Unidad (teoría del anillo)

En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , una unidad de un anillo ${\displaystyle R}$ es cualquier elemento ${\displaystyle u\in R}$ que tiene un inverso multiplicativo en ${\displaystyle R}$: un elemento ${\displaystyle v\in R}$ tal que

${\displaystyle vu=uv=1}$,

donde 1 es la identidad multiplicativa . ^{[1] [2]} El conjunto de unidades U ( R ) de un anillo forma un grupo bajo multiplicación.

Con menos frecuencia, el término unidad también se usa para referirse al elemento 1 del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo de unidad , y también, por ejemplo , matriz de "unidad" . Por esta razón, algunos autores llaman 1 "unidad" o "identidad", y dicen que R es un "anillo con unidad" o un "anillo con identidad" en lugar de un "anillo con una unidad".

Ejemplos de

La identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo -1 son siempre unidades. De manera más general, cualquier raíz de la unidad en un anillo R es una unidad: si r ⁿ = 1 , entonces r ^{n  - 1} es un inverso multiplicativo de r . En un anillo distinto de cero , el elemento 0 no es una unidad, por lo que U ( R ) no se cierra bajo la suma. Un anillo R en el que cada elemento distinto de cero es una unidad (es decir, U ( R ) = R - {0} ) se llama anillo de división (o campo sesgado). Un anillo de división conmutativa se llama campo . Por ejemplo, el grupo de unidades del campo de números reales R es R - {0 }.

Enteros

En el anillo de los números enteros Z , las únicas unidades son 1 y -1 .

El anillo de números enteros en un campo numérico puede tener más unidades en general. Por ejemplo, en el anillo Z [1 + √ 5/ 2] que surge al unir el entero cuadrático 1 + √ 5/ 2a Z , uno tiene

( √ 5 + 2) ( √ 5 - 2) = 1

en el anillo, por lo que √ 5 + 2 es una unidad. (De hecho, el grupo unitario de este anillo es infinito. ^{[ Cita requerida ]} )

De hecho, el teorema de la unidad de Dirichlet describe la estructura de U ( R ) con precisión: es isomorfa a un grupo de la forma

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\oplus \mu _{R}}$

dónde ${\displaystyle \mu _{R}}$es el grupo (finito, cíclico) de raíces de unidad en R y n , el rango del grupo unitario es

${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$

dónde ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$son el número de incrustaciones reales y el número de pares de incrustaciones complejas de F , respectivamente.

Esto recupera el ejemplo anterior: el grupo unitario de (el anillo de enteros de) un campo cuadrático real es infinito de rango 1, ya que${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$.

En el anillo Z / n Z de enteros módulo n , las unidades son las clases de congruencia (mod n ) representados por números enteros primos entre sí a n . Constituyen el grupo multiplicativo de números enteros módulo n .

Polinomios y series de potencias

Para un anillo conmutativo R , las unidades del anillo polinomial R [ x ] son precisamente esos polinomios

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots a_{n}x^{n}}$

tal que ${\displaystyle a_{0}}$es una unidad en R , y los coeficientes restantes${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$son elementos nilpotentes , es decir, satisfacen${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$para algunos N . ^[3] En particular, si R es un dominio (no tiene divisores cero ), entonces las unidades de R [ x ] de acuerdo con los de R . Las unidades del anillo de la serie Power ${\displaystyle R[[x]]}$ son precisamente esas series de potencias

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$

tal que ${\displaystyle a_{0}}$es una unidad en R . ^[4]

Anillos de matriz

El grupo unitario del anillo M _n ( R ) de n  ×  n matrices sobre un anillo R es el grupo GL _n ( R ) de matrices invertibles . Para una conmutativa anillo R , un elemento A de M _n ( R ) es invertible si y sólo si el determinante de A es invertible en R . En ese caso, A ⁻¹ viene dado explícitamente por la regla de Cramer .

En general

Para los elementos de x y y en un anillo R , si${\displaystyle 1-xy}$ es invertible, entonces ${\displaystyle 1-yx}$ es invertible con la inversa ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$. ^[5] La fórmula para la inversa se puede adivinar, pero no probar, mediante el siguiente cálculo en un anillo de series de potencias no conmutativas:

${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$

Consulte la identidad de Hua para obtener resultados similares.

Grupo de unidades

Las unidades de un anillo R forman un grupo U ( R ) bajo la multiplicación, el grupo de unidades de R .

Otras notaciones comunes para U ( R ) son R ^∗ , R ^× y E ( R ) (del término alemán Einheit ).

Un anillo conmutativo es un anillo local si R - U ( R ) es un ideal máximo .

Resulta que si R - U ( R ) es un ideal, entonces es necesariamente un ideal máximo y R es local, ya que un ideal máximo es disjunto de U ( R ) .

Si R es un campo finito , entonces U ( R ) es un grupo cíclico de orden${\displaystyle |R|-1}$.

La formulación del grupo de unidades define un functor U de la categoría de anillos a la categoría de grupos :

cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de grupo U ( f ): U ( R ) → U ( S ) , ya que f mapea unidades a unidades.

Este funtor tiene un adjunto izquierdo que es la construcción del anillo de grupo integral . ^[6]

El esquema de grupo ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$es isomorfo al esquema de grupo multiplicativo ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$sobre cualquier base, por lo que para cualquier anillo conmutativo R , los grupos${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ y ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ son canónicamente isomorfos a ${\displaystyle U(R)}$. Tenga en cuenta que el functor${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ (es decir, ${\displaystyle R\mapsto U(R)}$) es representable en el sentido: ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$para anillos conmutativos R (esto, por ejemplo, se sigue de la relación adjunta mencionada anteriormente con la construcción del anillo de grupo). Explícitamente esto significa que hay una biyección natural entre el conjunto de homomorfismos de anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$y el conjunto de elementos unitarios de R (en contraste,${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ representa el grupo aditivo ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, el functor olvidadizo de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos abelianos).

Asociación

Suponga que R es conmutativa. Elementos r y s de R se llaman asociado si existe una unidad de u en R tal que r = nos ; luego escribe r ∼ s . En cualquier anillo, pares de inverso aditivo elementos ^[A] x y - x son asociado . Por ejemplo, 6 y -6 son asociado en Z . En general, ~ es una relación de equivalencia en R .

Associatedness también puede ser descrito en términos de la acción de U ( R ) en R a través de la multiplicación: Dos elementos de R están asociados si están en la misma U ( R ) - órbita .

En un dominio integral , el conjunto de asociados de un elemento distinto de cero tiene la misma cardinalidad que U ( R ) .

La relación de equivalencia ~ se puede ver como una de las relaciones verdes del semigrupo especializados a la multiplicativo semigrupo de un anillo conmutativo R .

Ver también

• Unidades S
• Localización de un anillo y un módulo

Notas

1. x y - x no son necesariamente distintos. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 6, uno tiene 3 = −3 aunque 1 ≠ −1 .

Citas

1. Dummit y Foote 2004 .
2. Lang 2002 .
3. Watkins (2007 , Teorema 11.1)
4. Watkins (2007 , Teorema 12.1)
5. Jacobson , 2009 , sección 2.2. Ejercicio 4.
6. Ejercicio 10 en § 2.2. de Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones (Ed. Revisada de álgebra, 2ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl  1006.00001 .

Fuentes

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica 1 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
• Watkins, John J. (2007), Temas de la teoría del anillo conmutativo , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR  2330411