Unión (teoría de conjuntos)

Mathematical operation where sets combine or relate

Unión de dos conjuntos:
${\displaystyle ~A\cup B}$

Unión de tres conjuntos:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

La unión de A, B, C, D y E es todo excepto el área blanca.

En la teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. ^[1] Es una de las operaciones fundamentales mediante la cual los conjuntos se pueden combinar y relacionar entre sí. Aunión nular se refiere a una unión de conjuntos cero ( )${\displaystyle 0}$ y, por definición, es igual al conjunto vacío .

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B , o en ambos A y B . ^[2] En símbolos,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$. ^[3]

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A = { x es un número entero par mayor que 1}

B = { x es un número entero impar mayor que 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, porque 9 no es ni primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, ^{[3] [4]} por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. Las apariciones múltiples de elementos idénticos no tienen ningún efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

Propiedades algebraicas

La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para los conjuntos A , B y C ,

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$

Así, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como A ∪ B ∪ C . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden. ^[5] El conjunto vacío es un elemento de identidad para el funcionamiento de la unión. Es decir, un ∪ ∅ = A , para cualquier conjunto A. Además, la operación de unión es idempotente: A ∪ A = A . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica .

La intersección se distribuye sobre la unión

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

y la unión se distribuye sobre la intersección

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$^[2]

El conjunto de potencias de un conjunto U , junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación , es un álgebra booleana . En este álgebra de Boole, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula

${\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}$

donde el superíndice denota el complemento en el conjunto universal U .${\displaystyle {}^{\text{c}}}$

Uniones finitas

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C , y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y sólo si x está en al menos uno de A , B , y C .

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto de unión sea un conjunto finito . ^{[6] [7]}

Uniones arbitrarias

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinita . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y sólo si existe al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A . ^[8] En símbolos:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Esta idea incluye las secciones anteriores, por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión de la colección { A , B , C }. Además, si M es la colección vacía, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

Anotaciones

La notación del concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos, a menudo se escribe o . Varios notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen , , y . ^[9] La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección , donde I es un conjunto de índices y es un conjunto para cada . En el caso de que el conjunto índice I sea ​​el conjunto de números naturales , se utiliza la notación , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie. ^[8]${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\displaystyle \bigcup \mathbf {M} }$${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se representa con un tamaño mayor.

Codificación de notación

En Unicode, la unión está representada por el carácter U + 222A ∪ UNION . En TeX , se renderiza desde \ cup.${\displaystyle \cup }$

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• Alternancia (teoría del lenguaje formal) , la unión de conjuntos de cuerdas
• Axioma de unión
• Unión disjunta
• Intersección (teoría de conjuntos)
• Operación binaria iterada
• Lista de identidades y relaciones establecidas
• Teoría de conjuntos ingenua
• Diferencia simétrica

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Unión" . Mathworld de Wolfram. Archivado desde el original el 7 de febrero de 2009 . Consultado el 14 de julio de 2009 .
2. "Operaciones de conjunto | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuamente excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano" . www.probabilitycourse.com . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
3. Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (1 de enero de 2002). Teoría básica de conjuntos . American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.
4. deHaan, Lex; Koppelaars, Toon (25 de octubre de 2007). Matemáticas aplicadas para profesionales de bases de datos . Presione. ISBN 9781430203483.
5. Halmos, PR (27 de noviembre de 2013). Teoría de conjuntos ingenua . Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
6. Dasgupta, Abhijit (11 de diciembre de 2013). Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
7. "La unión finita de conjuntos finitos es finita - ProofWiki" . proofwiki.org . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2014 . Consultado el 29 de abril de 2018 .
8. Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (1 de agosto de 2014). Una transición a las matemáticas avanzadas . Aprendizaje Cengage. ISBN 9781285463261.
9. "Lista completa de símbolos de teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Unión (teoría de conjuntos) .

• "Unión de conjuntos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Unión e intersección infinitas en las leyes de ProvenMath De Morgan probadas formalmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

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