En geometría , un vértice (en plural: vértices o vértices ), a menudo denotado por letras como, , , , [1] es un punto donde se unen dos o más curvas , líneas o bordes . Como consecuencia de esta definición, el punto donde dos líneas se unen para formar un ángulo y las esquinas de los polígonos y poliedros son vértices. [2] [3] [4]
Definición
De un ángulo
El vértice de un ángulo es el punto donde dos rayos comienzan o se encuentran, donde dos segmentos de línea se unen o se encuentran, donde dos líneas se cruzan (cruzan), o cualquier combinación apropiada de rayos, segmentos y líneas que resultan en dos "lados" rectos que se encuentran en un solo lugar. [5] [4]
De un politopo
Un vértice es un punto de esquina de un polígono , poliedro u otro politopo de mayor dimensión , formado por la intersección de bordes , caras o facetas del objeto. [5]
En un polígono, un vértice se llama " convexo " si el ángulo interno del polígono (es decir, el ángulo formado por los dos bordes en el vértice con el polígono dentro del ángulo) es menor que π radianes (180 °, dos ángulos rectos ); de lo contrario, se llama "cóncavo" o "reflejo". [6] De manera más general, un vértice de un poliedro o politopo es convexo, si la intersección del poliedro o politopo con una esfera suficientemente pequeña centrada en el vértice es convexa y cóncava en caso contrario.
Los vértices de politopo están relacionados con los vértices de gráficos , en que el esqueleto 1 de un politopo es un gráfico, cuyos vértices corresponden a los vértices del politopo, [7] y en que un gráfico puede verse como un complejo simplicial cuyos vértices son los vértices del grafo.
Sin embargo, en la teoría de grafos , los vértices pueden tener menos de dos aristas incidentes, lo que generalmente no está permitido para los vértices geométricos. También hay una conexión entre los vértices geométricos y los vértices de una curva , sus puntos de curvatura extrema: en cierto sentido los vértices de un polígono son puntos de curvatura infinita, y si un polígono se aproxima por una curva suave, habrá una punto de curvatura extrema cerca de cada vértice del polígono. [8] Sin embargo, una aproximación de curva suave a un polígono también tendrá vértices adicionales, en los puntos donde su curvatura es mínima.
De un avión embaldosado
Un vértice de un plano en mosaico o teselado es un punto donde se encuentran tres o más mosaicos; [9] generalmente, pero no siempre, los mosaicos de un mosaico son polígonos y los vértices del mosaico son también vértices de sus mosaicos. De manera más general, una teselación puede verse como una especie de complejo celular topológico , al igual que las caras de un poliedro o politopo; los vértices de otros tipos de complejos, como los complejos simpliciales, son sus caras de dimensión cero.
Vértice principal
Un vértice de polígono x i de un polígono simple P es un vértice de polígono principal si la diagonal [ x (i - 1) , x (i + 1) ] interseca el límite de P solo en x (i - 1) y x (i + 1) . Hay dos tipos de vértices principales: orejas y bocas . [10]
Orejas
Un vértice principal de x i de un polígono simple P se llama un oído si la diagonal [ x (i - 1) , x (i + 1) ] que los puentes x i se encuentra totalmente en P . (ver también polígono convexo ) De acuerdo con el teorema de las dos orejas , cada polígono simple tiene al menos dos orejas. [11]
Bocas
Un vértice principal de x i de un polígono simple P se llama una boca si la diagonal [ x (i - 1) , x (i + 1) ] se encuentra fuera de los límites de P .
Número de vértices de un poliedro
La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler
donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por tanto, el número de vértices es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de caras. Por ejemplo, dado que un cubo tiene 12 aristas y 6 caras, la fórmula implica que tiene 8 vértices.
Vértices en gráficos por computadora
En los gráficos por computadora , los objetos a menudo se representan como poliedros triangulados en los que los vértices del objeto están asociados no solo con tres coordenadas espaciales sino también con otra información gráfica necesaria para representar el objeto correctamente, como colores, propiedades de reflectancia , texturas y normal de la superficie ; [12] estas propiedades se utilizan en el renderizado por un sombreador de vértices , parte de la canalización de vértices .
Ver también
- Disposición de vértice
- Figura de vértice
Referencias
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Vertex" . MathWorld .
- ^ "Vértices, aristas y caras" . www.mathsisfun.com . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
- ^ a b "¿Qué son los vértices en matemáticas?" . Ciencia . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
- ^ a b Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover.
- (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
- ^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentos de los métodos de elementos discretos para la ingeniería de rocas: teoría y aplicaciones . Ciencia de Elsevier.
- ^ Peter McMullen , Egon Schulte, Politopos regulares abstractos, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Página 29)
- ^ Bobenko, Alexander I .; Schröder, Peter; Sullivan, John M .; Ziegler, Günter M. (2008). Geometría diferencial discreta . Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
- ^ MV Jaric, ed, Introducción a las matemáticas de los cuasicristales (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0 , Academic Press, 1989.
- ^ Devadoss, Satyan ; O'Rourke, Joseph (2011). Geometría discreta y computacional . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-14553-2.
- ^ Meisters, GH (1975), "Los polígonos tienen orejas", The American Mathematical Monthly , 82 : 648–651, doi : 10.2307 / 2319703 , MR 0367792.
- ^ Christen, Martin. "Tutoriales de Clockworkcoders: Atributos de vértice" . Grupo Khronos . Consultado el 26 de enero de 2009 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polygon Vertex" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Vértice poliedro" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Vértice principal" . MathWorld .