En lógica matemática , una cuantificación universal es un tipo de cuantificador , una constante lógica que se interpreta como "dado cualquiera" o "para todos". Expresa que un predicado puede ser satisfecho por cada miembro de un dominio del discurso . En otras palabras, es la predicación de una propiedad o relación con cada miembro del dominio. Se afirma que un predicado dentro del alcance de un cuantificador universal es verdad de cada valor de unvariable de predicado .
Por lo general, se denota por el símbolo de operador lógico A (∀) convertido , que, cuando se usa junto con una variable de predicado, se denomina cuantificador universal (" ∀ x ", " ∀ ( x ) ", o algunas veces por " ( x ) " solo). La cuantificación universal es distinta de la cuantificación existencial ("existe"), que solo afirma que la propiedad o relación es válida para al menos un miembro del dominio.
La cuantificación en general se trata en el artículo sobre cuantificación (lógica) . El cuantificador universal está codificado como U + 2200 ∀ PARA TODOS en Unicode , y como \forall
en LaTeX y editores de fórmulas relacionados,
Lo esencial
Supongamos que se da que
2 · 0 = 0 + 0, y 2 · 1 = 1 + 1, y 2 · 2 = 2 + 2 , etc.
Esto parecería ser una conjunción lógica debido al uso repetido de "y". Sin embargo, el "etc." no puede interpretarse como una conjunción en lógica formal . En cambio, la declaración debe reformularse:
Para todos los números naturales n , uno tiene 2 · n = n + n .
Esta es una declaración única que utiliza la cuantificación universal.
Se puede decir que esta declaración es más precisa que la original. Mientras que el "etc." informalmente incluye números naturales , y nada más, esto no fue dado rigurosamente. En la cuantificación universal, en cambio, los números naturales se mencionan explícitamente.
Este ejemplo en particular es cierto , porque cualquier número natural podría sustituirse por n y el enunciado "2 · n = n + n " sería verdadero. A diferencia de,
Para todos los números naturales n , uno tiene 2 · n > 2 + n
es falso , porque si n se sustituye con, por ejemplo, 1, el enunciado "2 · 1> 2 + 1" es falso. Es indiferente que "2 · n > 2 + n " sea cierto para la mayoría de los números naturales n : incluso la existencia de un solo contraejemplo es suficiente para demostrar que la cuantificación universal es falsa.
Por otro lado, para todos los números compuestos n , uno tiene 2 · n > 2 + n es verdadero, porque ninguno de los contraejemplos son números compuestos. Esto indica la importancia del dominio del discurso , que especifica qué valores puede tomar n . [nota 1] En particular, tenga en cuenta que si el dominio del discurso está restringido para consistir solo en aquellos objetos que satisfacen un determinado predicado, entonces, para la cuantificación universal, esto requiere un condicional lógico . Por ejemplo,
Para todos los números compuestos n , uno tiene 2 · n > 2 + n
Para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2 · n > 2 + n .
Aquí la construcción "si ... entonces" indica el condicional lógico.
Notación
En lógica simbólica , el símbolo cuantificador universal(una " A " convertida en una fuente sans-serif , Unicode U + 2200) se usa para indicar cuantificación universal. Fue utilizado por primera vez de esta manera por Gerhard Gentzen en 1935, por analogía con Giuseppe Peano 's(vuelta E) para la cuantificación existencial y el uso posterior de la notación de Peano por Bertrand Russell . [1]
Por ejemplo, si P ( n ) es el predicado "2 · n > 2 + n " y N es el conjunto de números naturales, entonces
es la declaración (falsa)
- "para todos los números naturales n , uno tiene 2 · n > 2 + n ".
De manera similar, si Q ( n ) es el predicado " n es compuesto", entonces
es la declaración (verdadera)
- "para todos los números naturales n , si n es compuesto, entonces 2 · n > 2 + n ".
Varias variaciones en la notación para cuantificación (que se aplican a todas las formas) se pueden encontrar en el artículo Quantifier .
Propiedades
Negación
Tenga en cuenta que una función proposicional cuantificada es un enunciado; por tanto, al igual que los enunciados, las funciones cuantificadas pueden negarse. La notación que la mayoría de los matemáticos y lógicos utilizan para denotar negación es:. Sin embargo, algunos usan la tilde (~).
Por ejemplo, si P ( x ) es la función proposicional "x está casado", entonces, para un universo de discurso X de todos los seres humanos vivos, la cuantificación universal
Dada cualquier persona viva x , esa persona está casada
es dado:
Puede verse que esto es irrevocablemente falso. A decir verdad, se afirma que
No se da el caso de que, dada cualquier persona viva x , esa persona esté casada
o, simbólicamente:
- .
Si el enunciado no es verdadero para todos los elementos del Universo del Discurso, entonces, asumiendo que el universo del discurso no está vacío, debe haber al menos un elemento para el cual el enunciado es falso. Es decir, la negación dees lógicamente equivalente a "Existe una persona viva x que no está casada", o:
Generalmente, entonces, la negación de la cuantificación universal de una función proposicional es una cuantificación existencial de la negación de esa función proposicional; simbólicamente,
Es erróneo afirmar que "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada") cuando se quiere decir que "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada"):
Otros conectivos
El cuantificador universal (y existencial) se mueve sin cambios a través de las conectivas lógicas ∧ , ∨ , → y ↚ , siempre que el otro operando no se vea afectado; es decir:
Por el contrario, para las conectivas lógicas ↑ , ↓ , ↛ y ← , los cuantificadores cambian:
Reglas de inferencia
Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Hay varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador universal.
La instanciación universal concluye que, si se sabe que la función proposicional es universalmente verdadera, entonces debe ser verdadera para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, esto se representa como
donde c es un elemento completamente arbitrario del universo del discurso.
La generalización universal concluye que la función proposicional debe ser universalmente verdadera si lo es para cualquier elemento arbitrario del universo del discurso. Simbólicamente, para una c arbitraria,
El elemento c debe ser completamente arbitrario; de lo contrario, la lógica no sigue: si c no es arbitrario, y en cambio es un elemento específico del universo del discurso, entonces P ( c ) sólo implica una cuantificación existencial de la función proposicional.
El conjunto vacio
Por convención, la fórmula siempre es cierto, independientemente de la fórmula P ( x ); ver la verdad vacía .
Cierre universal
El cierre universal de una fórmula φ es la fórmula sin variables libres obtenida agregando un cuantificador universal para cada variable libre en φ. Por ejemplo, el cierre universal de
es
- .
Como adjunto
En la teoría de categorías y la teoría de los topoi elementales , el cuantificador universal puede entenderse como el adjunto derecho de un funtor entre conjuntos de potencias , el functor de imagen inverso de una función entre conjuntos; asimismo, el cuantificador existencial es el adjunto izquierdo . [2]
Para un juego , dejar denotar su poder . Para cualquier función entre sets y , hay un functor de imagen inversoentre conjuntos de potencias, que lleva subconjuntos del codominio de f a subconjuntos de su dominio. El adjunto izquierdo de este funtor es el cuantificador existencial y el adjunto correcto es el cuantificador universal .
Es decir, es un funtor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dada por
esos en la imagen de debajo . De manera similar, el cuantificador universal es un funtor que, para cada subconjunto , da el subconjunto dada por
esos cuya preimagen bajo está contenido en .
La forma más familiar de los cuantificadores como se usa en la lógica de primer orden se obtiene tomando la función f como la función única así que eso es el conjunto de dos elementos que contiene los valores verdadero y falso, un subconjunto S es ese subconjunto para el cual el predicado sostiene, y
que es cierto si no está vacío, y
que es falso si S no es X.
Los cuantificadores universales y existenciales dados más arriba se generalizan a la categoría de la gavilla .
Ver también
- Cuantificación existencial
- Lógica de primer orden
- Lista de símbolos lógicos: para el símbolo Unicode ∀
Notas
- ^ Se puede encontrar más información sobre el uso de dominios del discurso con declaraciones cuantificadas en el artículo Cuantificación (lógica) .
Referencias
- ^ Miller, Jeff. "Los primeros usos de los símbolos de la teoría y la lógica de conjuntos" . Usos más tempranos de varios símbolos matemáticos .
- ^ Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk, (1992) Gavillas en geometría y lógica Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Consulte la página 58
- Hinman, P. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática . AK Peters . ISBN 1-56881-262-0.
- Franklin, J. y Daoud, A. (2011). Prueba en matemáticas: una introducción . Libros de Kew. ISBN 978-0-646-54509-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) (cap. 2)
enlaces externos
- La definición del diccionario de cada en Wiktionary