En mecánica cuántica , el principio de incertidumbre (también conocido como principio de incertidumbre de Heisenberg ) es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas [1] que afirman un límite fundamental a la precisión con la que los valores para ciertos pares de cantidades físicas de una partícula , como la posición , x , y la cantidad de movimiento , p , se pueden predecir a partir de las condiciones iniciales .
Estos pares de variables se conocen como variables complementarias o variables conjugadas canónicamente; y, dependiendo de la interpretación, el principio de incertidumbre limita hasta qué punto tales propiedades conjugadas mantienen su significado aproximado, ya que el marco matemático de la física cuántica no apoya la noción de propiedades conjugadas simultáneamente bien definidas expresadas por un solo valor. El principio de incertidumbre implica que, en general, no es posible predecir el valor de una cantidad con certeza arbitraria, incluso si se especifican todas las condiciones iniciales.
Introducido por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg , el principio de incertidumbre establece que cuanto más precisamente se determina la posición de una partícula, menos precisamente se puede predecir su momento a partir de las condiciones iniciales, y viceversa. [2] La desigualdad formal que relaciona la desviación estándar de la posición σ x y la desviación estándar del momento σ p fue derivada por Earle Hesse Kennard [3] más tarde ese año y por Hermann Weyl [4] en 1928:
donde ħ es la constante de Planck reducida , h / (2π ).
Históricamente, el principio de incertidumbre se ha confundido [5] [6] con un efecto relacionado en física , llamado efecto observador , que señala que las mediciones de ciertos sistemas no se pueden realizar sin afectar el sistema, es decir, sin cambiar algo en un sistema. . Heisenberg utilizó tal efecto de observador en el nivel cuántico (ver más abajo) como una "explicación" física de la incertidumbre cuántica. [7] Sin embargo, desde entonces ha quedado más claro que el principio de incertidumbre es inherente a las propiedades de todos los sistemas ondulantes , [8] y que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de la materia de todos los objetos cuánticos. Por lo tanto, el principio de incertidumbre en realidad establece una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos y no es una declaración sobre el éxito observacional de la tecnología actual . [9] Debe enfatizarse que medición no significa solo un proceso en el que participa un físico-observador, sino cualquier interacción entre objetos clásicos y cuánticos independientemente de cualquier observador. [10] [nota 1] [nota 2]
Dado que el principio de incertidumbre es un resultado tan básico en la mecánica cuántica, los experimentos típicos de la mecánica cuántica observan de forma rutinaria aspectos del mismo. Sin embargo, ciertos experimentos pueden probar deliberadamente una forma particular del principio de incertidumbre como parte de su programa principal de investigación. Estos incluyen, por ejemplo, pruebas de relaciones de incertidumbre de fase-número en sistemas superconductores [12] o de óptica cuántica [13] . Las aplicaciones que dependen del principio de incertidumbre para su funcionamiento incluyen tecnología de ruido extremadamente bajo, como la requerida en los interferómetros de ondas gravitacionales . [14]
Introducción
El principio de incertidumbre no es evidente en las escalas macroscópicas de la experiencia cotidiana. [15] Por lo tanto, es útil demostrar cómo se aplica a situaciones físicas más fáciles de entender. Dos marcos alternativos para la física cuántica ofrecen diferentes explicaciones para el principio de incertidumbre. La imagen de la mecánica ondulatoria del principio de incertidumbre es más intuitiva visualmente, pero la imagen de la mecánica matricial más abstracta la formula de una manera que se generaliza más fácilmente.
Matemáticamente, en la mecánica de ondas, la relación de incertidumbre entre la posición y el momento surge porque las expresiones de la función de onda en las dos bases ortonormales correspondientes en el espacio de Hilbert son transformadas de Fourier entre sí (es decir, la posición y el momento son variables conjugadas ). Una función distinta de cero y su transformada de Fourier no se pueden localizar de forma precisa al mismo tiempo. Una compensación similar entre las variaciones de los conjugados de Fourier surge en todos los sistemas subyacentes en el análisis de Fourier, por ejemplo en las ondas sonoras: un tono puro es un pico agudo en una sola frecuencia, mientras que su transformada de Fourier da la forma de la onda sonora en el tiempo. dominio, que es una onda sinusoidal completamente deslocalizada. En mecánica cuántica, los dos puntos clave son que la posición de la partícula toma la forma de una onda de materia y el momento es su conjugado de Fourier, asegurado por la relación de De Broglie p = ħk , donde k es el número de onda .
En la mecánica matricial , la formulación matemática de la mecánica cuántica , cualquier par de operadores autoadjuntos no conmutados que representen observables están sujetos a límites de incertidumbre similares. Un estado propio de un observable representa el estado de la función de onda para un determinado valor de medición (el valor propio). Por ejemplo, si se realiza una medición de un observable A , entonces el sistema se encuentra en un estado propio particular Ψ de ese observable. Sin embargo, el estado propio particular del observable A no necesita ser un estado propio de otro observable B : si es así, entonces no tiene una medida asociada única para él, ya que el sistema no está en un estado propio de ese observable. [dieciséis]
Interpretación de la mecánica ondulatoria
(Ref [10] )
Según la hipótesis de De Broglie , todo objeto del universo es una onda , es decir, una situación que da lugar a este fenómeno. La posición de la partícula se describe mediante una función de onda . La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k 0 o momento p 0 es
Los regla Born estados que esto se debe interpretar como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre una y b es
En el caso de la onda plana monomodo, es una distribución uniforme . En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar esencialmente en cualquier parte del paquete de ondas.
Por otro lado, considere una función de onda que es una suma de muchas ondas , que podemos escribir esto como
donde A n representa la contribución relativa del modo p n al total general. Las figuras de la derecha muestran cómo con la adición de muchas ondas planas, el paquete de ondas puede volverse más localizado. Podemos llevar esto un paso más allá al límite del continuo, donde la función de onda es una integral sobre todos los modos posibles.
con que representa la amplitud de estos modos y se llama función de onda en el espacio de momento . En términos matemáticos, decimos quees la transformada de Fourier dey que x y p son variables conjugadas . La suma de todas estas ondas planas tiene un costo, es decir, el impulso se ha vuelto menos preciso, al haberse convertido en una mezcla de ondas de muchos momentos diferentes.
Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el momento es la desviación estándar σ . Desde es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar.
La precisión de la posición se mejora, es decir, se reduce σ x , mediante el uso de muchas ondas planas, lo que debilita la precisión del momento, es decir, se aumenta σ p . Otra forma de decir esto es que σ x y σ p tienen una relación inversa o al menos están acotadas desde abajo. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es el límite de Kennard. Haga clic en el botón Mostrar a continuación para ver una derivación semiformal de la desigualdad de Kennard utilizando la mecánica ondulatoria.
Prueba de la desigualdad de Kennard utilizando la mecánica ondulatoria |
---|
Estamos interesados en las variaciones de posición e impulso, definidas como Sin pérdida de generalidad , asumiremos que los medios desaparecen, lo que equivale a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (Una prueba más general que no hace esta suposición se da a continuación). Esto nos da la forma más simple La función se puede interpretar como un vector en un espacio funcional . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: donde el asterisco denota el conjugado complejo . Con este producto interno definido, observamos que la varianza para la posición se puede escribir como Podemos repetir esto para el impulso interpretando la función como vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que y son transformaciones de Fourier entre sí. Evaluamos la transformada de Fourier inversa a través de la integración por partes : donde el término cancelado desaparece porque la función de onda desaparece en el infinito. A menudo el términose llama operador de impulso en el espacio de posición. Aplicando el teorema de Parseval , vemos que la varianza de la cantidad de movimiento se puede escribir como La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como dejamos y y sustituirlos en la ecuación anterior para obtener Todo lo que queda es evaluar estos productos internos. Conectando esto a las desigualdades anteriores, obtenemos o sacando la raíz cuadrada Tenga en cuenta que la única física involucrada en esta prueba fue que y son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier entre sí. Un resultado similar sería válido para cualquier par de variables conjugadas. |
Interpretación de la mecánica matricial
(Ref [10] )
En la mecánica matricial, los observables como la posición y el momento están representados por operadores autoadjuntos . Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores  y B̂ , se define su conmutador como
En el caso de la posición y el momento, el conmutador es la relación de conmutación canónica
El significado físico de la no conmutatividad puede entenderse considerando el efecto del conmutador en los estados propios de posición y momento . Dejarser un autoestado derecho de posición con un autovalor constante x 0 . Por definición, esto significa que Aplicar el conmutador a rendimientos
donde Î es el operador de identidad .
Supongamos, en aras de la prueba por contradicción , quees también un autoestado derecho de momento, con autovalor constante p 0 . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir
Por otro lado, la relación de conmutación canónica anterior requiere que
Esto implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente una posición y un estado propio de momento.
Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un estado propio en base al observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un estado propio de posición. Sin embargo, esto significa que el estado no es un estado propio de impulso, sino que puede representarse como una suma de múltiples estados propios de base de impulso. En otras palabras, el impulso debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar ,
Como en la interpretación de la mecánica ondulatoria anterior, se ve una compensación entre las respectivas precisiones de las dos, cuantificadas por el principio de incertidumbre.
Límite de Heisenberg
En metrología cuántica , y especialmente en interferometría , el límite de Heisenberg es la velocidad óptima a la que la precisión de una medición puede escalar con la energía utilizada en la medición. Normalmente, esta es la medida de una fase (aplicada a un brazo de un divisor de haz ) y la energía viene dada por el número de fotones usados en un interferómetro . Aunque algunos afirman haber superado el límite de Heisenberg, esto refleja un desacuerdo sobre la definición del recurso de escala. [17] Definido adecuadamente, el límite de Heisenberg es una consecuencia de los principios básicos de la mecánica cuántica y no se puede superar, aunque el límite débil de Heisenberg sí se puede superar. [18]
Relaciones de incertidumbre de Robertson-Schrödinger
La forma general más común del principio de incertidumbre es la relación de incertidumbre de Robertson . [19]
Para un operador hermitiano arbitrario podemos asociar una desviación estándar
donde los corchetes indicar un valor esperado . Para un par de operadores y , podemos definir su conmutador como
En esta notación, la relación de incertidumbre de Robertson viene dada por
La relación de incertidumbre de Robertson se sigue inmediatamente de una desigualdad ligeramente más fuerte, la relación de incertidumbre de Schrödinger , [20]
donde hemos introducido el anticonmutador ,
Prueba de la relación de incertidumbre de Schrödinger | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
La derivación que se muestra aquí incorpora y se basa en las que se muestran en Robertson, [19] Schrödinger [20] y libros de texto estándar como Griffiths. [21] Para cualquier operador hermitiano, basado en la definición de varianza , tenemos dejamos y por lo tanto Del mismo modo, para cualquier otro operador hermitiano en el mismo estado por Por tanto, el producto de las dos desviaciones se puede expresar como
Para relacionar los dos vectores y , utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz [22] que se define como y por lo tanto Eq. ( 1 ) se puede escribir como
Desde es en general un número complejo, utilizamos el hecho de que el módulo al cuadrado de cualquier número complejo Se define como , dónde es el complejo conjugado de . El módulo al cuadrado también se puede expresar como
dejamos y y sustituirlos en la ecuación anterior para obtener
El producto interior está escrito explícitamente como y usando el hecho de que y son operadores hermitianos, encontramos Del mismo modo, se puede demostrar que Así tenemos y Ahora sustituimos las dos ecuaciones anteriores de nuevo en la ecuación. ( 4 ) y obtener Sustituyendo lo anterior en la ecuación. ( 2 ) obtenemos la relación de incertidumbre de Schrödinger Esta prueba tiene un problema [23] relacionado con los dominios de los operadores involucrados. Para que la prueba tenga sentido, el vectortiene que estar en el dominio del operador ilimitado , que no siempre es el caso. De hecho, la relación de incertidumbre de Robertson es falsa si es una variable de ángulo y es la derivada con respecto a esta variable. En este ejemplo, el conmutador es una constante distinta de cero, al igual que en la relación de incertidumbre de Heisenberg, y sin embargo, hay estados en los que el producto de las incertidumbres es cero. [24] (Ver la sección de contraejemplos a continuación). Este problema se puede solucionar usando un método variacional para la demostración., [25] [26] o trabajando con una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas. [24] Tenga en cuenta que en la forma general de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger, no es necesario suponer que los operadores y son operadores autoadjuntos . Basta suponer que son simplemente operadores simétricos . (La distinción entre estas dos nociones generalmente se pasa por alto en la literatura de física, donde el término hermitiano se usa para una o ambas clases de operadores. Ver el Capítulo 9 del libro de Hall [27] para una discusión detallada de esta importante pero técnica distinción. ) |
Estados mixtos
La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede generalizarse de una manera sencilla para describir estados mixtos .
Las relaciones de incertidumbre Maccone-Pati
La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede ser trivial si el estado del sistema se elige para que sea el estado propio de uno de los observables. Las relaciones de incertidumbre más fuertes probadas por Maccone y Pati dan límites no triviales en la suma de las varianzas para dos observables incompatibles. [28] (Los trabajos anteriores sobre las relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de las varianzas incluyen, por ejemplo, la Ref. [29] debida a Huang). y la primera relación de incertidumbre más fuerte está dada por
dónde , , es un vector normalizado que es ortogonal al estado del sistema y uno debe elegir el signo de para hacer de esta cantidad real un número positivo.
La segunda relación de incertidumbre más fuerte viene dada por
dónde es un estado ortogonal a . La forma de implica que el lado derecho de la nueva relación de incertidumbre es distinto de cero a menos que es un estado propio de . Uno puede notar que puede ser un autoestado de sin ser un estado propio de ninguno o . Sin embargo cuandoes un estado propio de uno de los dos observables, la relación de incertidumbre de Heisenberg-Schrödinger se vuelve trivial. Pero el límite inferior en la nueva relación es distinto de cero a menos que es un estado propio de ambos.
Espacio de fase
En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deriva de una condición de positividad en una función estrella-cuadrado real. Dada una función de Wigner con el producto estrella ★ y una función f , generalmente se cumple lo siguiente: [30]
Elegir , llegamos a
Dado que esta condición positividad es cierto para todo un , b , y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz no son negativos.
Los valores propios no negativos implican entonces una condición de no negatividad correspondiente en el determinante ,
o, explícitamente, después de la manipulación algebraica,
Ejemplos de
Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger son para operadores generales, las relaciones se pueden aplicar a dos observables cualesquiera para obtener relaciones de incertidumbre específicas. Algunas de las relaciones más comunes encontradas en la literatura se dan a continuación.
- Para la posición y el momento lineal, la relación de conmutación canónica implica la desigualdad de Kennard desde arriba:
- Para dos componentes ortogonales del operador de momento angular total de un objeto:
- donde i , j , k son distintos y J i denota momento angular a lo largo del eje x i . Esta relación implica que, a menos que los tres componentes se desvanezcan juntos, solo se puede definir con precisión arbitraria una sola componente del momento angular de un sistema, normalmente la componente paralela a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para , una elección , , en multipletes de momento angular, ψ = | j , m〉, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado, ) desde abajo y, por lo tanto, produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) y, por lo tanto, j ≥ m , entre otras.
- En la mecánica no relativista, se privilegia el tiempo como variable independiente . Sin embargo, en 1945, LI Mandelshtam e IE Tamm derivaron una relación de incertidumbre de tiempo-energía no relativista , como sigue. [31] [32] Para un sistema cuántico en un estado no estacionario ψ y un B observable representado por un operador autoadjunto, se cumple la siguiente fórmula:
- donde σ E es la desviación estándar del operador de energía (Hamilton) en el estado ψ , σ B representa la desviación estándar de B . Aunque el segundo factor en el lado izquierdo tiene dimensión de tiempo, es diferente del parámetro de tiempo que entra en la ecuación de Schrödinger . Es una vida útil del estado ψ con respecto al observable B : En otras palabras, este es el intervalo de tiempo (Δ t ) después del cual el valor esperado cambia apreciablemente.
- Un significado heurístico e informal del principio es el siguiente: Un estado que sólo existe por un corto tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado debe definirse con precisión, y esto requiere que el estado permanezca durante muchos ciclos, el recíproco de la precisión requerida. Por ejemplo, en espectroscopia , los estados excitados tienen una vida útil finita. Según el principio de incertidumbre de tiempo-energía, no tienen una energía definida y, cada vez que decaen, la energía que liberan es ligeramente diferente. La energía promedio del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene un ancho finito llamado ancho de línea natural . Los estados de descomposición rápida tienen un ancho de línea amplio, mientras que los estados de descomposición lenta tienen un ancho de línea estrecho. [33]
- El mismo efecto de ancho de línea también dificulta la especificación de la masa restante de partículas inestables de rápida descomposición en la física de partículas . Cuanto más rápido se desintegra la partícula (cuanto menor es su vida útil), menos segura es su masa (mayor es el ancho de la partícula ).
- Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden de Ginzburg-Landau [34] [35]
Un contraejemplo
Supongamos que consideramos una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular, que podemos tomar para mentir en el intervalo . Definir operadores de "posición" y "impulso" y por
y
donde imponemos condiciones de contorno periódicas en . La definición de depende de nuestra elección de tener rango de 0 a . Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación habituales para los operadores de posición y momento,. [36]
Ahora deja ser cualquiera de los estados propios de , que están dados por . Estos estados son normalizables, a diferencia de los estados propios del operador de impulso en la línea. También el operador está acotado, ya que rangos sobre un intervalo acotado. Así, en el estado, la incertidumbre de es cero y la incertidumbre de es finito, de modo que
Aunque este resultado parece violar el principio de incertidumbre de Robertson, la paradoja se resuelve cuando observamos que no está en el dominio del operador , ya que la multiplicación por interrumpe las condiciones de contorno periódicas impuestas a . [24] Por tanto, la derivación de la relación de Robertson, que requiere y por definir, no aplica. (Estos también proporcionan un ejemplo de operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las relaciones de Weyl . [37] )
Para los operadores habituales de posición e impulso y en la línea real, no pueden ocurrir tales contraejemplos. Mientras y están definidos en el estado , el principio de incertidumbre de Heisenberg se mantiene, incluso si no está en el dominio de o de . [38]
Ejemplos de
(Refs. [10] [21] )
Estados estacionarios del oscilador armónico cuántico
Considere un oscilador armónico cuántico unidimensional. Es posible expresar los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación :
Usando las reglas estándar para los operadores de creación y aniquilación en los estados propios de energía,
las varianzas se pueden calcular directamente,
El producto de estas desviaciones estándar es entonces
En particular, el límite de Kennard [3] anterior está saturado para el estado fundamental n = 0 , para el cual la densidad de probabilidad es solo la distribución normal .
Osciladores armónicos cuánticos con condición inicial gaussiana
En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω, coloque un estado que esté desplazado desde la parte inferior del potencial por algún desplazamiento x 0 como
donde Ω describe el ancho del estado inicial, pero no es necesario que sea igual que ω. A través de la integración sobre el propagador , podemos resolver la solución dependiente del tiempo completo. Después de muchas cancelaciones, las densidades de probabilidad se reducen a
donde hemos usado la notación para denotar una distribución normal de media μ y varianza σ 2 . Copiando las varianzas anteriores y aplicando identidades trigonométricas , podemos escribir el producto de las desviaciones estándar como
De las relaciones
podemos concluir lo siguiente: (la igualdad más a la derecha se mantiene solo cuando Ω = ω ).
Estados coherentes
Un estado coherente es un estado propio correcto del operador de aniquilación ,
- ,
que puede representarse en términos de los estados de Fock como
En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de los operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas,
Por lo tanto, cada estado coherente satura el límite de Kennard
con posición e impulso cada uno contribuyendo una cantidad de forma "equilibrada". Además, cada estado coherente comprimido también satura el límite de Kennard, aunque las contribuciones individuales de posición e impulso no necesitan ser equilibradas en general.
Partícula en una caja
Considere una partícula en una caja unidimensional de longitud . Las funciones propias en el espacio de posición y momento son
y
dónde y hemos utilizado la relación de De Broglie . Las variaciones de y se puede calcular explícitamente:
Por tanto, el producto de las desviaciones estándar es
Para todos , la cantidad es mayor que 1, por lo que nunca se infringe el principio de incertidumbre. Para la concreción numérica, el valor más pequeño ocurre cuando, en ese caso
Impulso constante
Suponga que una partícula tiene inicialmente una función de onda espacial de cantidad de movimiento descrita por una distribución normal alrededor de una cantidad de movimiento constante p 0 de acuerdo con
donde hemos introducido una escala de referencia , con describiendo el ancho de la distribución −− cf. no dimensionalización . Si se permite que el estado evolucione en el espacio libre, entonces las funciones de onda del espacio de posición y momento dependiente del tiempo son
Desde y , esto se puede interpretar como una partícula que se mueve junto con un momento constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otro lado, la desviación estándar de la posición es
tal que el producto de incertidumbre solo puede aumentar con el tiempo como
Relaciones de incertidumbre adicionales
Errores sistemáticos y estadísticos
Las desigualdades anteriores se centran en la imprecisión estadística de los observables cuantificados por la desviación estándar. Sin embargo, la versión original de Heisenberg trataba del error sistemático , una perturbación del sistema cuántico producida por el aparato de medición, es decir, un efecto de observador .
Si dejamos representar el error (es decir, inexactitud ) de una medición de un observable A yla perturbación producida en una medición posterior de la variable conjugada B por la medición anterior de A , entonces la desigualdad propuesta por Ozawa [6] , que abarca tanto errores sistemáticos como estadísticos, se cumple:
El principio de incertidumbre de Heisenberg, como se describió originalmente en la formulación de 1927, menciona solo el primer término de la desigualdad de Ozawa, con respecto al error sistemático . Usando la notación anterior para describir el efecto de error / perturbación de las mediciones secuenciales (primero A , luego B ), podría escribirse como
La derivación formal de la relación de Heisenberg es posible pero lejos de ser intuitiva. Fue no propuesto por Heisenberg, pero formulada de una manera matemáticamente consistente sólo en los últimos años. [39] [40] Además, debe destacarse que la formulación de Heisenberg no tiene en cuenta los errores estadísticos intrínsecos y . Existe una creciente evidencia experimental [8] [41] [42] [43] de que la incertidumbre cuántica total no puede ser descrita por el término de Heisenberg solo, sino que requiere la presencia de los tres términos de la desigualdad de Ozawa.
Utilizando el mismo formalismo, [1] también es posible introducir el otro tipo de situación física, a menudo confundida con la anterior, a saber, el caso de las medidas simultáneas ( A y B al mismo tiempo):
Las dos mediciones simultáneas en A y B son necesariamente [44] poco nítidas o débiles .
También es posible derivar una relación de incertidumbre que, como la de Ozawa, combina los componentes de error estadístico y sistemático, pero mantiene una forma muy cercana a la desigualdad original de Heisenberg. Añadiendo a Robertson [1]
y relaciones de Ozawa obtenemos
Los cuatro términos se pueden escribir como:
Definiendo:
como la inexactitud en los valores medidos de la variable A y
como la fluctuación resultante en la variable conjugada B , Fujikawa [45] estableció una relación de incertidumbre similar a la original de Heisenberg, pero válida tanto para errores sistemáticos como estadísticos :
Principio de incertidumbre entrópica cuántica
Para muchas distribuciones, la desviación estándar no es una forma particularmente natural de cuantificar la estructura. Por ejemplo, las relaciones de incertidumbre en las que uno de los observables es un ángulo tienen poco significado físico para fluctuaciones mayores de un período. [26] [46] [47] [48] Otros ejemplos incluyen distribuciones altamente bimodales o distribuciones unimodales con varianza divergente.
Una solución que supera estos problemas es una incertidumbre basada en la incertidumbre entrópica en lugar del producto de las variaciones. Al formular la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica en 1957, Hugh Everett III conjeturó una extensión más fuerte del principio de incertidumbre basado en la certeza entrópica. [49] Esta conjetura, también estudiada por Hirschman [50] y probada en 1975 por Beckner [51] y por Iwo Bialynicki-Birula y Jerzy Mycielski [52] es que, para dos pares de transformadas de Fourier normalizadas y adimensionales f (a) y g (b) donde
- y
las entropías de información de Shannon
y
están sujetos a la siguiente restricción,
donde los logaritmos pueden estar en cualquier base.
Las funciones de distribución de probabilidad asociadas con la función de onda de posición ψ (x) y la función de onda de momento φ (x) tienen dimensiones de longitud inversa y momento respectivamente, pero las entropías pueden volverse adimensionales por
donde x 0 y p 0 son una longitud y un momento elegidos arbitrariamente, respectivamente, lo que hace que los argumentos de los logaritmos sean adimensionales. Tenga en cuenta que las entropías serán funciones de estos parámetros elegidos. Debido a la relación de la transformada de Fourier entre la función de onda de posición ψ (x) y la función de onda de momento φ ( p ) , la restricción anterior se puede escribir para las entropías correspondientes como
donde h es la constante de Planck .
Dependiendo de la elección que se haga del producto x 0 p 0 , la expresión se puede escribir de muchas formas. Si x 0 p 0 se elige como h , entonces
Si, en cambio, x 0 p 0 se elige como ħ , entonces
Si se elige x 0 y p 0 para que sean la unidad en cualquier sistema de unidades que se esté utilizando, entonces
donde h se interpreta como un número adimensional igual al valor de la constante de Planck en el sistema de unidades elegido. Tenga en cuenta que estas desigualdades se pueden extender a estados cuánticos multimodo o funciones de onda en más de una dimensión espacial. [53]
El principio de incertidumbre entrópica cuántica es más restrictivo que el principio de incertidumbre de Heisenberg. De las desigualdades logarítmicas inversas de Sobolev [54]
(de manera equivalente, del hecho de que las distribuciones normales maximizan la entropía de todos ellos con una varianza dada), se deduce fácilmente que este principio de incertidumbre entrópica es más fuerte que el que se basa en las desviaciones estándar , porque
En otras palabras, el principio de incertidumbre de Heisenberg es una consecuencia del principio de incertidumbre entrópica cuántica, pero no al revés. Algunas observaciones sobre estas desigualdades. Primero, la elección de la base e es una cuestión de convención popular en física. Alternativamente, el logaritmo puede estar en cualquier base, siempre que sea consistente en ambos lados de la desigualdad. En segundo lugar, recuerde que se ha utilizado la entropía de Shannon , no la entropía cuántica de von Neumann . Finalmente, la distribución normal satura la desigualdad, y es la única distribución con esta propiedad, porque es la distribución de probabilidad de entropía máxima entre aquellos con varianza fija (ver aquí como prueba).
Incertidumbre entrópica de la distribución normal |
---|
Demostramos este método en el estado fundamental del QHO, que como se discutió anteriormente satura la incertidumbre habitual basada en desviaciones estándar. La escala de longitud se puede ajustar a lo que sea conveniente, por lo que asignamos La distribución de probabilidad es la distribución normal. con entropía de Shannon Se realiza un cálculo completamente análogo para la distribución de la cantidad de movimiento. Elegir un impulso estándar de: La incertidumbre entrópica es, por tanto, el valor límite |
Un aparato de medición tendrá una resolución finita establecida por la discretización de sus posibles salidas en contenedores, con la probabilidad de estar dentro de uno de los contenedores dada por la regla de Born. Consideraremos la situación experimental más común, en la que los contenedores son de tamaño uniforme. Sea δx una medida de la resolución espacial. Consideramos que el intervalo cero está centrado cerca del origen, posiblemente con un pequeño desplazamiento constante c . La probabilidad de estar dentro del j-ésimo intervalo de ancho δx es
Para tener en cuenta esta discretización, podemos definir la entropía de Shannon de la función de onda para un aparato de medición dado como
Según la definición anterior, la relación de incertidumbre entrópica es
Aquí observamos que ? X ? P / h es un volumen del espacio de fases infinitesimal típico utilizado en el cálculo de una función de partición . La desigualdad también es estricta y no saturada. Los esfuerzos para mejorar este límite son un área de investigación activa.
Ejemplo de distribución normal |
---|
Demostramos este método primero en el estado fundamental del QHO, que como se discutió anteriormente satura la incertidumbre habitual basada en desviaciones estándar. La probabilidad de encontrarse dentro de uno de estos contenedores se puede expresar en términos de la función de error . Las probabilidades de impulso son completamente análogas. Para simplificar, estableceremos las resoluciones en de modo que las probabilidades se reducen a La entropía de Shannon se puede evaluar numéricamente. La incertidumbre entrópica es de hecho mayor que el valor límite. Tenga en cuenta que a pesar de estar en el caso óptimo, la desigualdad no está saturada. |
Ejemplo de función Sinc |
---|
Un ejemplo de distribución unimodal con varianza infinita es la función sinc . Si la función de onda es la distribución uniforme correctamente normalizada, entonces su transformada de Fourier es la función sinc, que produce una variación de momento infinita a pesar de tener una forma centralizada. La incertidumbre entrópica, por otro lado, es finita. Suponga, para simplificar, que la resolución espacial es solo una medición de dos contenedores, δx = a , y que la resolución del momento es δp = h / a . La división de la distribución espacial uniforme en dos contenedores iguales es sencilla. Establecemos el desplazamiento c = 1/2 para que los dos contenedores abarquen la distribución. Los contenedores de impulso deben cubrir toda la línea real. Como se hizo con la distribución espacial, podríamos aplicar un desplazamiento. Sin embargo, resulta que la entropía de Shannon se minimiza cuando el intervalo cero del momento está centrado en el origen. (Se anima al lector a que intente agregar un desplazamiento). La probabilidad de estar dentro de un intervalo de momento arbitrario se puede expresar en términos de la integral del seno . La entropía de Shannon se puede evaluar numéricamente. La incertidumbre entrópica es de hecho mayor que el valor límite. |
La desigualdad de Efimov por matrices de Pauli
En 1976, Sergei P. Efimov dedujo una desigualdad que refina la relación de Robertson aplicando conmutadores de orden superior. [55] Su enfoque se basa en las matrices de Pauli . Más tarde, VV Dodonov utilizó el método para derivar relaciones para varios observables utilizando el álgebra de Clifford . [56] [57]
Según Jackiw, [25] la incertidumbre de Robertson es válida solo cuando el conmutador es el número C. El método Efimov es efectivo para variables que tienen conmutadores de orden superior, por ejemplo, para el operador de energía cinética y para la coordenada uno. Considere dos operadores y que tienen conmutador :
Para acortar fórmulas usamos las desviaciones del operador:
- ,
cuando los nuevos operadores tienen la desviación media cero. Para usar las matrices de Pauli podemos considerar el operador:
donde 2 × 2 matrices de giro tienen conmutadores:
dónde símbolo antisimétrico . Actúan en el espacio de giro independientemente de. Las matrices de Pauli definen el álgebra de Clifford . Tomamos números arbitrarios en operador ser real.
El cuadrado físico del operador es igual a:
dónde es operador adjunto y conmutadores y estan siguiendo:
Operador es positivo-definido, lo que es esencial para obtener una desigualdad por debajo. Tomando el valor promedio de él sobre el estado, obtenemos una matriz definida positiva 2 × 2:
donde se usa la noción:
y análogo para operadores . Respecto a que los coeficientesson arbitrarios en la ecuación, obtenemos la matriz definida positiva 6 × 6. El criterio de Sylvester dice que sus principales menores principales no son negativos. La incertidumbre de Robertson se sigue de menor a cuarto grado . Para fortalecer el resultado calculamos determinante de sexto orden:
La igualdad se observa solo cuando el estado es un estado propio para el operador y lo mismo para las variables de giro:
- .
Relación encontrada que podemos aplicar al operador de energía cinética. y para operador de la coordenada :
En particular, se observa igualdad en la fórmula para el estado fundamental del oscilador, mientras que el elemento de la derecha de la incertidumbre de Robertson desaparece:
- .
El significado físico de la relación es más claro si se divide por el impulso promedio al cuadrado distinto de cero lo que produce:
dónde es el tiempo efectivo al cuadrado dentro del cual una partícula se mueve cerca de la trayectoria media (la masa de la partícula es igual a 1).
El método se puede aplicar para tres operadores no conmutados de momento angular. . Compilamos el operador:
Recordamos que los operadores son auxiliares y no existe relación entre las variables de espín de la partícula. De esta manera, sus propiedades conmutativas son solo de importancia. Operador al cuadrado y promediado da una matriz definida positiva de la que obtenemos la siguiente desigualdad de:
Para desarrollar un método para un grupo de operadores, se puede usar el álgebra de Clifford en lugar de las matrices de Pauli. [57]
Análisis armónico
En el contexto del análisis armónico , una rama de las matemáticas, el principio de incertidumbre implica que no se puede localizar al mismo tiempo el valor de una función y su transformada de Fourier . A saber, la siguiente desigualdad se mantiene,
Otras desigualdades de incertidumbre matemática, incluida la incertidumbre entrópica anterior , se mantienen entre una función f y su transformada de Fourier ƒ̂ : [58] [59] [60]
Procesamiento de la señal
En el contexto del procesamiento de señales , y en particular del análisis de tiempo-frecuencia , los principios de incertidumbre se conocen como el límite de Gabor , después de Dennis Gabor , o algunas veces el límite de Heisenberg-Gabor . El resultado básico, que se sigue del "teorema de Benedicks", a continuación, es que una función no puede tener una limitación temporal y una banda limitada (una función y su transformada de Fourier no pueden tener ambas dominios acotados) —ver banda limitada versus limitada temporal . Por lo tanto
dónde y son las desviaciones estándar de las estimaciones de tiempo y frecuencia, respectivamente. [61]
Dicho de forma alternativa, "No se puede localizar de forma precisa simultáneamente una señal (función f ) en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia ( ƒ̂ , su transformada de Fourier)".
Cuando se aplica a filtros, el resultado implica que no se puede lograr una alta resolución temporal y resolución de frecuencia al mismo tiempo; Un ejemplo concreto son los problemas de resolución de la transformada de Fourier de corta duración: si se usa una ventana amplia, se logra una buena resolución de frecuencia a costa de la resolución temporal, mientras que una ventana estrecha tiene la compensación opuesta.
Los teoremas alternativos dan resultados cuantitativos más precisos y, en el análisis de tiempo-frecuencia, en lugar de interpretar los dominios (unidimensionales) de tiempo y frecuencia por separado, se interpreta el límite como un límite inferior en el apoyo de una función en el (2 -dimensional) plano tiempo-frecuencia. En la práctica, el límite de Gabor limita la resolución simultánea de tiempo-frecuencia que se puede lograr sin interferencia; Es posible lograr una resolución más alta, pero a costa de que diferentes componentes de la señal interfieran entre sí.
Como resultado, para analizar señales donde los transitorios son importantes, a menudo se usa la transformada wavelet en lugar de la de Fourier.
Transformada discreta de Fourier
Dejar ser una secuencia de N números complejos ysu discreta transformada de Fourier .
Denotamos por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de tiempo y por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de frecuencia . Luego,
Esta desigualdad es aguda , con igualdad lograda cuando x o X es una masa de Dirac, o más generalmente cuando x es un múltiplo distinto de cero de un peine de Dirac apoyado en un subgrupo de números enteros módulo N (en cuyo caso X es también un peine de Dirac compatible en un subgrupo complementario y viceversa).
De manera más general, si T y W son subconjuntos de los números enteros módulo N , seadenotan el operador de limitación de tiempo y los operadores de limitación de banda , respectivamente. Luego
donde la norma es la norma del operador de los operadores en el espacio de Hilbertde las funciones en los enteros módulo N . Esta desigualdad tiene implicaciones para la reconstrucción de señales . [62]
Cuando N es un número primo , se mantiene una desigualdad más fuerte:
Descubierta por Terence Tao , esta desigualdad también es aguda. [63]
El teorema de Benedicks
Amrein-Berthier [64] y el teorema de Benedicks [65] dice intuitivamente que el conjunto de puntos donde f no es cero y el conjunto de puntos donde ƒ̂ es distinto de cero no pueden ser ambos pequeños.
Específicamente, es imposible que una función f en L 2 ( R ) y su transformada de Fourier ƒ̂ estén ambas soportadas en conjuntos de medidas finitas de Lebesgue . Una versión más cuantitativa es [66] [67]
Se espera que el factor Ce C | S || Σ | puede ser reemplazado por Ce C (| S || Σ |) 1 / d , que solo se conoce si S o Σ es convexo.
Principio de incertidumbre de Hardy
El matemático GH Hardy formuló el siguiente principio de incertidumbre: [68] no es posible que f y ƒ̂ sean "decrecientes muy rápidamente". Específicamente, si f en es tal que
y
- ( un número entero),
entonces, si ab > 1, f = 0 , mientras que si ab = 1 , entonces hay un polinomio P de grado ≤ N tal que
Esto se mejoró más tarde de la siguiente manera: si es tal que
luego
donde P es un polinomio de grado ( N - d ) / 2 y A es una matriz definida positiva real d × d .
Este resultado se expresó en las obras completas de Beurling sin pruebas y se demostró en Hörmander [69] (el caso) y Bonami, Demange y Jaming [70] para el caso general. Tenga en cuenta que la versión de Hörmander-Beurling implica el caso ab > 1 en el teorema de Hardy, mientras que la versión de Bonami-Demange-Jaming cubre toda la fuerza del teorema de Hardy. Una prueba diferente del teorema de Beurling basada en el teorema de Liouville apareció en la ref. [71]
Una descripción completa del caso ab <1 así como la siguiente extensión de las distribuciones de clases de Schwartz aparece en la ref. [72]
Teorema. Si una distribución templada es tal que
y
luego
para algún polinomio P conveniente y una matriz definida positiva real A de tipo d × d .
Historia
Werner Heisenberg formuló el principio de incertidumbre en el instituto Niels Bohr en Copenhague, mientras trabajaba en los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. [73]
En 1925, tras un trabajo pionero con Hendrik Kramers , Heisenberg desarrolló la mecánica matricial , que reemplazó la vieja teoría cuántica ad hoc por la mecánica cuántica moderna. La premisa central era que el concepto clásico de movimiento no encaja en el nivel cuántico, ya que los electrones de un átomo no viajan en órbitas claramente definidas. Más bien, su movimiento se difumina de una manera extraña: la transformada de Fourier de su dependencia del tiempo solo involucra aquellas frecuencias que podrían observarse en los saltos cuánticos de su radiación.
El artículo de Heisenberg no admitía cantidades inobservables como la posición exacta del electrón en una órbita en ningún momento; sólo permitió que el teórico hablara sobre los componentes de Fourier del movimiento. Dado que los componentes de Fourier no se definieron en las frecuencias clásicas, no se pudieron usar para construir una trayectoria exacta , por lo que el formalismo no pudo responder a ciertas preguntas demasiado precisas sobre dónde estaba el electrón o qué tan rápido iba.
En marzo de 1926, trabajando en el instituto de Bohr, Heisenberg se dio cuenta de que la no conmutatividad implica el principio de incertidumbre. Esta implicación proporcionó una interpretación física clara de la no conmutatividad y sentó las bases de lo que se conoció como la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Heisenberg mostró que la relación de conmutación implica una incertidumbre o, en el lenguaje de Bohr, una complementariedad . [74] Dos variables cualesquiera que no conmuten no se pueden medir simultáneamente; cuanto más precisamente se conoce una, con menor precisión se puede conocer la otra. Heisenberg escribió:
Puede expresarse en su forma más simple de la siguiente manera: uno nunca puede conocer con perfecta precisión estos dos factores importantes que determinan el movimiento de una de las partículas más pequeñas: su posición y su velocidad. Es imposible determinar con precisión tanto la posición como la dirección y la velocidad de una partícula en el mismo instante . [75]
En su célebre artículo de 1927, "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("Sobre el contenido perceptual de la cinemática y mecánica teóricas cuánticas"), Heisenberg estableció esta expresión como la cantidad mínima de perturbación inevitable del impulso causada por cualquier medición de posición, [2] pero no dio una definición precisa de las incertidumbres Δx y Δp. En cambio, dio algunas estimaciones plausibles en cada caso por separado. En su conferencia de Chicago [76] refinó su principio:
(1)
Kennard [3] en 1927 demostró por primera vez la desigualdad moderna:
(2)
donde ħ =h/2 π, y σ x , σ p son las desviaciones estándar de posición y momento. Heisenberg solo demostró la relación ( 2 ) para el caso especial de los estados gaussianos. [76]
Terminología y traducción
A lo largo del cuerpo principal de su artículo original de 1927, escrito en alemán, Heisenberg usó la palabra "Ungenauigkeit" ("indeterminación"), [2] para describir el principio teórico básico. Solo en la nota al final cambió a la palabra "Unsicherheit" ("incertidumbre"). Sin embargo, cuando se publicó la versión en inglés del libro de texto de Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , en 1930, se utilizó la traducción "incertidumbre", y a partir de entonces se convirtió en el término más comúnmente utilizado en el idioma inglés. [77]
Microscopio de heisenberg
El principio es bastante contrario a la intuición, por lo que los primeros estudiantes de la teoría cuántica tuvieron que estar seguros de que las medidas ingenuas para violarlo siempre serían inviables. Una forma en que Heisenberg ilustró originalmente la imposibilidad intrínseca de violar el principio de incertidumbre es utilizando el efecto de observador de un microscopio imaginario como dispositivo de medición. [76]
Se imagina a un experimentador tratando de medir la posición y el impulso de un electrón disparándole un fotón . [78] : 49–50
- Problema 1: si el fotón tiene una longitud de onda corta y, por lo tanto, una gran cantidad de movimiento, la posición se puede medir con precisión. Pero el fotón se dispersa en una dirección aleatoria, transfiriendo una gran e incierta cantidad de impulso al electrón. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y un impulso bajo, la colisión no perturba mucho el impulso del electrón, pero la dispersión revelará su posición solo vagamente.
- Problema 2: si se utiliza una gran apertura para el microscopio, la ubicación del electrón puede resolverse bien (consulte el criterio de Rayleigh ); pero por el principio de conservación de la cantidad de movimiento , la cantidad de movimiento transversal del fotón entrante afecta la cantidad de movimiento de la línea de luz del electrón y, por lo tanto, la nueva cantidad de movimiento del electrón se resuelve mal. Si se usa una pequeña apertura, la precisión de ambas resoluciones es al revés.
La combinación de estas compensaciones implica que, independientemente de la longitud de onda del fotón y el tamaño de apertura que se utilicen, el producto de la incertidumbre en la posición medida y el momento medido es mayor o igual a un límite inferior, que es (hasta un pequeño factor numérico ) igual a la constante de Planck . [79] A Heisenberg no le importó formular el principio de incertidumbre como un límite exacto, y prefirió usarlo en su lugar, como un enunciado cuantitativo heurístico, correcto hasta pequeños factores numéricos, lo que hace inevitable la radicalmente nueva no conmutatividad de la mecánica cuántica.
Reacciones críticas
La interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg fueron, de hecho, vistos como objetivos gemelos por detractores que creían en un determinismo y realismo subyacentes . Según la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, no existe una realidad fundamental que describa el estado cuántico , solo una receta para calcular los resultados experimentales. No hay forma de decir cuál es fundamentalmente el estado de un sistema, solo cuál podría ser el resultado de las observaciones.
Albert Einstein creía que la aleatoriedad es un reflejo de nuestra ignorancia de alguna propiedad fundamental de la realidad, mientras que Niels Bohr creía que las distribuciones de probabilidad son fundamentales e irreductibles, y dependen de las medidas que elijamos realizar. Einstein y Bohr debatieron el principio de incertidumbre durante muchos años.
El ideal del observador desapegado
Wolfgang Pauli llamó a la objeción fundamental de Einstein al principio de incertidumbre "el ideal del observador imparcial" (frase traducida del alemán):
"Como la luna tiene una posición definida" me dijo Einstein el invierno pasado, "miremos o no la luna, lo mismo debe ser válido también para los objetos atómicos, ya que no es posible una distinción clara entre estos y los objetos macroscópicos. Observación no puede crear un elemento de la realidad como una posición, debe haber algo contenido en la descripción completa de la realidad física que corresponda a la posibilidad de observar una posición, ya antes de que la observación se haya hecho realmente ". Espero haber citado a Einstein correctamente; Siempre es difícil citar a alguien de memoria con quien no se está de acuerdo. Es precisamente este tipo de postulado lo que llamo el ideal del observador desapegado.
- Carta de Pauli a Niels Bohr, 15 de febrero de 1955 [80]
La rendija de Einstein
El primero de los experimentos mentales de Einstein que desafió el principio de incertidumbre fue el siguiente:
- Considere una partícula que pasa por una rendija de ancho d . La rendija introduce una incertidumbre en el momento de aproximadamente h/Dporque la partícula atraviesa la pared. Pero determinemos el impulso de la partícula midiendo el retroceso de la pared. Al hacerlo, encontramos la cantidad de movimiento de la partícula con precisión arbitraria mediante la conservación de la cantidad de movimiento.
La respuesta de Bohr fue que la pared también es mecánica cuántica, y que para medir el retroceso con precisión Δ p , el momento de la pared debe conocerse con esta precisión antes de que la partícula pase. Esto introduce una incertidumbre en la posición de la pared y, por lo tanto, la posición de la ranura es igual ah/Δ p, y si el impulso de la pared se conoce con suficiente precisión para medir el retroceso, la posición de la rendija es lo suficientemente incierta como para no permitir una medición de posición.
Richard Feynman ofrece un análisis similar con partículas que se difractan a través de múltiples rendijas . [81]
Caja de Einstein
Bohr estuvo presente cuando Einstein propuso el experimento mental que se conoce como la caja de Einstein . Einstein argumentó que "la ecuación de incertidumbre de Heisenberg implicaba que la incertidumbre en el tiempo estaba relacionada con la incertidumbre en la energía, el producto de los dos estaba relacionado con la constante de Planck ". [82] Considere, dijo, una caja ideal, forrada con espejos para que pueda contener luz indefinidamente. La caja se podía pesar antes de que un mecanismo de relojería abriera un obturador ideal en un instante elegido para permitir que un solo fotón escapara. "Ahora sabemos, explicó Einstein, precisamente el momento en que el fotón salió de la caja". [83] "Ahora, pese la caja de nuevo. El cambio de masa indica la energía de la luz emitida. De esta manera, dijo Einstein, se podría medir la energía emitida y el tiempo en que se liberó con la precisión deseada, en contradicción con el principio de incertidumbre ". [82]
Bohr pasó una noche sin dormir considerando este argumento y finalmente se dio cuenta de que tenía fallas. Señaló que si la caja se pesara, digamos con un resorte y un puntero en una balanza, "dado que la caja debe moverse verticalmente con un cambio en su peso, habrá incertidumbre en su velocidad vertical y por lo tanto una incertidumbre en su altura sobre la mesa ... Además, la incertidumbre sobre la elevación sobre la superficie de la Tierra resultará en una incertidumbre en la velocidad del reloj, " [84] debido a la propia teoría de Einstein del efecto de la gravedad en el tiempo . "A través de esta cadena de incertidumbres, Bohr demostró que el experimento de la caja de luz de Einstein no podía medir exactamente tanto la energía del fotón como el tiempo de su escape". [85]
Paradoja de EPR para partículas enredadas
Bohr se vio obligado a modificar su comprensión del principio de incertidumbre después de otro experimento mental de Einstein. En 1935, Einstein, Podolsky y Rosen (ver la paradoja de EPR ) publicaron un análisis de partículas entrelazadas muy separadas . Einstein se dio cuenta de que medir una partícula alteraría la distribución de probabilidad de la otra, pero aquí no es posible que la otra partícula se altere. Este ejemplo llevó a Bohr a revisar su comprensión del principio, concluyendo que la incertidumbre no fue causada por una interacción directa. [86]
Pero Einstein llegó a conclusiones de mucho mayor alcance a partir del mismo experimento mental. Creía en el "supuesto básico natural" de que una descripción completa de la realidad tendría que predecir los resultados de los experimentos a partir de "cantidades deterministas que cambian localmente" y, por tanto, tendría que incluir más información que la máxima posible permitida por el principio de incertidumbre.
En 1964, John Bell demostró que este supuesto puede ser falsificado, ya que implicaría una cierta desigualdad entre las probabilidades de diferentes experimentos. Los resultados experimentales confirman las predicciones de la mecánica cuántica, descartando el supuesto básico de Einstein que lo llevó a la sugerencia de sus variables ocultas . Estas variables ocultas pueden estar "ocultas" debido a una ilusión que se produce durante las observaciones de objetos que son demasiado grandes o demasiado pequeños. Esta ilusión se puede comparar con las aspas de un ventilador giratorio que parecen aparecer y desaparecer en diferentes lugares y, a veces, parecen estar en el mismo lugar al mismo tiempo cuando se observan. Esta misma ilusión se manifiesta en la observación de partículas subatómicas. Tanto las aspas del ventilador como las partículas subatómicas se mueven tan rápido que el observador ve la ilusión. Por lo tanto, es posible que el comportamiento y las características de las partículas subatómicas sean predecibles para un dispositivo de grabación capaz de realizar un seguimiento de muy alta velocidad ... Irónicamente, este hecho es una de las mejores pruebas que respaldan la filosofía de invalidación de Karl Popper . de una teoría mediante experimentos de falsificación . Es decir, aquí el "supuesto básico" de Einstein se vio falsificado por experimentos basados en las desigualdades de Bell . Para las objeciones de Karl Popper a la desigualdad de Heisenberg en sí, ver más abajo.
Si bien es posible suponer que las predicciones de la mecánica cuántica se deben a variables ocultas no locales y, de hecho, David Bohm inventó tal formulación, esta resolución no es satisfactoria para la gran mayoría de los físicos. La cuestión de si un resultado aleatorio está predeterminado por una teoría no local puede ser filosófica y potencialmente intratable. Si las variables ocultas no estuvieran restringidas, podrían ser simplemente una lista de dígitos aleatorios que se utilizan para producir los resultados de la medición. Para hacerlo más sensato, la suposición de variables ocultas no locales a veces se ve aumentada por una segunda suposición: que el tamaño del universo observable pone un límite a los cálculos que estas variables pueden hacer. Una teoría no local de este tipo predice que una computadora cuántica encontraría obstáculos fundamentales al intentar factorizar números de aproximadamente 10,000 dígitos o más; una tarea potencialmente alcanzable en mecánica cuántica. [87] [ se necesita cita completa ]
La crítica de Popper
Karl Popper abordó el problema de la indeterminación como lógico y realista metafísico . [88] No estaba de acuerdo con la aplicación de las relaciones de incertidumbre a partículas individuales en lugar de conjuntos de partículas preparadas de forma idéntica, refiriéndose a ellas como "relaciones de dispersión estadísticas". [88] [89] En esta interpretación estadística, se puede realizar una medición particular con precisión arbitraria sin invalidar la teoría cuántica. Esto contrasta directamente con la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, que no es determinista pero carece de variables ocultas locales.
En 1934, Popper publicó Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ( Crítica de las relaciones de incertidumbre ) en Naturwissenschaften , [90] y en el mismo año Logik der Forschung (traducido y actualizado por el autor como La lógica del descubrimiento científico en 1959), esbozando sus argumentos para la interpretación estadística. En 1982, desarrolló aún más su teoría en la teoría cuántica y el cisma en la física , escribiendo:
Las fórmulas [de Heisenberg] son, sin lugar a dudas, fórmulas estadísticas derivables de la teoría cuántica. Pero han sido habitualmente mal interpretados por aquellos teóricos cuánticos que decían que estas fórmulas pueden interpretarse como determinantes de algún límite superior a la precisión de nuestras medidas . [énfasis original] [91]
Popper propuso un experimento para falsificar las relaciones de incertidumbre, aunque luego retiró su versión inicial después de discusiones con Weizsäcker , Heisenberg y Einstein ; este experimento puede haber influido en la formulación del experimento EPR . [88] [92]
Incertidumbre de muchos mundos
La interpretación de los muchos mundos esbozada originalmente por Hugh Everett III en 1957 está destinada en parte a reconciliar las diferencias entre los puntos de vista de Einstein y Bohr reemplazando el colapso de la función de onda de Bohr con un conjunto de universos deterministas e independientes cuya distribución está gobernada por funciones de onda y la ecuación de Schrödinger . Por lo tanto, la incertidumbre en la interpretación de los muchos mundos se deriva de que cada observador dentro de cualquier universo no tenga conocimiento de lo que sucede en los otros universos.
Libre albedrío
Algunos científicos, incluidos Arthur Compton [93] y Martin Heisenberg [94], han sugerido que el principio de incertidumbre, o al menos la naturaleza probabilística general de la mecánica cuántica, podría ser una prueba del modelo de dos etapas del libre albedrío. Sin embargo, una crítica es que, aparte del papel básico de la mecánica cuántica como base de la química, es poco probable que haya mecanismos biológicos no triviales que requieran mecánica cuántica , debido al rápido tiempo de decoherencia de los sistemas cuánticos a temperatura ambiente. [95] Los defensores de esta teoría suelen decir que esta decoherencia se supera mediante el cribado y los subespacios libres de decoherencia que se encuentran en las células biológicas. [95]
Termodinámica
Hay razones para creer que violar el principio de incertidumbre también implica fuertemente la violación de la segunda ley de la termodinámica . [96] Véase la paradoja de Gibbs .
Ver también
- Experimento afshar
- Relación de conmutación canónica
- Principio de correspondencia
- Reglas de correspondencia
- Teorema de no apretar de Gromov
- Transformada discreta de Fourier # Principio de incertidumbre
- Los experimentos mentales de Einstein
- Heisenbug
- Introducción a la mecánica cuántica
- Principio de incertidumbre de Küpfmüller
- Operacionalización
- Efecto observador (tecnología de la información)
- Efecto observador (física)
- Indeterminación cuántica
- No equilibrio cuántico
- Túneles cuánticos
- Física y más allá (libro)
- longitud de Planck
- Relaciones de incertidumbre más fuertes
- Medida débil
Notas
- ^ NB sobre precisión : Si y son las precisiones de posición e impulso obtenidas en una medición individual y, sus desviaciones estándar en un conjunto de mediciones individuales en sistemas preparados de manera similar, entonces " En principio, no hay restricciones en la precisión de las mediciones individuales y , pero las desviaciones estándar siempre satisfarán ". [11]
- ↑ La Nota 1 está en clara contradicción con la Sección Errores sistemáticos y estadísticos que establece la existencia de relaciones de incertidumbre tanto estadísticas (Robertson) como sistemáticas (Heisenberg). Estas incertidumbres se expresan simultáneamente en las desigualdades universales de Ozawa o Fujikawa.
Referencias
- ↑ a b c Sen, D. (2014). "Las relaciones de incertidumbre en la mecánica cuántica" (PDF) . Ciencia actual . 107 (2): 203–218.
- ^ a b c Heisenberg, W. (1927), "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik", Zeitschrift für Physik (en alemán), 43 (3-4): 172-198, Bibcode : 1927ZPhy ... 43..172H , doi : 10.1007 / BF01397280 , S2CID 122763326 .. Hoja de prueba antes de la publicación anotada de Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , 21 de marzo de 1927.
- ^ a b c Kennard, EH (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (en alemán), 44 (4–5): 326–352, Bibcode : 1927ZPhy ... 44..326K , doi : 10.1007 / BF01391200 , S2CID 121626384 .
- ^ Weyl, H. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik , Leipzig: Hirzel
- ^ Furuta, Aya (2012), "Una cosa es cierta: el principio de incertidumbre de Heisenberg no ha muerto" , Scientific American
- ^ a b Ozawa, Masanao (2003), "Reformulación universalmente válida del principio de incertidumbre de Heisenberg sobre ruido y perturbaciones en la medición", Physical Review A , 67 (4): 42105, arXiv : quant-ph / 0207121 , Bibcode : 2003PhRvA..67d2105O , doi : 10.1103 / PhysRevA.67.042105 , S2CID 42012188
- ^ Werner Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , p. 20
- ^ a b Rozema, LA; Darabi, A .; Mahler, DH; Hayat, A .; Soudagar, Y .; Steinberg, AM (2012). "Violación de la relación de medición-perturbación de Heisenberg por mediciones débiles". Cartas de revisión física . 109 (10): 100404. arXiv : 1208.0034v2 . Código bibliográfico : 2012PhRvL.109j0404R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.109.100404 . PMID 23005268 . S2CID 37576344 .
- ^ Instituto Indio de Tecnología de Madrás, Profesor V. Balakrishnan, Conferencia 1 - Introducción a la física cuántica; Principio de incertidumbre de Heisenberg, Programa Nacional de Aprendizaje Mejorado de Tecnología en YouTube
- ^ a b c d LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) Copia en línea . - ^ Sección 3.2 de Ballentine, Leslie E. (1970), "The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics" , Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Bibcode : 1970RvMP ... 42..358B , doi : 10.1103 / RevModPhys.42.358. Este hecho es bien conocido experimentalmente, por ejemplo, en óptica cuántica (ver, por ejemplo, el capítulo 2 y la figura 2.1 Leonhardt, Ulf (1997), Midiendo el estado cuántico de la luz , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49730-2
- ^ Elion, WJ; Materias, M .; Geigenmüller, U .; Mooij, JE (1994), "Demostración directa del principio de incertidumbre de Heisenberg en un superconductor", Nature , 371 (6498): 594–595, Bibcode : 1994Natur.371..594E , doi : 10.1038 / 371594a0 , S2CID 4240085
- ^ Smithey, DT; M. Beck, J. Cooper, MG Raymer; Cooper, J .; Raymer, MG (1993), "Medición de las relaciones de incertidumbre de fase de los campos ópticos", Phys. Rev. A , 48 (4): 3159–3167, Bibcode : 1993PhRvA..48.3159S , doi : 10.1103 / PhysRevA.48.3159 , PMID 9909968CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Caves, Carlton (1981), "Ruido mecánico-cuántico en un interferómetro", Phys. Rev. D , 23 (8): 1693-1708, Bibcode : 1981PhRvD..23.1693C , doi : 10.1103 / PhysRevD.23.1693
- ^ Jaeger, Gregg (septiembre de 2014). "¿Qué en el mundo (cuántico) es macroscópico?". Revista estadounidense de física . 82 (9): 896–905. Código bibliográfico : 2014AmJPh..82..896J . doi : 10.1119 / 1.4878358 .
- ^ Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996), Mecánica cuántica , Wiley-Interscience: Wiley, págs. 231-233, ISBN 978-0-471-56952-7
- ^ Giovannetti, V .; Lloyd, S .; Maccone, L. (2011). "Avances en metrología cuántica". Nature Photonics . 5 (4): 222. arXiv : 1102.2318 . Código Bibliográfico : 2011NaPho ... 5..222G . doi : 10.1038 / nphoton.2011.35 . S2CID 12591819 .; arXiv
- ^ Luis, Alfredo (13 de marzo de 2017). "Rompiendo el límite débil de Heisenberg". Physical Review A . 95 (3): 032113. arXiv : 1607.07668 . Código bibliográfico : 2017PhRvA..95c2113L . doi : 10.1103 / PhysRevA.95.032113 . ISSN 2469-9926 . S2CID 55838380 .
- ^ a b Robertson, HP (1929), "El principio de incertidumbre", Phys. Rev. , 34 (1): 163–64, Bibcode : 1929PhRv ... 34..163R , doi : 10.1103 / PhysRev.34.163
- ^ a b Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch- mathische Klasse , 14 : 296-303
- ^ a b Griffiths, David (2005), Mecánica cuántica , Nueva Jersey: Pearson
- ^ Riley, KF; MP Hobson y SJ Bence (2006), Métodos matemáticos para la física y la ingeniería , Cambridge, p. 246
- ^ Davidson, ER (1965), "Sobre las derivaciones del principio de incertidumbre", J. Chem. Phys. , 42 (4): 1461–1462, Bibcode : 1965JChPh..42.1461D , doi : 10.1063 / 1.1696139
- ^ a b c Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 245
- ^ a b Jackiw, Roman (1968), "Producto de incertidumbre mínima, producto de incertidumbre de fase numérica y estados coherentes", J. Math. Phys. , 9 (3): 339–346, Bibcode : 1968JMP ..... 9..339J , doi : 10.1063 / 1.1664585
- ^ a b Carruthers, P .; Nieto, MM (1968), "Variables de fase y ángulo en Mecánica Cuántica", Rev. Mod. Phys. , 40 (2): 411–440, Bibcode : 1968RvMP ... 40..411C , doi : 10.1103 / RevModPhys.40.411
- ^ Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer
- ^ Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 de diciembre de 2014). "Relaciones de incertidumbre más fuertes para todos los observables incompatibles". Cartas de revisión física . 113 (26): 260401. arXiv : 1407.0338 . Código Bibliográfico : 2014PhRvL.113z0401M . doi : 10.1103 / PhysRevLett.113.260401 . PMID 25615288 .
- ^ Huang, Yichen (10 de agosto de 2012). "Relaciones de incertidumbre basadas en la varianza". Physical Review A . 86 (2): 024101. arXiv : 1012.3105 . Código bibliográfico : 2012PhRvA..86b4101H . doi : 10.1103 / PhysRevA.86.024101 . S2CID 118507388 .
- ^ Curtright, T .; Zachos, C. (2001). "Relaciones de incertidumbre y probabilidad negativa". Modern Physics Letters A . 16 (37): 2381-2385. arXiv : hep-th / 0105226 . Código Bibliográfico : 2001MPLA ... 16.2381C . doi : 10.1142 / S021773230100576X . S2CID 119669313 .
- ^ LI Mandelshtam, IE Tamm, La relación de incertidumbre entre la energía y el tiempo en la mecánica cuántica no relativista , 1945.
- ^ Hilgevoord, Jan (1996). "El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo" (PDF) . Revista estadounidense de física . 64 (12): 1451-1456. Código Bibliográfico : 1996AmJPh..64.1451H . doi : 10.1119 / 1.18410 .; Hilgevoord, Jan (1998). "El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo. II". Revista estadounidense de física . 66 (5): 396–402. Código Bibliográfico : 1998AmJPh..66..396H . doi : 10.1119 / 1.18880 .; Busch, P. (1990). "Sobre la relación energía-tiempo de incertidumbre. Parte I: Tiempo dinámico e indeterminación del tiempo", Fundamentos de la física 20 (1), 1-32; Busch, P. (1990), "Sobre la relación energía-tiempo de incertidumbre. Parte II: Tiempo pragmático versus indeterminación energética". Fundamentos de la física 20 (1), 33-43.
- ^ El amplio ancho de línea de los estados de descomposición rápida hace que sea difícil medir con precisión la energía del estado, e incluso los investigadores han utilizado cavidades de microondas desafinadas para ralentizar la tasa de descomposición y obtener picos más nítidos. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985), "Observación de la emisión espontánea inhibida", Physical Review Letters , 55 (1): 67–70, Bibcode : 1985PhRvL..55 ... 67G , doi : 10.1103 / PhysRevLett.55.67 , PMID 10031682
- ^ Likharev, KK; AB Zorin (1985), "Teoría de las oscilaciones de ondas de Bloch en uniones pequeñas de Josephson", J. Low Temp. Phys. , 59 (3/4): 347–382, Bibcode : 1985JLTP ... 59..347L , doi : 10.1007 / BF00683782 , S2CID 120813342
- ^ Anderson, PW (1964), "Efectos especiales en la superconductividad", en Caianiello, ER (ed.), Conferencias sobre el problema de muchos cuerpos, vol. 2 , Nueva York: Academic Press
- ^ Más precisamente, siempre que ambos y están definidos, y el espacio de tales es un subespacio denso del espacio cuántico de Hilbert. Ver Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 245
- ^ Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 285
- ^ Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 246
- ^ Busch, P .; Lahti, P .; Werner, RF (2013). "Prueba de la relación error-perturbación de Heisenberg". Cartas de revisión física . 111 (16): 160405. arXiv : 1306,1565 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111p0405B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.111.160405 . PMID 24182239 . S2CID 24507489 .
- ^ Busch, P .; Lahti, P .; Werner, RF (2014). "Incertidumbre de Heisenberg para medidas de qubit". Physical Review A . 89 (1): 012129. arXiv : 1311.0837 . Código Bibliográfico : 2014PhRvA..89a2129B . doi : 10.1103 / PhysRevA.89.012129 . S2CID 118383022 .
- ^ Erhart, J .; Sponar, S .; Sulyok, G .; Badurek, G .; Ozawa, M .; Hasegawa, Y. (2012). "Demostración experimental de una relación de incertidumbre error-perturbación universalmente válida en mediciones de espín". Física de la naturaleza . 8 (3): 185–189. arXiv : 1201.1833 . Código Bibliográfico : 2012NatPh ... 8..185E . doi : 10.1038 / nphys2194 . S2CID 117270618 .
- ^ Baek, S.-Y .; Kaneda, F .; Ozawa, M .; Edamatsu, K. (2013). "Violación experimental y reformulación de la relación de incertidumbre error-perturbación de Heisenberg" . Informes científicos . 3 : 2221. Bibcode : 2013NatSR ... 3E2221B . doi : 10.1038 / srep02221 . PMC 3713528 . PMID 23860715 .
- ^ Ringbauer, M .; Biggerstaff, DN; Broome, MA; Fedrizzi, A .; Branciard, C .; White, AG (2014). "Medidas cuánticas conjuntas experimentales con mínima incertidumbre". Cartas de revisión física . 112 (2): 020401. arXiv : 1308.5688 . Código Bibliográfico : 2014PhRvL.112b0401R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.112.020401 . PMID 24483993 . S2CID 18730255 .
- ^ Björk, G .; Söderholm, J .; Trifonov, A .; Tsegaye, T .; Karlsson, A. (1999). "Complementariedad y relaciones de incertidumbre". Revisión física . A60 (3): 1878. arXiv : quant-ph / 9904069 . Código Bibliográfico : 1999PhRvA..60.1874B . doi : 10.1103 / PhysRevA.60.1874 . S2CID 27371899 .
- ^ Fujikawa, Kazuo (2012). "Relación de incertidumbre de Heisenberg universalmente válida". Physical Review A . 85 (6): 062117. arXiv : 1205.1360 . Código bibliográfico : 2012PhRvA..85f2117F . doi : 10.1103 / PhysRevA.85.062117 . S2CID 119640759 .
- ^ Judge, D. (1964), "Sobre la relación de incertidumbre para variables angulares", Il Nuovo Cimento , 31 (2): 332–340, Bibcode : 1964NCim ... 31..332J , doi : 10.1007 / BF02733639 , S2CID 120553526
- ^ Bouten, M .; Maene, N .; Van Leuven, P. (1965), "Sobre una relación de incertidumbre para variables angulares", Il Nuovo Cimento , 37 (3): 1119–1125, Bibcode : 1965NCim ... 37.1119B , doi : 10.1007 / BF02773197 , S2CID 122838645
- ^ Louisell, WH (1963), "Relaciones de incertidumbre de fase y amplitud", Physics Letters , 7 (1): 60–61, Bibcode : 1963PhL ..... 7 ... 60L , doi : 10.1016 / 0031-9163 (63 ) 90442-6
- ^ DeWitt, BS; Graham, N. (1973), The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics , Princeton: Princeton University Press, págs. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
- ^ Hirschman, II, Jr. (1957), "Una nota sobre la entropía", American Journal of Mathematics , 79 (1): 152-156, doi : 10.2307 / 2372390 , JSTOR 2372390 .
- ^ Beckner, W. (1975), "Desigualdades en el análisis de Fourier", Annals of Mathematics , 102 (6): 159-182, doi : 10.2307 / 1970980 , JSTOR 1970980 , PMC 432369 , PMID 16592223 .
- ^ Bialynicki-Birula, I .; Mycielski, J. (1975), "Relaciones de incertidumbre para la entropía de la información en la mecánica ondulatoria", Communications in Mathematical Physics , 44 (2): 129-132, Bibcode : 1975CMaPh..44..129B , doi : 10.1007 / BF01608825 , S2CID 122277352
- ^ Huang, Yichen (24 de mayo de 2011). "Relaciones de incertidumbre entrópica en espacios multidimensionales de posición y momento". Physical Review A . 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Código Bibliográfico : 2011PhRvA..83e2124H . doi : 10.1103 / PhysRevA.83.052124 . S2CID 119243096 .
- ^ Chafaï, D. (2003), "Máximo de entropía gaussiano y desigualdad log-Sobolev invertida", Séminaire de Probabilités XXXVI , Lecture Notes in Mathematics, 1801 , págs. 194-200, arXiv : math / 0102227 , doi : 10.1007 / 978 -3-540-36107-7_5 , ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603
- ^ Efimov, Sergei P. (1976). "Formulación matemática de relaciones de indeterminación". Revista rusa de física . 19 (3): 95–99. Código Bibliográfico : 1976SvPhJ..19..340E . doi : 10.1007 / BF00945688 . S2CID 121735555 .
- ^ Dodonov, VV (2019). "Relaciones de incertidumbre para varios observables a través de las álgebras de Clifford" . Journal of Physics: Serie de conferencias . 1194 012028 (1): 012028. Código bibliográfico : 2019JPhCS1194a2028D . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 1194/1/012028 .
- ^ a b Dodonov, VV (2018). "Relaciones de incertidumbre de varianza sin covarianzas para tres y cuatro observables". Physical Review A . 37 (2): 022105. arXiv : 1711.04037 . Código Bibliográfico : 2018PhRvA..97b2105D . doi : 10.1103 / PhysRevA.97.022105 . S2CID 119510331 .
- ^ Havin, V .; Jöricke, B. (1994), El principio de incertidumbre en el análisis armónico , Springer-Verlag
- ^ Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (mayo de 1997), "The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey", Journal of Fourier Analysis and Applications , 3 (3): 207-238, doi : 10.1007 / BF02649110 , MR 1448337 , S2CID 121355943
- ^ Sitaram, A (2001) [1994], "Principio de incertidumbre, matemático" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ Matt Hall, "¿Qué es el principio de incertidumbre de Gabor?"
- ^ Donoho, DL; Stark, PB (1989). "Principios de incertidumbre y recuperación de señales". Revista SIAM de Matemática Aplicada . 49 (3): 906–931. doi : 10.1137 / 0149053 .
- ^ Terence Tao (2005), "Un principio de incertidumbre para grupos cíclicos de primer orden" , Mathematical Research Letters , 12 (1): 121-127
- ^ Amrein, WO; Berthier, AM (1977), "Sobre las propiedades de soporte de las funciones L p y sus transformadas de Fourier", Journal of Functional Analysis , 24 (3): 258-267, doi : 10.1016 / 0022-1236 (77) 90056-8 .
- ^ Benedicks, M. (1985), "Sobre transformadas de Fourier de funciones apoyadas en conjuntos de medidas finitas de Lebesgue", J. Math. Anal. Apl. , 106 (1): 180–183, doi : 10.1016 / 0022-247X (85) 90140-4
- ^ Nazarov, F. (1994), "Estimaciones locales de polinomios exponenciales y sus aplicaciones a las desigualdades del tipo de principio de incertidumbre", St. Petersburg Math. J. , 5 : 663–717
- ^ Jaming, Ph. (2007), "Principios de incertidumbre de Nazarov en una dimensión superior", J. Aprox. Teoría , 149 (1): 30–41, arXiv : math / 0612367 , doi : 10.1016 / j.jat.2007.04.005 , S2CID 9794547
- ^ Hardy, GH (1933), "Un teorema sobre las transformadas de Fourier", Journal of the London Mathematical Society , 8 (3): 227-231, doi : 10.1112 / jlms / s1-8.3.227
- ^ Hörmander, L. (1991), "Un teorema de unicidad de Beurling para pares de transformadas de Fourier", Ark. Mat. , 29 (1–2): 231–240, Bibcode : 1991ArM .... 29..237H , doi : 10.1007 / BF02384339 , S2CID 121375111
- ^ Bonami, A .; Demange, B .; Jaming, Ph. (2003), "Funciones de Hermite y principios de incertidumbre para las transformadas de Fourier y de Fourier en ventana", Rev. Mat. Iberoamericana , 19 : 23–55, arXiv : math / 0102111 , Bibcode : 2001math ...... 2111B , doi : 10.4171 / RMI / 337 , S2CID 1211391
- ^ Hedenmalm, H. (2012), "Principio de incertidumbre de Heisenberg en el sentido de Beurling", J. Anal. Matemáticas. , 118 (2): 691–702, arXiv : 1203.5222 , Bibcode : 2012arXiv1203.5222H , doi : 10.1007 / s11854-012-0048-9 , S2CID 54533890
- ^ Demange, Bruno (2009), Principios de incertidumbre asociados a formas cuadráticas no degeneradas , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
- ^ "Exposición en línea de Heisenberg / Incertidumbre" . Instituto Americano de Física, Centro de Historia de la Física . Consultado el 16 de octubre de 2019 .
- ^ Bohr, Niels; Noll, Waldemar (1958), "Atomic Physics and Human Knowledge", American Journal of Physics , Nueva York: Wiley, 26 (8): 38, Bibcode : 1958AmJPh..26..596B , doi : 10.1119 / 1.1934707
- ^ Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne , Taylor y Francis, 1952, p. 30.
- ^ a b c Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (en alemán), Leipzig: HirzelTraducción al inglés Los principios físicos de la teoría cuántica . Chicago: University of Chicago Press, 1930.
- ^ Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), "Más allá de la incertidumbre: Heisenberg, la física cuántica y la bomba", Physics Today , Nueva York: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode : 2010PhT .... 63a .. 49C , doi : 10.1063 / 1.3293416
- ^ George Greenstein; Arthur Zajonc (2006). El desafío cuántico: investigación moderna sobre los fundamentos de la mecánica cuántica . Jones y Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
- ^ Tipler, Paul A .; Llewellyn, Ralph A. (1999), "5-5", Modern Physics (3ª ed.), WH Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1
- ^ Enz, Charles P .; Meyenn, Karl von, eds. (1994). Escritos sobre física y filosofía de Wolfgang Pauli . Springer-Verlag. pag. 43. ISBN 3-540-56859-X; traducido por Robert SchlappCS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Conferencias de Feynman sobre física, vol 3, 2–2
- ↑ a b Gamow, G., Los grandes físicos de Galileo a Einstein , Courier Dover, 1988, p.260.
- ^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad , Icon, 2009, p. 282.
- ^ Gamow, G., Los grandes físicos de Galileo a Einstein , Courier Dover, 1988, p. 260–261.
- ^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad , Icon, 2009, p. 287.
- ^ Isaacson, Walter (2007), Einstein: His Life and Universe , Nueva York: Simon & Schuster, p. 452 , ISBN 978-0-7432-6473-0
- ↑ Gerardus 't Hooft ha defendido en ocasiones este punto de vista.
- ^ a b c Popper, Karl (1959), La lógica del descubrimiento científico , Hutchinson & Co.
- ^ Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: una evaluación del centenario , 3 , Ashgate Publishing, ISBN 978-0-7546-5712-5
- ^ Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), "Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Crítica de las relaciones de incertidumbre)", Naturwissenschaften , 22 (48): 807–808, Bibcode : 1934NW ..... 22..807P , doi : 10.1007 / BF01496543 , S2CID 40843068 .
- ^ Popper, K. Teoría cuántica y el cisma en física , Unwin Hyman Ltd, 1982, págs. 53–54.
- ^ Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (2001), El desarrollo histórico de la teoría cuántica , Springer, ISBN 978-0-387-95086-0
- ^ Compton, AH (1931). "El principio de incertidumbre y el libre albedrío". Ciencia . 74 (1911): 172. Bibcode : 1931Sci .... 74..172C . doi : 10.1126 / science.74.1911.172 . PMID 17808216 .
- ^ Heisenberg, M. (2009). "¿Es el libre albedrío una ilusión?" . Naturaleza . 459 (7244): 164–165. Código Bibliográfico : 2009Natur.459..164H . doi : 10.1038 / 459164a . PMID 19444190 . S2CID 4420023 .
- ^ a b Davies, PCW (2004). "¿La mecánica cuántica juega un papel no trivial en la vida?". Biosistemas . 78 (1-3): 69-79. doi : 10.1016 / j.biosystems.2004.07.001 . PMID 15555759 .
- ^ Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). "Una violación del principio de incertidumbre implica una violación de la segunda ley de la termodinámica". Comunicaciones de la naturaleza . 4 : 1670. arXiv : 1205.6894 . Código Bibliográfico : 2013NatCo ... 4.1670H . doi : 10.1038 / ncomms2665 . PMID 23575674 . S2CID 205316392 .
enlaces externos
- "Principio de incertidumbre" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Matter as a Wave : un capítulo de un libro de texto en línea
- Mecánica cuántica: mitos y realidades
- Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
- Transformaciones de Fourier e incertidumbre en MathPages
- aip.org: Mecánica cuántica 1925–1927 - El principio de incertidumbre
- El mundo de la física de Eric Weisstein: principio de incertidumbre
- John Baez sobre la relación de incertidumbre tiempo-energía
- El principio de certeza
- Se demuestra que la interpretación común del principio de incertidumbre de Heisenberg es falsa