En geometría tridimensional, para una superficie plana finita de área escalar S y normal unitaria n̂ , el área vectorial S se define como la normal unitaria escalada por el área:
Para una superficie orientable S compuesta por un conjunto S i de áreas de facetas planas , el área vectorial de la superficie está dada por
donde n̂ i es el vector normal unitario al área S i .
Para superficies curvas delimitadas y orientadas que se comportan suficientemente bien , aún podemos definir el área del vector. Primero, dividimos la superficie en elementos infinitesimales, cada uno de los cuales es efectivamente plano. Para cada elemento infinitesimal de área, tenemos un vector de área, también infinitesimal.
donde n̂ es el vector unitario local perpendicular a dS . La integración da el área vectorial de la superficie.
Para una superficie curva o facetada, el área del vector es de menor magnitud que el área. Como ejemplo extremo, una superficie cerrada puede poseer un área arbitrariamente grande, pero su área vectorial es necesariamente cero. [1] Las superficies que comparten un límite pueden tener áreas muy diferentes, pero deben tener la misma área vectorial; el área vectorial está completamente determinada por el límite. Estas son consecuencias del teorema de Stokes .
El concepto de vector de área simplifica la ecuación para determinar el flujo a través de la superficie. Considere una superficie plana en un campo uniforme . El flujo se puede escribir como el producto escalar del vector de campo y de área. Esto es mucho más simple que multiplicar la intensidad del campo por el área de la superficie y el coseno del ángulo entre el campo y la normal de la superficie.
Proyección de área en planos
El área proyectada sobre (por ejemplo) el plano xy es equivalente al componente z del área vectorial, y se da como
donde θ es el ángulo entre la normal del plano y el eje z .
Ver también
Notas
- ^ Spiegel, Murray R. (1959). Teoría y problemas del análisis vectorial . Serie de esquemas de Schaum. McGraw Hill. pag. 25.