En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico [1] o vector espacial [2] ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores se pueden agregar a otros vectores de acuerdo con el álgebra de vectores . Un vector euclidiano se representa con frecuencia mediante un rayo (un segmento de línea con una dirección definida) o gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto terminal. B , [3] y denotado por. [4]
Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "portador". [5] Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. [6] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B . Muchas operaciones algebraicas con números reales como la suma , la resta , la multiplicación y la negación tienen análogos cercanos a los vectores, [7] operaciones que obedecen las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .
Los vectores juegan un papel importante en física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él pueden describirse con vectores. [8] Se pueden considerar útiles muchas otras cantidades físicas como vectores. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento ), su magnitud y dirección aún se pueden representar mediante la longitud y dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores . [9]
Historia
El concepto de vector, tal como lo conocemos hoy, evolucionó gradualmente durante un período de más de 200 años. Aproximadamente una docena de personas hicieron contribuciones significativas a su desarrollo. [10]
En 1835, Giusto Bellavitis abstrajo la idea básica cuando estableció el concepto de equipollencia . Trabajando en un plano euclidiano, equipó cualquier par de segmentos de línea de la misma longitud y orientación. Esencialmente, se dio cuenta de una relación de equivalencia en los pares de puntos (bipuntos) en el plano, y así erigió el primer espacio de vectores en el plano. [10] : 52–4
El término vector fue introducido por William Rowan Hamilton como parte de un cuaternión , que es una suma q = s + v de un número real s (también llamado escalar ) y un vector tridimensional . Al igual que Bellavitis, Hamilton consideró a los vectores como representativos de clases de segmentos dirigidos por equipos. Como los números complejos usan una unidad imaginaria para complementar la línea real , Hamilton consideró que el vector v es la parte imaginaria de un cuaternión:
- La parte algebraicamente imaginaria, que está construida geométricamente por una línea recta o vector de radio, que tiene, en general, para cada cuaternión determinado, una longitud determinada y una dirección determinada en el espacio, puede denominarse parte vectorial, o simplemente vector de la cuaternio. [11]
Varios otros matemáticos desarrollaron sistemas similares a vectores a mediados del siglo XIX, incluidos Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , Comte de Saint-Venant y Matthew O'Brien . El trabajo de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoría del flujo y reflujo) fue el primer sistema de análisis espacial que es similar al sistema actual, y tenía ideas correspondientes al producto cruzado, producto escalar y diferenciación vectorial. El trabajo de Grassmann se descuidó en gran medida hasta la década de 1870. [10]
Peter Guthrie Tait llevó el estándar de cuaternión después de Hamilton. Su Tratado elemental de cuaterniones de 1867 incluyó un extenso tratamiento de la nabla o del operador ∇.
En 1878, William Kingdon Clifford publicó Elements of Dynamic . Clifford simplificó el estudio del cuaternión aislando el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores del producto completo del cuaternión. Este enfoque puso los cálculos vectoriales a disposición de los ingenieros y de otros que trabajan en tres dimensiones y se muestran escépticos con respecto a la cuarta.
Josiah Willard Gibbs , que fue expuesto a través de cuaterniones James Clerk Maxwell 's Tratado sobre Electricidad y Magnetismo , separa su parte de vectores para el tratamiento independiente. La primera mitad de Elements of Vector Analysis de Gibbs , publicado en 1881, presenta lo que es esencialmente el sistema moderno de análisis de vectores. [10] [7] En 1901, Edwin Bidwell Wilson publicó Vector Analysis , adaptado de las conferencias de Gibb, que desterró cualquier mención de cuaterniones en el desarrollo del cálculo vectorial.
Descripción general
En física e ingeniería , un vector se considera típicamente como una entidad geométrica caracterizada por una magnitud y una dirección. Se define formalmente como un segmento de línea dirigido , o flecha, en un espacio euclidiano . [12] En matemáticas puras , un vector se define de manera más general como cualquier elemento de un espacio vectorial . En este contexto, los vectores son entidades abstractas que pueden o no estar caracterizadas por una magnitud y una dirección. Esta definición generalizada implica que las entidades geométricas mencionadas anteriormente son un tipo especial de vectores, ya que son elementos de un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio euclidiano .
Este artículo trata sobre vectores estrictamente definidos como flechas en el espacio euclidiano. Cuando se hace necesario distinguir estos vectores especiales de los vectores definidos en matemáticas puras, a veces se los denomina vectores geométricos , espaciales o euclidianos .
Al ser una flecha, un vector euclidiano posee un punto inicial y un punto terminal definidos . Un vector con punto inicial y terminal fijo se llama vector ligado . [13] Cuando sólo importan la magnitud y la dirección del vector, entonces el punto inicial particular no tiene importancia, y el vector se llama vector libre . Así dos flechas y en el espacio representan el mismo vector libre si tienen la misma magnitud y dirección: es decir, son equipollentes si el cuadrilátero ABB′A ′ es un paralelogramo . Si el espacio euclidiano está equipado con una opción de origen , entonces un vector libre es equivalente al vector acotado de la misma magnitud y dirección cuyo punto inicial es el origen.
El término vector también tiene generalizaciones a dimensiones superiores y enfoques más formales con aplicaciones mucho más amplias.
Ejemplos en una dimensión
Dado que el concepto de fuerza del físico tiene una dirección y una magnitud, puede verse como un vector. Como ejemplo, considere una fuerza hacia la derecha F de 15 newtons . Si el eje positivo también se dirige hacia la derecha, entonces F está representado por el vector 15 N, y si los puntos positivos hacia la izquierda, entonces el vector para F es −15 N.En cualquier caso, la magnitud del vector es 15 N. Del mismo modo, la representación vectorial de un desplazamiento Δ s de 4 metros sería de 4 mo −4 m, dependiendo de su dirección, y su magnitud sería de 4 m independientemente.
En física e ingeniería
Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden usar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud, dirección y que se adhiera a las reglas de la suma de vectores. Un ejemplo es la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene una magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma de vectores. [8] Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento lineal, el desplazamiento , la aceleración lineal, la aceleración angular , el momento lineal y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial . Ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, pero que no siguen las reglas de la suma de vectores, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. En consecuencia, estos no son vectores.
En el espacio cartesiano
En el sistema de coordenadas cartesiano , un vector ligado se puede representar identificando las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos A = (1, 0, 0) y B = (0, 1, 0) en el espacio determinan el vector acotadoapuntando desde el punto x = 1 en el eje x hasta el punto y = 1 en el eje y .
En coordenadas cartesianas, un vector libre puede pensarse en términos de un vector ligado correspondiente, en este sentido, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen O = (0, 0, 0) . Luego se determina mediante las coordenadas del punto terminal de ese vector ligado. Por tanto, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector de longitud unitaria, que apunta a lo largo de la dirección del eje x positivo .
Esta representación de coordenadas de vectores libres permite que sus características algebraicas se expresen de una manera numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre)
- (1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1-2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).
Vectores euclidianos y afines
En los entornos geométricos y físicos, a veces es posible asociar, de forma natural, una longitud o magnitud y una dirección a los vectores. Además, la noción de dirección está estrictamente asociada con la noción de ángulo entre dos vectores. Si el producto escalar de dos vectores se define-un producto escalar de valor de dos vectores, entonces también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores distintos de cero) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, es posible además definir el producto cruzado , que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (usados como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, dimensiones, más altas), es posible definir el producto exterior , que (entre otras cosas) suministra una caracterización algebraica de la zona y orientación en el espacio de la n -dimensional paralelotopo definido por n vectores.
Sin embargo, no siempre es posible o deseable definir la longitud de un vector de forma natural. Este tipo más general de vector espacial es objeto de espacios vectoriales (para vectores libres) y espacios afines (para vectores ligados, ya que cada uno está representado por un par ordenado de "puntos"). Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es importante para nuestra comprensión de la relatividad especial ), donde hay una generalización de la longitud que permite que los vectores distintos de cero tengan una longitud cero. Otros ejemplos físicos provienen de la termodinámica , donde muchas de las cantidades de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud o ángulo. [14]
Generalizaciones
En física, así como en matemáticas, un vector a menudo se identifica con una tupla de componentes, o lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores básicos . Cuando la base se transforma, por ejemplo mediante rotación o estiramiento, los componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que los componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se denomina covariante o contravariante , dependiendo de cómo se relacione la transformación de los componentes del vector con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento), o la distancia multiplicada por alguna otra unidad (como la velocidad o la aceleración); los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre la distancia como el gradiente . Si cambia las unidades (un caso especial de cambio de base) de metros a milímetros, un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1 m se convierte en 1000 mm, un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1 K / m se convierte en 0,001 K / mm, un cambio covariante en el valor (para obtener más información, consulte covarianza y contravarianza de vectores ). Los tensores son otro tipo de cantidad que se comporta de esta forma; un vector es un tipo de tensor .
En matemáticas puras , un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algún campo y, a menudo, se representa como un vector de coordenadas . Los vectores descritos en este artículo son un caso muy especial de esta definición general, porque son contravariantes con respecto al espacio ambiental. La contravarianza captura la intuición física detrás de la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".
Representaciones
Los vectores generalmente se indican en negrita y minúscula , como en, y , [4] o en negrita y cursiva minúscula, como en a . ( Las letras mayúsculas se utilizan normalmente para representar matrices ). Otras convenciones incluyeno a , especialmente en letra manuscrita. Alternativamente, algunos usan una tilde (~) o un subrayado ondulado debajo del símbolo, p. Ej., que es una convención para indicar el tipo de letra en negrita. Si el vector representa una distancia dirigida o un desplazamiento de un punto A a un punto B (ver figura), también se puede denotar comoo AB . En la literatura alemana , era especialmente común representar vectores con letras pequeñas fraktur como.
Los vectores generalmente se muestran en gráficos u otros diagramas como flechas ( segmentos de línea dirigidos ), como se ilustra en la figura. Aquí, el punto A se llama origen , cola , base o punto inicial , y el punto B se llama cabeza , punta , punto final , punto terminal o punto final . La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector , mientras que la dirección en la que apunta la flecha indica la dirección del vector.
En un diagrama bidimensional, a veces se desea un vector perpendicular al plano del diagrama. Estos vectores se muestran comúnmente como círculos pequeños. Un círculo con un punto en el centro (Unicode U + 2299 ⊙) indica un vector que apunta hacia el frente del diagrama, hacia el espectador. Un círculo con una cruz inscrita en él (Unicode U + 2297 ⊗) indica un vector que apunta hacia dentro y detrás del diagrama. Se puede pensar en ellos como ver la punta de una flecha y ver los vuelos de una flecha desde la parte posterior.
Para calcular con vectores, la representación gráfica puede resultar demasiado engorrosa. Los vectores en un espacio euclidiano n- dimensional se pueden representar como vectores de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano . El punto final de un vector se puede identificar con una lista ordenada de n números reales ( n - tupla ). Estos números son las coordenadas del punto final del vector, con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano dado , y normalmente se denominan componentes escalares (o proyecciones escalares ) del vector en los ejes del sistema de coordenadas.
Como ejemplo en dos dimensiones (ver figura), el vector desde el origen O = (0, 0) hasta el punto A = (2, 3) se escribe simplemente como
La noción de que la cola del vector coincide con el origen está implícita y se comprende fácilmente. Por tanto, la notación más explícita generalmente no se considera necesario (y, de hecho, rara vez se usa).
En el espacio euclidiano tridimensional (o R 3 ), los vectores se identifican con triples de componentes escalares:
- también escrito
Esto se puede generalizar al espacio euclidiano n-dimensional (o R n ).
These numbers are often arranged into a column vector or row vector, particularly when dealing with matrices, as follows:
Another way to represent a vector in n-dimensions is to introduce the standard basis vectors. For instance, in three dimensions, there are three of them:
These have the intuitive interpretation as vectors of unit length pointing up the x-, y-, and z-axis of a Cartesian coordinate system, respectively. In terms of these, any vector a in R3 can be expressed in the form:
or
where a1, a2, a3 are called the vector components (or vector projections) of a on the basis vectors or, equivalently, on the corresponding Cartesian axes x, y, and z (see figure), while a1, a2, a3 are the respective scalar components (or scalar projections).
In introductory physics textbooks, the standard basis vectors are often denoted instead (or , in which the hat symbol ^ typically denotes unit vectors). In this case, the scalar and vector components are denoted respectively ax, ay, az, and ax, ay, az (note the difference in boldface). Thus,
The notation ei is compatible with the index notation and the summation convention commonly used in higher level mathematics, physics, and engineering.
Decomposition or resolution
As explained above, a vector is often described by a set of vector components that add up to form the given vector. Typically, these components are the projections of the vector on a set of mutually perpendicular reference axes (basis vectors). The vector is said to be decomposed or resolved with respect to that set.
The decomposition or resolution[15] of a vector into components is not unique, because it depends on the choice of the axes on which the vector is projected.
Moreover, the use of Cartesian unit vectors such as as a basis in which to represent a vector is not mandated. Vectors can also be expressed in terms of an arbitrary basis, including the unit vectors of a cylindrical coordinate system () or spherical coordinate system (). The latter two choices are more convenient for solving problems which possess cylindrical or spherical symmetry, respectively.
The choice of a basis does not affect the properties of a vector or its behaviour under transformations.
A vector can also be broken up with respect to "non-fixed" basis vectors that change their orientation as a function of time or space. For example, a vector in three-dimensional space can be decomposed with respect to two axes, respectively normal, and tangent to a surface (see figure). Moreover, the radial and tangential components of a vector relate to the radius of rotation of an object. The former is parallel to the radius and the latter is orthogonal to it.[16]
In these cases, each of the components may be in turn decomposed with respect to a fixed coordinate system or basis set (e.g., a global coordinate system, or inertial reference frame).
Propiedades básicas
The following section uses the Cartesian coordinate system with basis vectors
and assumes that all vectors have the origin as a common base point. A vector a will be written as
Equality
Two vectors are said to be equal if they have the same magnitude and direction. Equivalently they will be equal if their coordinates are equal. So two vectors
and
are equal if
Opposite, parallel, and antiparallel vectors
Two vectors are opposite if they have the same magnitude but opposite direction. So two vectors
and
are opposite if
Two vectors are parallel if they have the same direction but not necessarily the same magnitude, or antiparallel if they have opposite direction but not necessarily the same magnitude.
Addition and subtraction
Assume now that a and b are not necessarily equal vectors, but that they may have different magnitudes and directions. The sum of a and b is
The addition may be represented graphically by placing the tail of the arrow b at the head of the arrow a, and then drawing an arrow from the tail of a to the head of b. The new arrow drawn represents the vector a + b, as illustrated below:[8]
This addition method is sometimes called the parallelogram rule because a and b form the sides of a parallelogram and a + b is one of the diagonals. If a and b are bound vectors that have the same base point, this point will also be the base point of a + b. One can check geometrically that a + b = b + a and (a + b) + c = a + (b + c).
The difference of a and b is
Subtraction of two vectors can be geometrically illustrated as follows: to subtract b from a, place the tails of a and b at the same point, and then draw an arrow from the head of b to the head of a. This new arrow represents the vector (-b) + a, with (-b) being the opposite of b, see drawing. And (-b) + a = a − b.
Scalar multiplication
A vector may also be multiplied, or re-scaled, by a real number r. In the context of conventional vector algebra, these real numbers are often called scalars (from scale) to distinguish them from vectors. The operation of multiplying a vector by a scalar is called scalar multiplication. The resulting vector is
Intuitively, multiplying by a scalar r stretches a vector out by a factor of r. Geometrically, this can be visualized (at least in the case when r is an integer) as placing r copies of the vector in a line where the endpoint of one vector is the initial point of the next vector.
If r is negative, then the vector changes direction: it flips around by an angle of 180°. Two examples (r = −1 and r = 2) are given below:
Scalar multiplication is distributive over vector addition in the following sense: r(a + b) = ra + rb for all vectors a and b and all scalars r. One can also show that a − b = a + (−1)b.
Length
The length or magnitude or norm of the vector a is denoted by ‖a‖ or, less commonly, |a|, which is not to be confused with the absolute value (a scalar "norm").
The length of the vector a can be computed with the Euclidean norm
which is a consequence of the Pythagorean theorem since the basis vectors e1, e2, e3 are orthogonal unit vectors.
This happens to be equal to the square root of the dot product, discussed below, of the vector with itself:
- Unit vector
A unit vector is any vector with a length of one; normally unit vectors are used simply to indicate direction. A vector of arbitrary length can be divided by its length to create a unit vector.[17] This is known as normalizing a vector. A unit vector is often indicated with a hat as in â.
To normalize a vector a = (a1, a2, a3), scale the vector by the reciprocal of its length ‖a‖. That is:
- Zero vector
The zero vector is the vector with length zero. Written out in coordinates, the vector is (0, 0, 0), and it is commonly denoted , 0, or simply 0.[4] Unlike any other vector, it has an arbitrary or indeterminate direction, and cannot be normalized (that is, there is no unit vector that is a multiple of the zero vector). The sum of the zero vector with any vector a is a (that is, 0 + a = a).
Dot product
The dot product of two vectors a and b (sometimes called the inner product, or, since its result is a scalar, the scalar product) is denoted by a ∙ b,[4] and is defined as:
where θ is the measure of the angle between a and b (see trigonometric function for an explanation of cosine). Geometrically, this means that a and b are drawn with a common start point, and then the length of a is multiplied with the length of the component of b that points in the same direction as a.
The dot product can also be defined as the sum of the products of the components of each vector as
Cross product
The cross product (also called the vector product or outer product) is only meaningful in three or seven dimensions. The cross product differs from the dot product primarily in that the result of the cross product of two vectors is a vector. The cross product, denoted a × b, is a vector perpendicular to both a and b and is defined as
where θ is the measure of the angle between a and b, and n is a unit vector perpendicular to both a and b which completes a right-handed system. The right-handedness constraint is necessary because there exist two unit vectors that are perpendicular to both a and b, namely, n and (−n).
The cross product a × b is defined so that a, b, and a × b also becomes a right-handed system (although a and b are not necessarily orthogonal). This is the right-hand rule.
The length of a × b can be interpreted as the area of the parallelogram having a and b as sides.
The cross product can be written as
For arbitrary choices of spatial orientation (that is, allowing for left-handed as well as right-handed coordinate systems) the cross product of two vectors is a pseudovector instead of a vector (see below).
Scalar triple product
The scalar triple product (also called the box product or mixed triple product) is not really a new operator, but a way of applying the other two multiplication operators to three vectors. The scalar triple product is sometimes denoted by (a b c) and defined as:
It has three primary uses. First, the absolute value of the box product is the volume of the parallelepiped which has edges that are defined by the three vectors. Second, the scalar triple product is zero if and only if the three vectors are linearly dependent, which can be easily proved by considering that in order for the three vectors to not make a volume, they must all lie in the same plane. Third, the box product is positive if and only if the three vectors a, b and c are right-handed.
In components (with respect to a right-handed orthonormal basis), if the three vectors are thought of as rows (or columns, but in the same order), the scalar triple product is simply the determinant of the 3-by-3 matrix having the three vectors as rows
The scalar triple product is linear in all three entries and anti-symmetric in the following sense:
Conversion between multiple Cartesian bases
All examples thus far have dealt with vectors expressed in terms of the same basis, namely, the e basis {e1, e2, e3}. However, a vector can be expressed in terms of any number of different bases that are not necessarily aligned with each other, and still remain the same vector. In the e basis, a vector a is expressed, by definition, as
- .
The scalar components in the e basis are, by definition,
- ,
- ,
- .
In another orthonormal basis n = {n1, n2, n3} that is not necessarily aligned with e, the vector a is expressed as
and the scalar components in the n basis are, by definition,
- ,
- ,
- .
The values of p, q, r, and u, v, w relate to the unit vectors in such a way that the resulting vector sum is exactly the same physical vector a in both cases. It is common to encounter vectors known in terms of different bases (for example, one basis fixed to the Earth and a second basis fixed to a moving vehicle). In such a case it is necessary to develop a method to convert between bases so the basic vector operations such as addition and subtraction can be performed. One way to express u, v, w in terms of p, q, r is to use column matrices along with a direction cosine matrix containing the information that relates the two bases. Such an expression can be formed by substitution of the above equations to form
- ,
- ,
- .
Distributing the dot-multiplication gives
- ,
- ,
- .
Replacing each dot product with a unique scalar gives
- ,
- ,
- ,
and these equations can be expressed as the single matrix equation
- .
This matrix equation relates the scalar components of a in the n basis (u,v, and w) with those in the e basis (p, q, and r). Each matrix element cjk is the direction cosine relating nj to ek.[18] The term direction cosine refers to the cosine of the angle between two unit vectors, which is also equal to their dot product.[18] Therefore,
By referring collectively to e1, e2, e3 as the e basis and to n1, n2, n3 as the n basis, the matrix containing all the cjk is known as the "transformation matrix from e to n", or the "rotation matrix from e to n" (because it can be imagined as the "rotation" of a vector from one basis to another), or the "direction cosine matrix from e to n"[18] (because it contains direction cosines). The properties of a rotation matrix are such that its inverse is equal to its transpose. This means that the "rotation matrix from e to n" is the transpose of "rotation matrix from n to e".
The properties of a direction cosine matrix, C are:[19]
- the determinant is unity, |C| = 1
- the inverse is equal to the transpose,
- the rows and columns are orthogonal unit vectors, therefore their dot products are zero.
The advantage of this method is that a direction cosine matrix can usually be obtained independently by using Euler angles or a quaternion to relate the two vector bases, so the basis conversions can be performed directly, without having to work out all the dot products described above.
By applying several matrix multiplications in succession, any vector can be expressed in any basis so long as the set of direction cosines is known relating the successive bases.[18]
Other dimensions
With the exception of the cross and triple products, the above formulae generalise to two dimensions and higher dimensions. For example, addition generalises to two dimensions as
and in four dimensions as
The cross product does not readily generalise to other dimensions, though the closely related exterior product does, whose result is a bivector. In two dimensions this is simply a pseudoscalar
A seven-dimensional cross product is similar to the cross product in that its result is a vector orthogonal to the two arguments; there is however no natural way of selecting one of the possible such products.
Física
Vectors have many uses in physics and other sciences.
Length and units
In abstract vector spaces, the length of the arrow depends on a dimensionless scale. If it represents, for example, a force, the "scale" is of physical dimension length/force. Thus there is typically consistency in scale among quantities of the same dimension, but otherwise scale ratios may vary; for example, if "1 newton" and "5 m" are both represented with an arrow of 2 cm, the scales are 1 m:50 N and 1:250 respectively. Equal length of vectors of different dimension has no particular significance unless there is some proportionality constant inherent in the system that the diagram represents. Also length of a unit vector (of dimension length, not length/force, etc.) has no coordinate-system-invariant significance.
Vector-valued functions
Often in areas of physics and mathematics, a vector evolves in time, meaning that it depends on a time parameter t. For instance, if r represents the position vector of a particle, then r(t) gives a parametric representation of the trajectory of the particle. Vector-valued functions can be differentiated and integrated by differentiating or integrating the components of the vector, and many of the familiar rules from calculus continue to hold for the derivative and integral of vector-valued functions.
Position, velocity and acceleration
The position of a point x = (x1, x2, x3) in three-dimensional space can be represented as a position vector whose base point is the origin
The position vector has dimensions of length.
Given two points x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) their displacement is a vector
which specifies the position of y relative to x. The length of this vector gives the straight-line distance from x to y. Displacement has the dimensions of length.
The velocity v of a point or particle is a vector, its length gives the speed. For constant velocity the position at time t will be
where x0 is the position at time t = 0. Velocity is the time derivative of position. Its dimensions are length/time.
Acceleration a of a point is vector which is the time derivative of velocity. Its dimensions are length/time2.
Force, energy, work
Force is a vector with dimensions of mass×length/time2 and Newton's second law is the scalar multiplication
Work is the dot product of force and displacement
Vectores, pseudovectores y transformaciones
An alternative characterization of Euclidean vectors, especially in physics, describes them as lists of quantities which behave in a certain way under a coordinate transformation. A contravariant vector is required to have components that "transform opposite to the basis" under changes of basis. The vector itself does not change when the basis is transformed; instead, the components of the vector make a change that cancels the change in the basis. In other words, if the reference axes (and the basis derived from it) were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in the opposite way to generate the same final vector. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the basis undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that a coordinate vector x is transformed to x′ = Mx, then a contravariant vector v must be similarly transformed via v′ = Mv. This important requirement is what distinguishes a contravariant vector from any other triple of physically meaningful quantities. For example, if v consists of the x, y, and z-components of velocity, then v is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated, or twisted, then the components of the velocity transform in the same way. On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, and height of a rectangular box could make up the three components of an abstract vector, but this vector would not be contravariant, since rotating the box does not change the box's length, width, and height. Examples of contravariant vectors include displacement, velocity, electric field, momentum, force, and acceleration.
In the language of differential geometry, the requirement that the components of a vector transform according to the same matrix of the coordinate transition is equivalent to defining a contravariant vector to be a tensor of contravariant rank one. Alternatively, a contravariant vector is defined to be a tangent vector, and the rules for transforming a contravariant vector follow from the chain rule.
Some vectors transform like contravariant vectors, except that when they are reflected through a mirror, they flip and gain a minus sign. A transformation that switches right-handedness to left-handedness and vice versa like a mirror does is said to change the orientation of space. A vector which gains a minus sign when the orientation of space changes is called a pseudovector or an axial vector. Ordinary vectors are sometimes called true vectors or polar vectors to distinguish them from pseudovectors. Pseudovectors occur most frequently as the cross product of two ordinary vectors.
One example of a pseudovector is angular velocity. Driving in a car, and looking forward, each of the wheels has an angular velocity vector pointing to the left. If the world is reflected in a mirror which switches the left and right side of the car, the reflection of this angular velocity vector points to the right, but the actual angular velocity vector of the wheel still points to the left, corresponding to the minus sign. Other examples of pseudovectors include magnetic field, torque, or more generally any cross product of two (true) vectors.
This distinction between vectors and pseudovectors is often ignored, but it becomes important in studying symmetry properties. See parity (physics).
Ver también
- Affine space, which distinguishes between vectors and points
- Array data structure or Vector (Computer Science)
- Banach space
- Clifford algebra
- Complex number
- Coordinate system
- Covariance and contravariance of vectors
- Four-vector, a non-Euclidean vector in Minkowski space (i.e. four-dimensional spacetime), important in relativity
- Function space
- Grassmann's Ausdehnungslehre
- Hilbert space
- Normal vector
- Null vector
- Pseudovector
- Quaternion
- Tangential and normal components (of a vector)
- Tensor
- Unit vector
- Vector bundle
- Vector calculus
- Vector notation
- Vector-valued function
Notas
- ^ Ivanov 2001
- ^ Heinbockel 2001
- ^ Itô 1993, p. 1678; Pedoe 1988
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Referencias
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has extra text (help) - Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
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enlaces externos
- "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Online vector identities (PDF)
- Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)