En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una propiedad universal es una propiedad importante que se satisface con un morfismo universal (ver Definición formal). Los morfismos universales también se pueden considerar de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma (ver Conexión con categorías de coma). Las propiedades universales ocurren casi en todas partes en las matemáticas y, por lo tanto, el concepto de teoría de la categoría precisa ayuda a señalar similitudes entre diferentes ramas de las matemáticas, algunas de las cuales incluso pueden parecer no relacionadas.
Las propiedades universales pueden usarse implícitamente en otras áreas de las matemáticas, pero su definición abstracta y más precisa puede estudiarse en la teoría de categorías.
Este artículo ofrece un tratamiento general de las propiedades universales. Para entender el concepto, es útil estudiar varios ejemplos en primer lugar, de los cuales hay muchos: todos los objetos libres , producto directo y suma directa , grupo libre , enrejado libre , grupo de Grothendieck , terminación de Dedekind-MacNeille , topología del producto , Piedra-Čech compactificación , producto tensorial , límite inverso y límite directo , kernel y cokernel , pullback , pushout y ecualizador .
Motivación
Antes de dar una definición formal de propiedades universales, ofrecemos alguna motivación para estudiar tales construcciones.
- Los detalles concretos de una construcción dada pueden ser desordenados, pero si la construcción satisface una propiedad universal, uno puede olvidar todos esos detalles: todo lo que hay que saber sobre la construcción ya está contenido en la propiedad universal. Las pruebas a menudo se vuelven breves y elegantes si se utiliza la propiedad universal en lugar de los detalles concretos. Por ejemplo, el álgebra tensorial de un espacio vectorial es un poco doloroso de construir, pero usar su propiedad universal hace que sea mucho más fácil de manejar.
- Las propiedades universales definen objetos de forma única hasta un isomorfismo único . [1] Por lo tanto, una estrategia para demostrar que dos objetos son isomorfos es demostrar que satisfacen la misma propiedad universal.
- Construcciones universales son funtorial en la naturaleza: si se puede llevar a cabo la construcción de todos los objetos en una categoría C y luego se obtiene un funtor de C . Además, este funtor es un adjunto derecho o izquierdo al funtor U utilizado en la definición de la propiedad universal. [2]
- Las propiedades universales ocurren en todas partes en matemáticas. Al comprender sus propiedades abstractas, se obtiene información sobre todas estas construcciones y se puede evitar repetir el mismo análisis para cada instancia individual.
Definicion formal
Para comprender la definición de una construcción universal, es importante mirar ejemplos. Las construcciones universales no se definieron de la nada, sino que se definieron después de que los matemáticos comenzaran a notar un patrón en muchas construcciones matemáticas (ver ejemplos a continuación). Por lo tanto, la definición puede no tener sentido para uno al principio, pero se volverá clara cuando se la reconcilie con ejemplos concretos.
Dejar ser un functor entre categorías y . En lo que sigue, dejemos ser objeto de , tiempo y son objetos de .
Por tanto, el functor mapas , y en a , y en .
Un morfismo universal de a es un par único en que tiene la siguiente propiedad, comúnmente conocida como propiedad universal . Por cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta :
Podemos dualizar este concepto categórico. Un morfismo universal de a es un par único que satisface la siguiente propiedad universal. Por cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta:
Tenga en cuenta que en cada definición, las flechas están invertidas. Ambas definiciones son necesarias para describir construcciones universales que aparecen en matemáticas; pero también surgen debido a la dualidad inherente presente en la teoría de categorías. En cualquier caso, decimos que el par que se comporta como antes satisface una propiedad universal.
Como nota al margen, algunos autores presentan el segundo diagrama de la siguiente manera.
Por supuesto, los diagramas son los mismos; elegir la forma de escribirlo es cuestión de gustos. Simplemente se diferencian por una rotación de 180 °. Sin embargo, es preferible el diagrama original, porque ilustra la dualidad entre las dos definiciones, ya que está claro que las flechas se invierten en cada caso.
Conexión con categorías de coma
Los morfismos universales se pueden describir de manera más concisa como objetos iniciales y terminales en una categoría de coma.
Dejar ser un functor y un objeto de . Luego recuerde que la categoría de coma es la categoría donde
- Los objetos son pares de la forma , dónde es un objeto en
- Un morfismo de a está dado por un morfismo en tal que el diagrama conmuta:
Ahora suponga que el objeto en es inicial. Entonces para cada objeto, existe un morfismo único de manera que el siguiente diagrama conmuta.
Tenga en cuenta que la igualdad aquí simplemente significa que los diagramas son iguales. También tenga en cuenta que el diagrama en el lado derecho de la igualdad es exactamente el mismo que el ofrecido para definir un morfismo universal de a . Por tanto, vemos que un morfismo universal de a es equivalente a un objeto inicial en la categoría de coma .
Por el contrario, recuerde que la categoría de coma es la categoría donde
- Los objetos son pares de la forma dónde es un objeto en
- Un morfismo de a está dado por un morfismo en tal que el diagrama conmuta:
Suponer es un objeto terminal en . Entonces para cada objeto, existe un morfismo único de manera que los siguientes diagramas conmuten.
El diagrama del lado derecho de la igualdad es el mismo diagrama que se muestra al definir un morfismo universal de a . Por tanto, un morfismo universal de a se corresponde con un objeto terminal en la categoría de coma .
Ejemplos de
A continuación se muestran algunos ejemplos para resaltar la idea general. El lector puede construir muchos otros ejemplos consultando los artículos mencionados en la introducción.
Álgebras tensoriales
Dejar ser la categoría de espacios vectoriales -Vect sobre un campo y deja ser la categoría de álgebras -Alg over(se supone que es unital y asociativo ). Dejar
- : -Alg → -Vect
sea el functor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio vectorial subyacente.
Dado cualquier espacio vectorial encima podemos construir el álgebra tensorial . El álgebra tensorial se caracteriza por el hecho:
- "Cualquier mapa lineal de a un álgebra puede extenderse de forma única a un homomorfismo de álgebra de a . "
Esta afirmación es una propiedad inicial del álgebra tensorial ya que expresa el hecho de que el par , dónde es el mapa de inclusión, es un morfismo universal del espacio vectorial al functor .
Dado que esta construcción funciona para cualquier espacio vectorial , concluimos que es un functor de -Vecto a-Alg . Esto significa quese deja adjunto al functor olvidadizo(consulte la sección siguiente sobre la relación con los functores adjuntos ).
Productos
Un producto categórico se puede caracterizar por una construcción universal. Para concreción, se puede considerar el producto cartesiano en Set , el producto directo en Grp o la topología del producto en Top , donde existen productos.
Dejar y ser objetos de una categoría con productos finitos. El producto de y es un objeto × junto con dos morfismos
- :
- :
tal que para cualquier otro objeto de y morfismos y existe un morfismo único tal que y .
Para entender esta caracterización como una propiedad universal, tome la categoría ser la categoría de producto y definir el functor diagonal
por y . Luego es un morfismo universal de al objeto de : Si es algún morfismo de a , entonces debe ser igual a un morfismo de a seguido por .
Límites y colimits
Los productos categóricos son un tipo particular de límite en la teoría de categorías. Se puede generalizar el ejemplo anterior a límites y colimits arbitrarios.
Dejar y ser categorías con una pequeña categoría de índice y dejeser la categoría de functor correspondiente . El functor diagonal
es el functor que mapea cada objeto en al functor constante a (es decir para cada en ).
Dado un funtor (pensado como un objeto en ), el límite de, si existe, no es más que un morfismo universal de a . Dualmente, el colimit de es un morfismo universal de a .
Propiedades
Existencia y singularidad
Definir una cantidad no garantiza su existencia. Dado un funtor y un objeto de , puede que exista o no un morfismo universal de a . Sin embargo, si un morfismo universalexiste, entonces es esencialmente único. Específicamente, es único hasta un isomorfismo único : si es otro par, entonces existe un isomorfismo único tal que . Esto se ve fácilmente sustituyendo en la definición de un morfismo universal.
Es la pareja que es esencialmente único de esta manera. El objetoen sí mismo es único hasta el isomorfismo. De hecho, si es un morfismo universal y es cualquier isomorfismo, entonces el par , dónde es también un morfismo universal.
Formulaciones equivalentes
La definición de morfismo universal puede reformularse de diversas formas. Dejar ser un functor y dejar ser objeto de . Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
- es un morfismo universal de a
- es un objeto inicial de la categoría de coma
- es una representación de
Las declaraciones duales también son equivalentes:
- es un morfismo universal de a
- es un objeto terminal de la categoría de coma
- es una representación de
Relación con los functores adjuntos
Suponer es un morfismo universal de a y es un morfismo universal de a . Por la propiedad universal de los morfismos universales, dado cualquier morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta:
Si cada objeto de admite un morfismo universal para , luego la tarea y define un functor . Los mapasluego defina una transformación natural de (el functor de identidad en ) a . Los functorsson entonces un par de functores adjuntos , con adjunto a la izquierda a y adjunto a la derecha .
Enunciados similares se aplican a la situación dual de morfismos terminales de . Si tales morfismos existen para cada en se obtiene un functor que es adyacente a la derecha (entonces es adjunto a la izquierda a ).
De hecho, todos los pares de functores adjuntos surgen de construcciones universales de esta manera. Dejar y ser un par de functores adjuntos con unidad y co-unidad (ver el artículo sobre functores adjuntos para las definiciones). Entonces tenemos un morfismo universal para cada objeto en y :
- Para cada objeto en , es un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para lo cual los siguientes diagramas conmutan.
- Para cada objeto en , es un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para lo cual los siguientes diagramas conmutan.
Las construcciones universales son más generales que los pares de functores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solo si este problema tiene una solución para cada objeto de (de manera equivalente, todo objeto de ).
Historia
Las propiedades universales de varias construcciones topológicas fueron presentadas por Pierre Samuel en 1948. Posteriormente fueron utilizadas ampliamente por Bourbaki . El concepto estrechamente relacionado de functores adjuntos fue introducido de forma independiente por Daniel Kan en 1958.
Ver también
- Objeto libre
- Transformación natural
- Functor adjunto
- Mónada (teoría de categorías)
- Variedad de álgebras
- Categoría cerrada cartesiana
Notas
- ^ Jacobson (2009), Proposición 1.6, p. 44.
- ^ Ver, por ejemplo, Polcino & Sehgal (2002), p. 133. ejercicio 1, sobre la propiedad universal de los anillos de grupo .
Referencias
- Paul Cohn , Álgebra universal (1981), D. Reidel Publishing, Holanda. ISBN 90-277-1213-1 .
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
- Borceux, F.Manual de álgebra categórica: vol 1 Teoría de categorías básicas (1994) Cambridge University Press, (Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones) ISBN 0-521-44178-1
- N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1 .
- Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K .. Una introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
- Jacobson. Álgebra básica II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X
enlaces externos
- nLab , un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
- André Joyal , CatLab , un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
- Hillman, Chris. "Una cartilla categórica". CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) Introducción formal a la teoría de categorías. - J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Teoría de Categorías ", por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
- Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
- Baez, John, 1996, " The Tale of n -categories " . Una introducción informal a categorías de orden superior.
- WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales , propiedades universales .
- The catsters , un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
- Archivo de videos de charlas grabadas relevantes a categorías, lógica y fundamentos de la física.
- Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.