Douglas Hubbard (2010). Cómo medir cualquier cosa: encontrar el valor de los intangibles en los negocios , 2ª ed. John Wiley e hijos. Descripción Archivado el 22 de noviembre de 2011 en la Wayback Machine , contenido Archivado el 27 de abril de 2013 en la Wayback Machine y vista previa .
8. Jean-Jacques Laffont (1989). La economía de la incertidumbre y la información , MIT Press. Descripción Archivado el 25 de enero de 2012 en Wayback Machine y enlaces de vista previa de capítulos.
9. Jean-Jacques Laffont (1980). Ensayos sobre la economía de la incertidumbre , Harvard University Press. Vínculos de vista previa del capítulo.
10. Robert G. Chambers y John Quiggin (2000). Incertidumbre, producción, elección y agencia: el enfoque contingente del estado . Cambridge. Descripción y vista previa.ISBN  0-521-62244-1
11. Caballero, FH (1921). Riesgo, incertidumbre y beneficio . Boston: Hart, Schaffner y Marx.
12. Tannert C, Elvers HD, Jandrig B (2007). "La ética de la incertidumbre. Ante los posibles peligros, la investigación se convierte en un deber moral" . EMBO Rep. 8 (10): 892–6. doi : 10.1038 / sj.embor.7401072 . PMC  2002561 . PMID  17906667 .
13. "Incertidumbre estándar e incertidumbre estándar relativa" . Referencia CODATA . NIST . Archivado desde el original el 16 de octubre de 2011 . Consultado el 26 de septiembre de 2011 .
14. Zehr, SC (1999). Representaciones científicas de la incertidumbre . En Friedman, SM, Dunwoody, S., & Rogers, CL (Eds.), Comunicando incertidumbre: Cobertura mediática de ciencia nueva y controvertida (3-21). Mahwah, Nueva Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
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17. Somerville, RC; Hassol, SJ (2011). "Comunicando la ciencia del cambio climático". La física hoy . 64 (10): 48–53. Código bibliográfico : 2011PhT .... 64j..48S . doi : 10.1063 / pt.3.1296 .
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19. Nisbet, M .; Scheufele, DA (2007). "El futuro de la participación pública". El científico . 21 (10): 38–44.
20. Gregory, Kent J .; Bibbo, Giovanni; Pattison, John E. (2005). "Un enfoque estándar de las incertidumbres de medición para científicos e ingenieros en medicina". Ciencias Físicas e Ingeniería de Australasia en Medicina . 28 (2): 131-139. doi : 10.1007 / BF03178705 . PMID  16060321 . S2CID  13018991 .
21. "Copia archivada" . Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2015 . Consultado el 29 de julio de 2016 .
22. Pyrrho , Enciclopedia de Filosofía de Internet https://www.iep.utm.edu/pyrrho/

Otras lecturas

• Lindley, Dennis V. (11 de septiembre de 2006). Comprensión de la incertidumbre . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-470-04383-7.
• Gilboa, Itzhak (2009). Teoría de la decisión bajo incertidumbre . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521517324.
• Halpern, Joseph (1 de septiembre de 2005). Razonamiento sobre la incertidumbre . Prensa del MIT . ISBN 9780521517324.
• Smithson, Michael (1989). Ignorancia e incertidumbre . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96945-9.

enlaces externos

• Incertidumbres de medición en ciencia y tecnología, Springer 2005
• Propuesta de un nuevo cálculo de errores
• Estimación de las incertidumbres de medición: una alternativa a la guía ISO
• Bibliografía de artículos sobre la incertidumbre de la medición
• Directrices para evaluar y expresar la incertidumbre de los resultados de las mediciones del NIST
• Ingeniería estratégica: diseño de sistemas y productos bajo incertidumbre (Grupo de investigación del MIT)
• Comprensión del sitio de incertidumbre del programa Winton de Cambridge
• Bowley, Roger (2009). "∆ - Incertidumbre" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .