Vector (matemáticas y física)

Elemento de un espacio vectorial

Para otros usos, consulte Vector .

En matemáticas y física , un vector es un elemento de un espacio vectorial .

Para muchos espacios vectoriales específicos, los vectores han recibido nombres específicos, que se enumeran a continuación.

Históricamente, los vectores se introdujeron en geometría y física (típicamente en mecánica ) antes de la formalización del concepto de espacio vectorial. Por lo tanto, a menudo se habla de vectores sin especificar el espacio vectorial al que pertenecen. Específicamente, en un espacio euclidiano , se consideran los vectores espaciales , también llamados vectores euclidianos que se usan para representar cantidades que tienen magnitud y dirección, y se pueden sumar , restar y escalar (es decir, multiplicar por un número real ) para formar un espacio vectorial. . ^[1]

Vectores en geometría euclidiana

Artículo principal: vector euclidiano

En la geometría euclidiana clásica (es decir, la geometría sintética ), los vectores se introdujeron (durante el siglo XIX) como clases de equivalencia bajo equipollencia , de pares ordenados de puntos; siendo dos pares ( A , B ) y ( C , D ) equipollentes si los puntos A , B , D , C , en este orden, forman un paralelogramo . Tal clase de equivalencia se llama vector , más precisamente, vector euclidiano .^[2] La clase de equivalencia de ( A , B ) a menudo se denota${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

Un vector euclidiano es, por tanto, una clase de equivalencia de segmentos dirigidos con la misma magnitud (por ejemplo, la longitud del segmento de línea ( A , B ) ) y la misma dirección (por ejemplo, la dirección de A a B ). ^[3] En física, los vectores euclidianos se utilizan para representar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, pero no están ubicadas en un lugar específico, a diferencia de los escalares , que no tienen dirección. ^[4] Por ejemplo, la velocidad , las fuerzas y la aceleración se representan mediante vectores.

En la geometría moderna, los espacios euclidianos a menudo se definen a partir del álgebra lineal . Más precisamente, un espacio euclídeo E se define como un conjunto al que está asociado un espacio con producto interno de dimensión finita sobre los reales y una acción de grupo del grupo de aditivos de que es libre y transitiva (Ver espacio afín para los detalles de esta construcción) . Los elementos de se denominan traducciones .${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Se ha comprobado que las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes y que las clases de equivalencia bajo equipollencia pueden identificarse con traducciones.

A veces, los vectores euclidianos se consideran sin referencia a un espacio euclidiano. En este caso, un vector euclidiano es un elemento de un espacio vectorial normalizado de dimensión finita sobre los reales o, típicamente, un elemento de equipado con el producto escalar . Esto tiene sentido, ya que la adición en dicho espacio vectorial actúa libre y transitivamente sobre el propio espacio vectorial. Es decir, es un espacio euclidiano, consigo mismo como un espacio vectorial asociado y el producto escalar como un producto interno.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El espacio euclidiano se presenta a menudo como el espacio euclidiano de dimensión n . Esto está motivado por el hecho de que todo espacio euclidiano de dimensión n es isomorfo al espacio euclidiano. Más precisamente, dado tal espacio euclidiano, uno puede elegir cualquier punto O como origen . Mediante el proceso de Gram-Schmidt , también se puede encontrar una base ortonormal del espacio vectorial asociado (una base tal que el producto interno de dos vectores base es 0 si son diferentes y 1 si son iguales). Esto define las coordenadas cartesianas de cualquier punto P${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$del espacio, como las coordenadas sobre esta base del vector. Estas opciones definen un isomorfismo del espacio euclidiano dado al mapear cualquier punto a la n -tupla de sus coordenadas cartesianas, y cada vector a su vector de coordenadas .${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Vectores específicos en un espacio vectorial

• Vector cero (a veces también llamado vector nulo y denotado por ^[5] ), la identidad aditiva en un espacio vectorial. En un espacio vectorial normalizado , es el vector único de norma cero. En un espacio vectorial euclidiano , es el vector único de longitud cero. ^[6]${\displaystyle \mathbf {0} }$
• Vector de base , un elemento de una base dada de un espacio vectorial.
• Vector unitario , un vector en un espacio vectorial normado cuya norma es 1, o un vector euclidiano de longitud uno. ^[6]
• Vector isotrópico o vector nulo , en un espacio vectorial con forma cuadrática , un vector distinto de cero para el que la forma es cero. Si existe un vector nulo, la forma cuadrática se dice que es una forma cuadrática isotrópica .

Vectores en espacios vectoriales específicos

• Vector de columna , una matriz con una sola columna. Los vectores de columna con un número fijo de filas forman un espacio vectorial.
• Vector de fila , una matriz con una sola fila. Los vectores de fila con un número fijo de columnas forman un espacio vectorial.
• Vector de coordenadas , la n- tupla de las coordenadas de un vector sobre la base de n elementos. Para un espacio vectorial sobre un campo F , estas n tuplas forman el espacio vectorial (donde las operaciones son la suma puntual y la multiplicación escalar).${\displaystyle F^{n}}$
• Vector de desplazamiento , un vector que especifica el cambio de posición de un punto en relación con una posición anterior. Los vectores de desplazamiento pertenecen al espacio vectorial de traslaciones .
• Vector de posición de un punto, el vector de desplazamiento desde un punto de referencia (llamado origen ) hasta el punto. Un vector de posición representa la posición de un punto en un espacio euclidiano o un espacio afín .
• Vector de velocidad , la derivada, con respecto al tiempo, del vector de posición. No depende de la elección del origen y, por tanto, pertenece al espacio vectorial de traslaciones.
• Pseudovector , también llamado vector axial
• Covector , un elemento del dual de un espacio vectorial. En un espacio de producto interno , el producto interno define un isomorfismo entre el espacio y su dual, lo que puede dificultar la distinción de un covector de un vector. La distinción se hace evidente cuando se cambian las coordenadas (de forma no ortogonal).
• Vector tangente , un elemento del espacio tangente de una curva , una superficie o, más generalmente, una variedad diferencial en un punto dado (estos espacios tangentes están naturalmente dotados de una estructura de espacio vectorial)
• Vector normal o simplemente normal , en un espacio euclidiano o, más generalmente, en un espacio interior producto, un vector que es perpendicular a un espacio tangente en un punto.
• Gradiente , el vector de coordenadas de las derivadas parciales de una función de varias variables reales . En un espacio euclidiano, el gradiente da la magnitud y la dirección del aumento máximo de un campo escalar . El gradiente es un covector que es normal a una curva de nivel .
• Cuatro vectores , en la teoría de la relatividad , un vector en un espacio vectorial real de cuatro dimensiones llamado espacio de Minkowski

Tuplas que en realidad no son vectores

El conjunto de tuplas de n números reales tiene una estructura natural de espacio vectorial definida por la suma de componentes y la multiplicación escalar . Cuando estas tuplas se utilizan para representar algunos datos, es común llamarlos vectores , incluso si la suma del vector no significa nada para estos datos, lo que puede hacer que la terminología sea confusa. De manera similar, algunos fenómenos físicos involucran una dirección y una magnitud. A menudo se representan mediante vectores, incluso si las operaciones de espacios vectoriales no se aplican a ellos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Vector de rotación , un vector euclidiano cuya dirección es la del eje de una rotación y la magnitud es el ángulo de la rotación.
• Vector de hamburguesas , un vector que representa la magnitud y dirección de la distorsión reticular de la dislocación en una rejilla cristalina
• Vector de intervalo , en la teoría de conjuntos musicales, una matriz que expresa el contenido interválico de un conjunto de clase de tono
• Vector de probabilidad , en estadística, un vector con entradas no negativas que suman uno.
• Vector aleatorio o vector aleatorio , en las estadísticas , un conjunto de bienes -valued variables aleatorias que pueden estar correlacionadas . Sin embargo, un vector aleatorio también puede referirse a una variable aleatoria que toma sus valores en un espacio vectorial.
• Relación vectorial , una relación binaria determinada por un vector lógico.

Vectores en álgebras

Cada álgebra sobre un campo es un espacio vectorial, pero los elementos de un álgebra generalmente no se llaman vectores. Sin embargo, en algunos casos, se denominan vectores , principalmente por razones históricas.

• Cuaternión vectorial , un cuaternión con una parte real cero
• Multivector o p -vector , un elemento del álgebra exterior de un espacio vectorial.
• Los espinores , también llamados vectores de espín , se han introducido para extender la noción de vector de rotación . De hecho, los vectores de rotación representan rotaciones de pozo localmente , pero no globalmente, porque un bucle cerrado en el espacio de vectores de rotación puede inducir una curva en el espacio de rotaciones que no es un bucle. Además, el colector de vectores de rotación es orientable , mientras que el colector de rotaciones no lo es. Los espinores son elementos de un subespacio vectorial de algún álgebra de Clifford .
• Witt vector , una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo, que pertenece a un álgebra sobre este anillo , y se ha introducido para manejar la propagación de acarreo en las operaciones sobre números p-ádicos .

Ver también

Busque vectores en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• Vector (desambiguación)

Espacios vectoriales con más estructura

• Espacio vectorial graduado , un tipo de espacio vectorial que incluye la estructura adicional de gradación.
• Espacio vectorial normado , un espacio vectorial en el que se define una norma.
• Espacio Hilbert
• Espacio vectorial ordenado , un espacio vectorial equipado con un orden parcial
• Super espacio vectorial , nombre de un espacio vectorial de grado Z ₂
• Espacio vectorial simpléctico , un espacio vectorial V equipado con una forma bilineal no degenerada, sesgada y simétrica
• Espacio vectorial topológico , una mezcla de estructura topológica con el concepto algebraico de un espacio vectorial.

Campos vectoriales

Un campo vectorial es una función con valores vectoriales que, generalmente, tiene un dominio de la misma dimensión (como una variedad ) que su codominio,

• Campo vectorial conservador , un campo vectorial que es el gradiente de un campo de potencial escalar.
• Campo vectorial hamiltoniano , un campo vectorial definido para cualquier función de energía o hamiltoniano
• Matar campo vectorial , un campo vectorial en una variedad riemanniana
• Campo de vector solenoidal , un campo de vector con divergencia cero
• Potencial vectorial , un campo vectorial cuyo rizo es un campo vectorial dado.
• Flujo vectorial , un conjunto de conceptos estrechamente relacionados del flujo determinado por un campo vectorial

Varios

• Cálculo de Ricci
• Vector Analysis , un libro de texto sobre cálculo vectorial de Wilson , publicado por primera vez en 1901, que hizo mucho para estandarizar la notación y el vocabulario del álgebra lineal tridimensional y el cálculo vectorial.
• Vector bundle , una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio
• Cálculo de vectores , una rama de las matemáticas que se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales
• Diferencial vectorial , o del , un operador diferencial vectorial representado por el símbolo nabla${\displaystyle \nabla }$
• Vector Laplacian , el operador vectorial de Laplace, denotado por , es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial${\displaystyle \nabla ^{2}}$
• Notación vectorial , notación común utilizada al trabajar con vectores.
• Operador vectorial , un tipo de operador diferencial utilizado en el cálculo vectorial.
• Producto vectorial , o producto cruzado, una operación sobre dos vectores en un espacio euclidiano tridimensional, que produce un tercer vector euclidiano tridimensional.
• Proyección vectorial , también conocida como vector resuelto o componente vectorial , un mapeo lineal que produce un vector paralelo a un segundo vector
• Función con valores vectoriales , una función que tiene un espacio vectorial como codominio
• Vectorización (matemáticas) , una transformación lineal que convierte una matriz en un vector columna
• Autorregresión vectorial , un modelo econométrico utilizado para capturar la evolución y las interdependencias entre múltiples series de tiempo.
• Bosón vectorial , un bosón con el número cuántico de espín igual a 1
• Medida vectorial , una función definida en una familia de conjuntos y que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades.
• Mesón vectorial , un mesón con espín total 1 y paridad impar
• Cuantización vectorial , una técnica de cuantificación utilizada en el procesamiento de señales.
• Vector soliton , una onda solitaria con múltiples componentes acoplados que mantiene su forma durante la propagación.
• Síntesis vectorial , un tipo de síntesis de audio.

Notas

1. "vector | Definición y hechos" . Enciclopedia Británica . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
2. En algunos textos antiguos, el par ( A , B ) se llama vector ligado y su clase de equivalencia se llama vector libre .
3. "1.1: Vectores" . LibreTexts de Matemáticas . 2013-11-07 . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
4. "Vectores" . www.mathsisfun.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
5. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
6. Weisstein, Eric W. "Vector" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .