El teorema de Varignon es un enunciado de geometría euclidiana que trata de la construcción de un paralelogramo particular , el paralelogramo de Varignon , a partir de un cuadrilátero arbitrario (cuadrilátero). Lleva el nombre de Pierre Varignon , cuya prueba se publicó póstumamente en 1731. [1]
Teorema
Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman un paralelogramo. Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (no complejo ), entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.
Si se introduce el concepto de áreas orientadas para n- gones , entonces esta igualdad de áreas también es válida para cuadriláteros complejos. [2]
El paralelogramo de Varignon existe incluso para un cuadrilátero sesgado , y es plano tanto si el cuadrilátero es plano como si no. El teorema se puede generalizar al polígono de punto medio de un polígono arbitrario.
Prueba
Refiriéndose al diagrama anterior, los triángulos ADC y HDG son similares según el criterio de lado-ángulo-lado, por lo que los ángulos DAC y DHG son iguales, haciendo que HG sea paralelo a AC . De la misma manera, EF es paralelo a AC , por lo que HG y EF son paralelos entre sí; lo mismo vale para HE y GF .
El teorema de Varignon también se puede demostrar como un teorema de geometría afín organizado como álgebra lineal con las combinaciones lineales restringidas a coeficientes que suman 1, también llamados coordenadas afines o baricéntricas . La prueba se aplica incluso para sesgar cuadriláteros en espacios de cualquier dimensión.
Cualquier tres puntos E , F , G se completan a un paralelogramo (situada en el plano que contiene E , F , y G ) mediante la adopción de su cuarto vértice a ser E - F + G . En la construcción del paralelogramo de Varignon, este es el punto ( A + B ) / 2 - ( B + C ) / 2 + ( C + D ) / 2 = ( A + D ) / 2. Pero este es el punto H de la figura, de donde EFGH forma un paralelogramo.
En resumen, el centroide de los cuatro puntos A , B , C , D es el punto medio de cada una de las dos diagonales EG y FH de EFGH , mostrando que los puntos medios coinciden.
De la primera prueba, se puede ver que la suma de las diagonales es igual al perímetro del paralelogramo formado. Además, podemos usar vectores 1/2 de la longitud de cada lado para determinar primero el área del cuadrilátero y luego para encontrar las áreas de los cuatro triángulos divididos por cada lado del paralelogramo interior.
cuadrilátero convexo | cuadrilátero cóncavo | cuadrilátero cruzado |
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El paralelogramo de Varignon
Propiedades
Un paralelogramo plano de Varignon también tiene las siguientes propiedades:
- Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
- Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad de largo que la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
- El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados siempre que el área de este último se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen. [2]
- El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
- Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.
- Los dos bimedianos en un cuadrilátero y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales en ese cuadrilátero son concurrentes y todos están bisecados por su punto de intersección. [3] : pág . 125
En un cuadrilátero convexo con lados a , b , c y d , la longitud del bimediano que conecta los puntos medios de los lados a y c es
donde p y q son la longitud de las diagonales. [4] La longitud de la bimedian que conecta los puntos medios de los lados b y d es
Por lo tanto [3] : p.126
Esto también es un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.
Las longitudes de los bimedianos también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se usa el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De donde [5]
y
Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta el bimediano.
En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales: [6]
- Los dos bimedianos tienen la misma longitud si y solo si las dos diagonales son perpendiculares .
- Los dos bimedianos son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.
Casos especiales
El paralelogramo de Varignon es un rombo si y solo si las dos diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud, es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal . [7]
El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares , es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero ortodiagonal . [6] : pág. 14 [7] : pág. 169
Si un cuadrilátero de cruce se forma a partir de cualquier par de lados paralelos opuestos y las diagonales de un paralelogramo, el paralelogramo de Varignon es un segmento de línea atravesado dos veces.
Ver también
- Construcción de bisectriz perpendicular de un cuadrilátero , una forma diferente de formar otro cuadrilátero a partir de un cuadrilátero dado
Notas
- ^ Peter N. Oliver: Pierre Varignon y el teorema del paralelogramo . Profesora de Matemáticas, Banda 94, Nr. 4, abril de 2001, págs. 316-319
- ^ a b Coxeter, HSM y Greitzer, SL "Cuadrángulo; teorema de Varignon" §3.1 en Geometry Revisited. Washington, DC: Matemáticas. Assoc. Amer., Págs. 52-54, 1967.
- ↑ a b Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
- ^ Mateescu Constantin, Respuesta a la desigualdad de Diagonal
- ^ Josefsson, Martin (2011), "El área de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155-164.
- ^ a b Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13-25.
- ^ a b de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana , Aprendizaje dinámico de matemáticas, p. 58, ISBN 9780557102952.
Referencias y lecturas adicionales
- HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Washington 1967, págs. 52-54
- Peter N. Oliver: Consecuencias del teorema del paralelogramo de Varignon . Profesora de Matemáticas, Banda 94, Nr. 5, mayo de 2001, págs. 406-408
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Varignon" . MathWorld .
- Paralelogramo de Varignon en geometría de compendio
- Una generalización del teorema de Varignon a 2n-gons y a 3D en Dynamic Geometry Sketches , bocetos interactivos de geometría dinámica.
- Paralelogramo de Varignon en cut-the-knot-org