diagrama de Venn

Diagrama que muestra todas las posibles relaciones lógicas entre una colección de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra los glifos en mayúsculas compartidos por los alfabetos griego , latino y ruso

Parte de una serie de estadísticas
Teoría de probabilidad
Axiomas de probabilidad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento elemental Evento Variable aleatoria Medida de probabilidad
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal La probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes La desigualdad de Boole
diagrama de Venn Diagrama de árbol
v t mi

Un diagrama de Venn es un estilo de diagrama ampliamente utilizado que muestra la relación lógica entre conjuntos , popularizado por John Venn en la década de 1880. Los diagramas se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental y para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad , lógica , estadística , lingüística e informática . Un diagrama de Venn usa curvas cerradas dibujadas en un plano para representar conjuntos. Muy a menudo, estas curvas son círculos o elipses.

Se habían propuesto ideas similares antes de Venn. Christian Weise en 1712 ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) y Leonhard Euler ( Cartas a una princesa alemana ) en 1768, por ejemplo, presentaron ideas similares. La idea fue popularizada por Venn en Symbolic Logic , Capítulo V "Representación esquemática", 1881.

Detalles

Un diagrama de Venn también puede denominarse diagrama primario , diagrama de conjuntos o diagrama lógico . Es un diagrama que muestra todas las posibles relaciones lógicas entre una colección finita de diferentes conjuntos . Estos diagramas representan elementos como puntos en el plano y conjuntos como regiones dentro de curvas cerradas. Un diagrama de Venn consta de múltiples curvas cerradas superpuestas, generalmente círculos, cada una de las cuales representa un conjunto. Los puntos dentro de una curva etiquetada S representan elementos del conjunto S , mientras que los puntos fuera del límite representan elementos que no están en el conjunto S. Esto se presta a visualizaciones intuitivas; Por ejemplo, el conjunto de todos los elementos que son miembros de ambos conjuntos S y T , denotado S  ∩  T y leer "la intersección de S y T ", se representa visualmente por el área de superposición de las regiones S y T . ^{[1] [2]}

En los diagramas de Venn, las curvas se superponen de todas las formas posibles, mostrando todas las relaciones posibles entre los conjuntos. Por tanto, son un caso especial de los diagramas de Euler , que no necesariamente muestran todas las relaciones. Los diagramas de Venn fueron concebidos alrededor de 1880 por John Venn . Se utilizan para enseñar teoría de conjuntos elemental , así como para ilustrar relaciones de conjuntos simples en probabilidad , lógica , estadística , lingüística e informática .

Un diagrama de Venn en el que el área de cada forma es proporcional al número de elementos que contiene se denomina diagrama de Venn de área proporcional (o escalado ) .

Los diagramas de Venn se utilizan mucho en la lógica de la rama de razonamiento de clases .

Ejemplo

Conjuntos A (criaturas con dos patas) y B (criaturas que vuelan)

Este ejemplo involucra dos conjuntos, A y B, representados aquí como círculos de colores. El círculo naranja, conjunto A, representa todos los tipos de criaturas vivientes que tienen dos patas. El círculo azul, conjunto B, representa las criaturas vivientes que pueden volar. Cada tipo de criatura por separado se puede imaginar como un punto en algún lugar del diagrama. Las criaturas vivientes que pueden volar y tener dos patas, por ejemplo, los loros, están entonces en ambos conjuntos, por lo que corresponden a puntos en la región donde se superponen los círculos azul y naranja. Esta región superpuesta solo contendría aquellos elementos (en este ejemplo, criaturas) que son miembros del conjunto A (criaturas de dos patas) y del conjunto B (criaturas voladoras).

Los seres humanos y los pingüinos son bípedos, y también lo son en el círculo naranja, pero como no pueden volar, aparecen en la parte izquierda del círculo naranja, donde no se superpone con el círculo azul. Los mosquitos pueden volar, pero tienen seis patas, no dos, por lo que el punto para los mosquitos está en la parte del círculo azul que no se superpone con el naranja. Las criaturas que no tienen dos patas y no pueden volar (por ejemplo, ballenas y arañas) estarían representadas por puntos fuera de ambos círculos.

La región combinada de los conjuntos A y B se llama la unión de A y B, denotado por A ∪ B . ^{[1] [3]} La unión en este caso contiene todas las criaturas vivientes que tienen dos patas o pueden volar (o ambas).

La región incluido en ambos A y B, donde los dos conjuntos se superponen, se llama la intersección de A y B, denotado por A ∩ B . ^{[1] [3]} En este ejemplo, la intersección de los dos conjuntos no está vacío, porque no son puntos que representan criaturas que son en tanto la naranja y círculos azules.

Historia

Vidriera con diagrama de Venn en Gonville and Caius College, Cambridge

Los diagramas de Venn fueron introducidos en 1880 por John Venn en un artículo titulado "Sobre la representación esquemática y mecánica de proposiciones y razonamientos" en Philosophical Magazine y Journal of Science , sobre las diferentes formas de representar proposiciones mediante diagramas. ^{[4] [5] [6]} El uso de este tipo de diagramas en la lógica formal , según Frank Ruskeyy Mark Weston, "no es una historia fácil de rastrear, pero es seguro que los diagramas que se asocian popularmente con Venn, de hecho, se originaron mucho antes. Sin embargo, están correctamente asociados con Venn porque él examinó y formalizó exhaustivamente sus uso, y fue el primero en generalizarlos ". ^[7]

El propio Venn no utilizó el término "diagrama de Venn" y se refirió a su invención como " Círculos Eulerianos ". ^[6] Por ejemplo, en la frase inicial de su artículo de 1880, Venn escribe: "Los esquemas de representación diagramática se han introducido tan familiarmente en los tratados de lógica durante el último siglo, que muchos lectores, incluso aquellos que no han realizado un estudio profesional de lógica, se puede suponer que está familiarizado con la naturaleza general y el objeto de tales dispositivos. De estos esquemas, sólo uno, a saber, el comúnmente llamado 'círculos eulerianos', ha encontrado una aceptación general ... " ^{[4] [5]} Lewis Carroll ( Charles L. Dodgson) incluye el "Método de los diagramas de Venn" así como el "Método de los diagramas de Euler" en un "Apéndice, dirigido a los profesores" de su libro Lógica simbólica (cuarta edición publicada en 1896). El término "diagrama de Venn" fue utilizado más tarde por Clarence Irving Lewis en 1918, en su libro A Survey of Symbolic Logic . ^{[7] [8]}

Los diagramas de Venn son muy similares a los diagramas de Euler , que fueron inventados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. ^{[nota 1] [9] [10]} M. E. Baron ha señalado que Leibniz (1646-1716) produjo diagramas similares antes de Euler en el siglo XVII, pero gran parte de ellos no se publicó. ^[11] También observa diagramas similares a Euler de Ramon Llull en el siglo XIII, incluso anteriores . ^[12]

En el siglo XX, se desarrollaron aún más los diagramas de Venn. David Wilson Henderson mostró, en 1963, que la existencia de un n diagrama -Venn con n -fold simetría rotacional implicaba que n era un número primo . ^[13] También mostró que tales diagramas de Venn simétricos existen cuando n es cinco o siete. En 2002, Peter Hamburger encontró diagramas de Venn simétricos para n = 11 y en 2003, Griggs, Killian y Savage demostraron que existen diagramas de Venn simétricos para todos los demás primos. Estos resultados combinados muestran que existen diagramas de Venn rotacionalmente simétricos, si y solo si n es un número primo.^[14]

Los diagramas de Venn y los diagramas de Euler se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos , como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960. Desde entonces, también se han adoptado en el plan de estudios de otros campos como la lectura. ^[15]

En 2020, la sexóloga Dra. Lindsey Doe comenzó a usar la palabra " coño " para referirse a la intersección de A y B en un diagrama de Venn. Este fue un intento de agregar este uso de la palabra a un diccionario para 2023. ^{[16] [se necesita una mejor fuente ]}

Resumen

Ver también: Set (matemáticas) § Operaciones básicas

• Intersección de dos conjuntos${\displaystyle ~A\cap B}$

• Unión de dos conjuntos${\displaystyle ~A\cup B}$

• Diferencia simétrica de dos conjuntos${\displaystyle A~\triangle ~B}$

• Complemento relativo de A (izquierda) en B (derecha)${\displaystyle A^{c}\cap B~=~B\setminus A}$

• Complemento absoluto de A en U ${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$

Un diagrama de Venn se construye con una colección de curvas cerradas simples dibujadas en un plano. Según Lewis, ^[8] el "principio de estos diagramas es que las clases [o conjuntos ] se representan mediante regiones en tal relación entre sí que todas las posibles relaciones lógicas de estas clases se pueden indicar en el mismo diagrama. Es decir, el diagrama inicialmente deja espacio para cualquier posible relación de las clases, y la relación real o dada puede especificarse indicando que alguna región en particular es nula o no nula ". ^{[8] : 157}

Los diagramas de Venn normalmente comprenden círculos superpuestos . El interior del círculo representa simbólicamente los elementos del conjunto, mientras que el exterior representa elementos que no son miembros del conjunto. Por ejemplo, en un diagrama de Venn de dos conjuntos, un círculo puede representar el grupo de todos los objetos de madera , mientras que el otro círculo puede representar el conjunto de todas las mesas. La región superpuesta, o intersección , representaría el conjunto de todas las mesas de madera. Se pueden emplear formas distintas a los círculos como se muestra a continuación en los propios diagramas de conjuntos superiores de Venn. Los diagramas de Venn generalmente no contienen información sobre los tamaños relativos o absolutos ( cardinalidad ) de los conjuntos. Es decir, son esquemáticos los diagramas generalmente no están dibujados a escala.

Los diagramas de Venn son similares a los diagramas de Euler . Sin embargo, un diagrama de Venn para n conjuntos de componentes debe contener las 2 ⁿ zonas hipotéticamente posibles, que corresponden a alguna combinación de inclusión o exclusión en cada uno de los conjuntos de componentes. ^{[17] Los} diagramas de Euler contienen solo las zonas realmente posibles en un contexto dado. En los diagramas de Venn, una zona sombreada puede representar una zona vacía, mientras que en un diagrama de Euler, la zona correspondiente falta en el diagrama. Por ejemplo, si un conjunto representa productos lácteos y otro quesos , el diagrama de Venn contiene una zona para quesos que no son productos lácteos. Suponiendo que en el contexto quesosignifica algún tipo de producto lácteo, el diagrama de Euler tiene la zona de queso completamente contenida dentro de la zona de productos lácteos; no hay zona para el queso no lácteo (inexistente). Esto significa que a medida que aumenta el número de contornos, los diagramas de Euler suelen ser menos complejos visualmente que el diagrama de Venn equivalente, especialmente si el número de intersecciones no vacías es pequeño. ^[18]

La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Toma los tres conjuntos:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:

• Diagrama de Euler

• diagrama de Venn

Extensiones a un mayor número de conjuntos

Los diagramas de Venn generalmente representan dos o tres conjuntos, pero hay formas que permiten números más altos. A continuación, cuatro esferas que se cruzan forman el diagrama de Venn de orden más alto que tiene la simetría de un simplex y se puede representar visualmente. Las 16 intersecciones corresponden a los vértices de un tesseract (o las celdas de un 16 celdas , respectivamente).

Para un mayor número de conjuntos, es inevitable cierta pérdida de simetría en los diagramas. Venn estaba ansioso por encontrar "figuras simétricas ... elegantes en sí mismas", ^[9] que representaran un mayor número de conjuntos, e ideó un elegante diagrama de cuatro conjuntos utilizando elipses (ver más abajo). También dio una construcción para los diagramas de Venn para cualquier número de conjuntos, donde cada curva sucesiva que delimita un conjunto se entrelaza con las curvas anteriores, comenzando con el diagrama de tres círculos.

• Construcción de Venn para cuatro juegos

• Construcción de Venn para cinco sets

• Construcción de Venn para seis juegos

• Diagrama de cuatro conjuntos de Venn usando elipses

• Sin ejemplo: este diagrama de Euler no es un diagrama de Venn para cuatro conjuntos, ya que solo tiene 13 regiones (excluyendo el exterior); no hay región donde solo se unan el amarillo y el azul, o solo los círculos rojo y verde.

• Diagrama de Venn de cinco conjuntos que usa elipses congruentes en una disposición simétrica rotacional de cinco veces ideada por Branko Grünbaum . Las etiquetas se han simplificado para una mayor legibilidad; por ejemplo, A denota A ∩ B ^c ∩ C ^c ∩ D ^c ∩ E ^c , mientras BCE denota A ^c ∩ B ∩ C ∩ D ^c ∩ E .

• Diagrama de Venn de seis conjuntos formado solo por triángulos (versión interactiva)

Diagramas de Edwards-Venn

• Tres juegos

• Cuatro juegos

• Cinco juegos

• Seis juegos

Anthony William Fairbank Edwards construyó una serie de diagramas de Venn para un mayor número de conjuntos segmentando la superficie de una esfera, que se conoció como diagramas de Edwards-Venn. ^[19] Por ejemplo, tres conjuntos se pueden representar fácilmente tomando tres hemisferios de la esfera en ángulos rectos ( x  = 0, y  = 0 yz  = 0). Se puede agregar un cuarto conjunto a la representación, tomando una curva similar a la costura de una pelota de tenis, que sube y baja alrededor del ecuador, y así sucesivamente. Los conjuntos resultantes se pueden proyectar de nuevo a un plano, para obtener diagramas de rueda dentada con un número creciente de dientes, como se muestra aquí. Estos diagramas fueron ideados mientras se diseñaba una vidrieraventana en memoria de Venn. ^[19]

Otros diagramas

Los diagramas de Edwards-Venn son topológicamente equivalentes a los diagramas ideados por Branko Grünbaum , que se basaban en polígonos que se cruzan con un número creciente de lados. También son representaciones bidimensionales de hipercubos .

Henry John Stephen Smith ideó diagramas de n conjuntos similares utilizando curvas sinusoidales ^[19] con la serie de ecuaciones

${\displaystyle y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2i}}{\text{ where }}0\leq i\leq n-2{\text{ and }}i\in \mathbb {N} .}$

Charles Lutwidge Dodgson (también conocido como Lewis Carroll ) ideó un diagrama de cinco conjuntos conocido como el cuadrado de Carroll . Joaquín y Boyles, por otro lado, propusieron reglas suplementarias para el diagrama de Venn estándar, con el fin de dar cuenta de ciertos casos de problemas. Por ejemplo, con respecto al tema de la representación de enunciados singulares, sugieren considerar el círculo del diagrama de Venn como una representación de un conjunto de cosas y utilizar la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos para tratar los enunciados categóricos como enunciados sobre conjuntos. Además, proponen tratar las declaraciones singulares como declaraciones sobre la pertenencia a un conjunto.. Entonces, por ejemplo, para representar el enunciado "a es F" en este diagrama de Venn modificado, se puede colocar una letra pequeña "a" dentro del círculo que representa el conjunto F. ^[20]

Conceptos relacionados

Diagrama de Venn como tabla de verdad

Los diagramas de Venn corresponden a tablas de verdad para las proposiciones , etc., en el sentido de que cada región del diagrama de Venn corresponde a una fila de la tabla de verdad. ^{[21] [22]} Este tipo también se conoce como diagrama de Johnston. Otra forma de representar conjuntos es con los diagramas R de John F. Randolph .${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\in B}$

Ver también

• Gráfico existencial (por Charles Sanders Peirce )
• Lógica de clase
• Conectivos lógicos
• Diagrama de información
• Diagrama de Marquand (y como derivación adicional, el diagrama de Veitch y el mapa de Karnaugh )
• Octaedro esférico : una proyección estereográfica de un octaedro regular crea un diagrama de Venn de tres conjuntos, como tres grandes círculos ortogonales, cada uno de los cuales divide el espacio en dos mitades.
• Modelo de tres círculos
• Triquetra
• Vesica piscis

Notas

1. En Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie de Euler[Cartas a una princesa alemana sobre diversos temas físicos y filosóficos] (San Petersburgo, Rusia: l'Academie Impériale des Sciences, 1768), volumen 2, páginas 95-126. En el artículo de Venn, sin embargo, sugiere que la idea diagramática es anterior a Euler y es atribuible a Christian Weise o Johann Christian Lange (en el libro de Lange Nucleus Logicae Weisianae (1712)).

Referencias

1. "Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
2. "Intersección de conjuntos" . web.mnstate.edu . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
3. "Conjuntos y diagramas de Venn" . www.mathsisfun.com . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
4. Venn, John (julio de 1880). "I. Sobre la representación esquemática y mecánica de proposiciones y razonamientos" (PDF) . The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science . 5. 10 (59): 1–18. doi : 10.1080 / 14786448008626877 . Archivado (PDF) desde el original el 16 de mayo de 2017. [1] [2]
5. Venn, John (1880). "Sobre el empleo de diagramas geométricos para las representaciones sensibles de proposiciones lógicas" . Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 4 : 47–59.
6. Sandifer, Ed (2003). "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . MAA en línea . La Asociación Matemática de América (MAA) . Consultado el 26 de octubre de 2009 .
7. Ruskey, Frank ; Weston, Mark (18 de junio de 2005). "Una encuesta de diagramas de Venn" . La Revista Electrónica de Combinatoria .
8. Lewis, Clarence Irving (1918). Un estudio de lógica simbólica . Berkeley: Prensa de la Universidad de California .
9. Venn, John (1881). Lógica simbólica . Macmillan . pag. 108 . Consultado el 9 de abril de 2013 .
10. Mac Queen, Gailand (octubre de 1967). El diagrama lógico (PDF) (Tesis). Universidad McMaster . Archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2017 . Consultado el 14 de abril de 2017 . (NB. Tiene un historial detallado de la evolución de los diagramas lógicos que incluye, entre otros, el diagrama de Venn).
11. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1903) [ca. 1690]. "De Formae Logicae per linearum ductus". En Couturat, Louis (ed.). Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz (en latín). págs. 292–321.
12. Baron, Margaret E. (mayo de 1969). "Una nota sobre el desarrollo histórico de los diagramas lógicos". La Gaceta Matemática . 53 (384): 113–125. doi : 10.2307 / 3614533 . JSTOR 3614533 . 
13. Henderson, David Wilson (abril de 1963). "Diagramas de Venn para más de cuatro clases". American Mathematical Monthly . 70 (4): 424–426. doi : 10.2307 / 2311865 . JSTOR 2311865 . 
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15. "Estrategias para diagramas de Venn de comprensión lectora" . Archivado desde el original el 29 de abril de 2009 . Consultado el 20 de junio de 2009 .
16. "Una nueva definición de coño - YouTube" . www.youtube.com . Consultado el 28 de diciembre de 2020 .
17. Weisstein, Eric W. "Diagrama de Venn" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
18. "Diagramas de Euler 2004: Brighton, Reino Unido: 22-23 de septiembre" . Proyecto de razonamiento con diagramas, Universidad de Kent. 2004 . Consultado el 13 de agosto de 2008 .
19. Edwards, Anthony William Fairbank (2004). Ruedas dentadas de la mente: la historia de los diagramas de Venn . Baltimore, Maryland, EE.UU .: Johns Hopkins University Press . pag. 65. ISBN 978-0-8018-7434-5..
20. Joaquín, Jeremías Joven; Boyles, Robert James M. (junio de 2017). "Enseñanza de la lógica silogística a través de una técnica de diagramación de Venn remodelada" . Enseñanza de la filosofía . 40 (2): 161–180. doi : 10.5840 / teachphil201771767 . Archivado desde el original el 21 de noviembre de 2018 . Consultado el 12 de mayo de 2020 .
21. Grimaldi, Ralph P. (2004). Matemática discreta y combinatoria . Boston: Addison-Wesley . pag. 143. ISBN 978-0-201-72634-3.
22. Johnson, David L. (2001). "3.3 Leyes" . Elementos de lógica mediante números y conjuntos . Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer. Berlín, Alemania: Springer-Verlag . pag. 62 . ISBN 978-3-540-76123-5.

Lectura adicional

• Mahmoodian, Ebadollah S .; Rezaie, M .; Vatan, F. (marzo de 1987). "Generalización del diagrama de Venn" (PDF) . Decimoctava Conferencia Anual de Matemáticas de Irán . Teherán e Isfahan, Irán. Archivado desde el original (PDF) el 1 de mayo de 2017 . Consultado el 1 de mayo de 2017 .
• Edwards, Anthony William Fairbank (7 de enero de 1989). "Diagramas de Venn para muchos conjuntos". Nuevo científico . 121 (1646): 51–56.
• Watkinson, John (1990). "4.10. Distancia de Hamming". Codificación para grabación digital . Stoneham, MA, EE.UU .: Focal Press . págs. 94–99, desplegable en la manga trasera. ISBN 978-0-240-51293-8. (NB. El libro viene con un desplegable de 3 páginas de un diagrama de Venn cilíndrico de siete bits).
• Stewart, Ian (junio de 2003) [1992]. "Capítulo 4. Ruedas dentadas de la mente" . Otra buena matemática en la que me has metido (reimpresión de la 1ª ed.). Mineola, Nueva York, EE.UU .: Dover Publications, Inc. ( WH Freeman ). págs. 51–64. ISBN 978-0-486-43181-9.
• Glassner, Andrew (2004). "Venn y ahora". Morfos, patos silvestres y montajes: imaginación asistida por computadora . Wellesley, MA, EE.UU .: AK Peters . págs. 161-184. ISBN 978-1568812311.
• Mamakani, Khalegh; Ruskey, Frank ( 27 de julio de 2012 ). "Una nueva rosa: el primer diagrama de Venn simétrico simple de 11" . pag. 6452. arXiv : 1207.6452 . Código bibliográfico : 2012arXiv1207.6452M . Archivado desde el original el 1 de mayo de 2017 . Consultado el 1 de mayo de 2017 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los diagramas de Venn .

• "Diagrama de Venn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El juego de lógica de Lewis Carroll: Venn contra Euler en Cut-the-knot
• Seis conjuntos de diagramas de Venn hechos de triángulos
• Diagrama de Venn interactivo de siete conjuntos
• VBVenn es un programa gratuito de código abierto para calcular y graficar diagramas de Venn cuantitativos de dos círculos