Vibración

La vibración es un fenómeno mecánico por el cual ocurren oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio . La palabra proviene del latín vibraciónem ("temblar, blandir"). Las oscilaciones pueden ser periódicas , como el movimiento de un péndulo, o aleatorias , como el movimiento de un neumático en un camino de grava.

La vibración puede ser deseable: por ejemplo, el movimiento de un diapasón , la lengüeta de un instrumento de viento de madera o armónica , un teléfono móvil o el cono de un altavoz .

En muchos casos, sin embargo, la vibración es indeseable, desperdiciando energía y creando sonidos no deseados . Por ejemplo, los movimientos vibratorios de motores , motores eléctricos o cualquier dispositivo mecánico en funcionamiento no suelen ser deseados. Estas vibraciones pueden deberse a desequilibrios en las piezas giratorias, fricción desigual o engrane de los dientes de los engranajes . Los diseños cuidadosos generalmente minimizan las vibraciones no deseadas.

Los estudios de sonido y vibración están estrechamente relacionados. El sonido, o las ondas de presión , son generados por estructuras vibratorias (por ejemplo, cuerdas vocales ); estas ondas de presión también pueden inducir la vibración de estructuras (por ejemplo, tímpano ). Por lo tanto, los intentos de reducir el ruido a menudo están relacionados con problemas de vibración. ^[1]

Uno de los posibles modos de vibración de un tambor circular (ver otros modos ).

Suspensión de automóviles: el diseño del control de vibraciones se realiza como parte de la ingeniería acústica , automotriz o mecánica .

Tipos de vibraciones

La vibración libre ocurre cuando un sistema mecánico se pone en movimiento con una entrada inicial y se le permite vibrar libremente. Ejemplos de este tipo de vibración son tirar de un niño hacia atrás en un columpio y soltarlo, o golpear un diapasón y dejarlo sonar. El sistema mecánico vibra en una o más de sus frecuencias naturales y se amortigua hasta quedar inmóvil.

La vibración forzada es cuando se aplica una perturbación variable en el tiempo (carga, desplazamiento o velocidad) a un sistema mecánico. La perturbación puede ser una entrada periódica y de estado estable, una entrada transitoria o una entrada aleatoria. La entrada periódica puede ser una perturbación armónica o no armónica. Ejemplos de estos tipos de vibración incluyen una lavadora que se sacude debido a un desequilibrio, la vibración del transporte causada por un motor o una carretera irregular, o la vibración de un edificio durante un terremoto. Para los sistemas lineales, la frecuencia de la respuesta de vibración en estado estable resultante de la aplicación de una entrada armónica periódica es igual a la frecuencia de la fuerza o movimiento aplicados, y la magnitud de la respuesta depende del sistema mecánico real.

Vibración amortiguada: cuando la energía de un sistema vibratorio se disipa gradualmente por la fricción y otras resistencias, se dice que las vibraciones están amortiguadas. Las vibraciones se reducen gradualmente o cambian de frecuencia o intensidad o cesan y el sistema descansa en su posición de equilibrio. Un ejemplo de este tipo de vibraciones es la suspensión vehicular amortiguada por el amortiguador .

Ensayo de vibraciones

La prueba de vibración se logra introduciendo una función de fuerza en una estructura, generalmente con algún tipo de agitador. Alternativamente, se adjunta un dispositivo bajo prueba (DUT) a la "mesa" de un agitador. La prueba de vibración se realiza para examinar la respuesta de un dispositivo bajo prueba (DUT) a un entorno de vibración definido. La respuesta medida puede ser la capacidad de funcionar en el entorno de vibración, la vida de fatiga, las frecuencias de resonancia o la salida de sonido de chirrido y traqueteo ( NVH ). La prueba de chirridos y traqueteos se realiza con un tipo especial de agitador silencioso que produce niveles de sonido muy bajos mientras está en funcionamiento.

Para el forzado de frecuencia relativamente baja (típicamente menos de 100 Hz), se utilizan agitadores servohidráulicos (electrohidráulicos). Para frecuencias más altas (típicamente de 5 Hz a 2000 Hz), se utilizan agitadores electrodinámicos. Generalmente, uno o más puntos de "entrada" o "control" ubicados en el lado del dispositivo bajo prueba de un dispositivo de vibración se mantienen a una aceleración especificada. ^[1] Otros puntos de "respuesta" pueden experimentar niveles de vibración más altos (resonancia) o niveles de vibración más bajos (antirresonancia o amortiguación) que los puntos de control. A menudo es deseable lograr la anti-resonancia para evitar que un sistema se vuelva demasiado ruidoso o para reducir la tensión en ciertas partes debido a los modos de vibración causados ​​por frecuencias de vibración específicas. ^[2]

Los tipos más comunes de servicios de prueba de vibraciones realizados por los laboratorios de prueba de vibraciones son sinusoidales y aleatorios. Se realizan pruebas sinusoidales (una frecuencia a la vez) para examinar la respuesta estructural del dispositivo bajo prueba (DUT). Durante la historia temprana de las pruebas de vibración, los controladores de máquinas de vibración se limitaban solo a controlar el movimiento sinusoidal, por lo que solo se realizaban pruebas sinusoidales. Más tarde, los controladores analógicos y luego digitales más sofisticados pudieron proporcionar control aleatorio (todas las frecuencias a la vez). Por lo general, se considera que una prueba aleatoria (todas las frecuencias a la vez) replica más fielmente un entorno del mundo real, como las entradas de la carretera a un automóvil en movimiento.

La mayoría de las pruebas de vibración se llevan a cabo en un 'solo eje DUT' a la vez, aunque la mayoría de las vibraciones del mundo real ocurren en varios ejes simultáneamente. MIL-STD-810G, lanzado a finales de 2008, el método de prueba 527, requiere pruebas de excitadores múltiples. El dispositivo de prueba de vibración ^{[3] que se} utiliza para sujetar el dispositivo bajo prueba a la mesa vibratoria debe estar diseñado para el rango de frecuencia del espectro de prueba de vibración. Es difícil diseñar un dispositivo de prueba de vibraciones que duplique la respuesta dinámica (impedancia mecánica) ^[4] del montaje real en uso. Por esta razón, para asegurar la repetibilidad entre las pruebas de vibración, los dispositivos de vibración están diseñados para estar libres de resonancia ^[4] dentro del rango de frecuencia de prueba. Generalmente para dispositivos más pequeños y rangos de frecuencia más bajos, el diseñador puede apuntar a un diseño de dispositivo que esté libre de resonancias en el rango de frecuencia de prueba. Esto se vuelve más difícil a medida que aumenta el tamaño del dispositivo bajo prueba y aumenta la frecuencia de prueba. En estos casos, las estrategias de control multipunto pueden mitigar algunas de las resonancias que pueden estar presentes en el futuro.

Algunos métodos de prueba de vibración limitan la cantidad de diafonía (movimiento de un punto de respuesta en una dirección mutuamente perpendicular al eje bajo prueba) que puede exhibir el dispositivo de prueba de vibración. Los dispositivos diseñados específicamente para rastrear o registrar vibraciones se denominan vibroscopios .

Análisis de vibraciones

El análisis de vibraciones (VA), aplicado en un entorno industrial o de mantenimiento, tiene como objetivo reducir los costos de mantenimiento y el tiempo de inactividad del equipo mediante la detección de fallas en el equipo. ^{[5] [6] La} AV es un componente clave de un programa de monitoreo de condición (MC) y, a menudo, se lo denomina mantenimiento predictivo (PdM). ^[7] Más comúnmente, VA se usa para detectar fallas en equipos rotativos (ventiladores, motores, bombas y cajas de engranajes, etc.) tales como desequilibrio, desalineación, fallas de rodamientos de elementos rodantes y condiciones de resonancia. ^[8]

VA puede usar las unidades de Desplazamiento, Velocidad y Aceleración mostradas como una forma de onda de tiempo (TWF), pero más comúnmente se usa el espectro, derivado de una transformada rápida de Fourier del TWF. El espectro de vibración proporciona información de frecuencia importante que puede identificar el componente defectuoso.

Los fundamentos del análisis de vibraciones pueden entenderse estudiando el modelo simple de masa-resorte-amortiguador . De hecho, incluso una estructura compleja, como la carrocería de un automóvil, puede modelarse como una "suma" de modelos simples de masa-resorte-amortiguador. El modelo masa-resorte-amortiguador es un ejemplo de un oscilador armónico simple . Las matemáticas utilizadas para describir su comportamiento son idénticas a otros osciladores armónicos simples como el circuito RLC .

Nota: Este artículo no incluye las derivaciones matemáticas paso a paso, pero se centra en las principales ecuaciones y conceptos de análisis de vibraciones. Consulte las referencias al final del artículo para obtener derivaciones detalladas.

Vibración libre sin amortiguación

Modelo simple de resorte de masa

Para comenzar la investigación de masa-resorte-amortiguador, suponga que el amortiguamiento es insignificante y que no se aplica una fuerza externa a la masa (es decir, vibración libre). La fuerza aplicada a la masa por el resorte es proporcional a la cantidad de estiramiento del resorte "x" (asumiendo que el resorte ya está comprimido debido al peso de la masa). La constante de proporcionalidad, k, es la rigidez del resorte y tiene unidades de fuerza / distancia (por ejemplo, lbf / in o N / m). El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento de la masa adherida a ella:

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

La fuerza generada por la masa es proporcional a la aceleración de la masa dada por la segunda ley de movimiento de Newton :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

La suma de las fuerzas sobre la masa genera esta ecuación diferencial ordinaria :${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

Movimiento armónico simple del sistema masa-resorte

Suponiendo que el inicio de la vibración comienza estirando el resorte a la distancia de A y soltándolo, la solución a la ecuación anterior que describe el movimiento de la masa es:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

Esta solución dice que oscilará con un movimiento armónico simple que tiene una amplitud de A y una frecuencia de f _n . El número f _n se llama frecuencia natural no amortiguada . Para el sistema simple masa-resorte, f _n se define como:

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

Nota: la frecuencia angular ω (ω = 2 π f ) con las unidades de radianes por segundo se usa a menudo en ecuaciones porque simplifica las ecuaciones, pero normalmente se convierte a frecuencia ordinaria (unidades de Hz o, de manera equivalente, ciclos por segundo) cuando se indica el frecuencia de un sistema. Si se conoce la masa y la rigidez del sistema, la fórmula anterior puede determinar la frecuencia a la que el sistema vibra una vez puesto en movimiento por una perturbación inicial. Todo sistema vibratorio tiene una o más frecuencias naturales que vibra a la vez perturbado. Esta simple relación se puede utilizar para comprender en general lo que le sucede a un sistema más complejo una vez que agregamos masa o rigidez. Por ejemplo, la fórmula anterior explica por qué, cuando un automóvil o camión está completamente cargado, la suspensión se siente ″ más suave ″ que sin carga; la masa ha aumentado, lo que reduce la frecuencia natural del sistema.

Qué hace que el sistema vibre: desde el punto de vista de la conservación de la energía

El movimiento vibratorio podría entenderse en términos de conservación de energía . En el ejemplo anterior, el resorte se ha extendido por un valor de x y, por lo tanto, alguna energía potencial (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$) se almacena en la primavera. Una vez liberado, el resorte tiende a volver a su estado sin estirar (que es el estado de energía potencial mínima) y en el proceso acelera la masa. En el punto donde el resorte ha alcanzado su estado no estirado, toda la energía potencial que suministramos al estirarlo se ha transformado en energía cinética (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$). Entonces, la masa comienza a desacelerarse porque ahora está comprimiendo el resorte y en el proceso transfiere la energía cinética de regreso a su potencial. Por lo tanto, la oscilación del resorte equivale a la transferencia de energía cinética en energía potencial. En este modelo simple, la masa continúa oscilando para siempre a la misma magnitud, pero en un sistema real, la amortiguación siempre disipa la energía y finalmente hace que el resorte descanse.

Vibración libre con amortiguación

Modelo masa-resorte-amortiguador

Cuando se agrega un amortiguador "viscoso" al modelo, esto genera una fuerza que es proporcional a la velocidad de la masa. La amortiguación se llama viscosa porque modela los efectos de un fluido dentro de un objeto. La constante de proporcionalidad c se llama coeficiente de amortiguamiento y tiene unidades de Fuerza sobre la velocidad (lbf⋅s / in o N⋅s / m).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

La suma de las fuerzas sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

La solución a esta ecuación depende de la cantidad de amortiguamiento. Si la amortiguación es lo suficientemente pequeña, el sistema aún vibra, pero finalmente, con el tiempo, deja de vibrar. Este caso se llama subamortiguación, que es importante en el análisis de vibraciones. Si la amortiguación aumenta justo hasta el punto en que el sistema ya no oscila, el sistema ha alcanzado el punto de amortiguación crítica . Si la amortiguación se incrementa más allá de la amortiguación crítica, el sistema está sobreamortiguado . El valor que debe alcanzar el coeficiente de amortiguación para la amortiguación crítica en el modelo masa-resorte-amortiguador es:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

Para caracterizar la cantidad de amortiguación en un sistema se utiliza una relación denominada relación de amortiguación (también conocida como factor de amortiguación y% de amortiguación crítica). Esta relación de amortiguación es solo una relación de la amortiguación real sobre la cantidad de amortiguación necesaria para alcanzar la amortiguación crítica. La fórmula para la relación de amortiguación (${\displaystyle \zeta }$) del modelo masa-resorte-amortiguador es:

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

Por ejemplo, las estructuras metálicas (p. Ej., Fuselajes de aviones, cigüeñales de motores) tienen factores de amortiguación inferiores a 0,05, mientras que las suspensiones de automóviles están en el rango de 0,2 a 0,3. La solución al sistema subamortiguado para el modelo masa-resorte-amortiguador es la siguiente:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Vibración libre con relación de amortiguación de 0,1 y 0,3

El valor de X , la magnitud inicial y${\displaystyle \phi ,}$el cambio de fase , están determinados por la cantidad de estiramiento del resorte. Las fórmulas para estos valores se pueden encontrar en las referencias.

Frecuencias naturales amortiguadas y no amortiguadas

Los puntos principales a tener en cuenta de la solución son el término exponencial y la función coseno. El término exponencial define qué tan rápido se “amortigua” el sistema: cuanto mayor es la relación de amortiguación, más rápido se amortigua a cero. La función coseno es la parte oscilante de la solución, pero la frecuencia de las oscilaciones es diferente del caso no amortiguado.

En este caso, la frecuencia se denomina "frecuencia natural amortiguada", ${\displaystyle f_{\text{d}},}$ y se relaciona con la frecuencia natural no amortiguada mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

La frecuencia natural amortiguada es menor que la frecuencia natural no amortiguada, pero en muchos casos prácticos la relación de amortiguación es relativamente pequeña y, por tanto, la diferencia es insignificante. Por lo tanto, la descripción amortiguada y no amortiguada a menudo se omite cuando se indica la frecuencia natural (por ejemplo, con una relación de amortiguación de 0,1, la frecuencia natural amortiguada es solo un 1% menor que la no amortiguada).

Los gráficos al lado presentan cómo las relaciones de amortiguación de 0.1 y 0.3 afectan la forma en que el sistema “suena” hacia abajo con el tiempo. Lo que se hace a menudo en la práctica es medir experimentalmente la vibración libre después de un impacto (por ejemplo, con un martillo) y luego determinar la frecuencia natural del sistema midiendo la tasa de oscilación, así como la tasa de amortiguación midiendo la tasa de decaer. La frecuencia natural y la relación de amortiguación no solo son importantes en la vibración libre, sino que también caracterizan cómo se comporta un sistema bajo vibración forzada.

Masa de resorte subamortiguada

Masa de primavera críticamente amortiguada

Muelle sobreamortiguado

^[9]

Vibración forzada con amortiguación

El comportamiento del modelo de amortiguador de masa de resorte varía con la adición de una fuerza armónica. Una fuerza de este tipo podría generarse, por ejemplo, por un desequilibrio giratorio.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

La suma de las fuerzas sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

La solución de estado estable de este problema se puede escribir como:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

El resultado indica que la masa oscilará a la misma frecuencia, f , de la fuerza aplicada, pero con un cambio de fase${\displaystyle \phi .}$

La amplitud de la vibración "X" se define mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

Donde “r” se define como la relación entre la frecuencia de la fuerza armónica y la frecuencia natural no amortiguada del modelo masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

El cambio de fase, ${\displaystyle \phi ,}$ se define mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

La trama de estas funciones, llamada "la respuesta de frecuencia del sistema", presenta una de las características más importantes de la vibración forzada. En un sistema ligeramente amortiguado cuando la frecuencia de forzamiento se acerca a la frecuencia natural (${\displaystyle r\approx 1}$) la amplitud de la vibración puede llegar a ser extremadamente alta. Este fenómeno se denomina resonancia (posteriormente, la frecuencia natural de un sistema a menudo se denomina frecuencia de resonancia). En los sistemas de cojinetes de rotor, cualquier velocidad de rotación que excita una frecuencia de resonancia se denomina velocidad crítica .

Si se produce una resonancia en un sistema mecánico, puede ser muy dañina, lo que puede provocar una falla eventual del sistema. En consecuencia, una de las principales razones para el análisis de vibraciones es predecir cuándo puede ocurrir este tipo de resonancia y luego determinar qué pasos tomar para evitar que ocurra. Como muestra el gráfico de amplitud, agregar amortiguación puede reducir significativamente la magnitud de la vibración. Además, la magnitud se puede reducir si la frecuencia natural se puede alejar de la frecuencia de forzamiento cambiando la rigidez o la masa del sistema. Si no se puede cambiar el sistema, quizás se pueda cambiar la frecuencia de forzado (por ejemplo, cambiando la velocidad de la máquina que genera la fuerza).

Los siguientes son algunos otros puntos con respecto a la vibración forzada que se muestra en los gráficos de respuesta de frecuencia.

• A una relación de frecuencia dada, la amplitud de la vibración, X , es directamente proporcional a la amplitud de la fuerza${\displaystyle F_{0}}$ (por ejemplo, si duplica la fuerza, la vibración se duplica)
• Con poca o ninguna amortiguación, la vibración está en fase con la frecuencia de forzamiento cuando la relación de frecuencia r  <1 y 180 grados fuera de fase cuando la relación de frecuencia r  > 1
• Cuando r  ≪ 1 la amplitud es solo la deflexión del resorte bajo la fuerza estática${\displaystyle F_{0}.}$ Esta deflexión se llama deflexión estática. ${\displaystyle \delta _{st}.}$Por tanto, cuando r  ≪ 1 los efectos del amortiguador y la masa son mínimos.
• Cuando r  ≫ 1, la amplitud de la vibración es en realidad menor que la deflexión estática${\displaystyle \delta _{st}.}$En esta región, la fuerza generada por la masa ( F  =  ma ) es dominante porque la aceleración vista por la masa aumenta con la frecuencia. Dado que la deflexión vista en el resorte, X , se reduce en esta región, la fuerza transmitida por el resorte ( F  =  kx ) a la base se reduce. Por lo tanto, el sistema masa-resorte-amortiguador está aislando la fuerza armónica de la base de montaje, lo que se conoce como aislamiento de vibraciones . Más amortiguación en realidad reduce los efectos del aislamiento de vibraciones cuando r  ≫ 1 porque la fuerza de amortiguación ( F  =  cv ) también se transmite a la base.
• cualquiera que sea la amortiguación, la vibración está desfasada 90 grados con la frecuencia de forzamiento cuando la relación de frecuencia r  = 1, lo cual es muy útil cuando se trata de determinar la frecuencia natural del sistema.
• cualquiera que sea la amortiguación, cuando r  ≫ 1, la vibración está desfasada 180 grados con la frecuencia de forzamiento
• cualquiera que sea la amortiguación, cuando r  ≪ 1, la vibración está en fase con la frecuencia de forzamiento

Causas de resonancia

La resonancia es fácil de entender si el resorte y la masa se consideran elementos de almacenamiento de energía, con la masa almacenando energía cinética y el resorte almacenando energía potencial. Como se discutió anteriormente, cuando la masa y el resorte no tienen una fuerza externa que actúe sobre ellos, transfieren energía hacia adelante y hacia atrás a una tasa igual a la frecuencia natural. En otras palabras, para bombear energía de manera eficiente tanto a la masa como al resorte se requiere que la fuente de energía alimente la energía a una tasa igual a la frecuencia natural. Aplicar una fuerza a la masa y el resorte es similar a empujar a un niño en el columpio, se necesita un empujón en el momento correcto para hacer que el columpio sea cada vez más alto. Como en el caso del swing, la fuerza aplicada no necesita ser alta para obtener grandes movimientos, sino que solo debe agregar energía al sistema.

El amortiguador, en lugar de almacenar energía, la disipa. Dado que la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad, cuanto mayor es el movimiento, más el amortiguador disipa la energía. Por lo tanto, hay un punto en el que la energía disipada por el amortiguador es igual a la energía agregada por la fuerza. En este punto, el sistema ha alcanzado su máxima amplitud y continuará vibrando a este nivel mientras la fuerza aplicada permanezca igual. Si no existe amortiguación, no hay nada que disipe la energía y, teóricamente, el movimiento seguirá creciendo hasta el infinito.

Aplicación de fuerzas "complejas" al modelo masa-resorte-amortiguador

En una sección anterior solo se aplicó una fuerza armónica simple al modelo, pero esta se puede extender considerablemente usando dos poderosas herramientas matemáticas. La primera es la transformada de Fourier que toma una señal en función del tiempo ( dominio del tiempo ) y la descompone en sus componentes armónicos en función de la frecuencia ( dominio de la frecuencia ). Por ejemplo, aplicando una fuerza al modelo de masa-resorte-amortiguador que repite el ciclo siguiente: una fuerza igual a 1  newton durante 0,5 segundos y luego ninguna fuerza durante 0,5 segundos. Este tipo de fuerza tiene la forma de una onda cuadrada de 1 Hz .

Cómo se puede representar una onda cuadrada de 1 Hz como una suma de ondas sinusoidales (armónicos) y el espectro de frecuencia correspondiente. Haga clic y vaya a resolución completa para ver una animación.

La transformada de Fourier de la onda cuadrada genera un espectro de frecuencia que presenta la magnitud de los armónicos que componen la onda cuadrada (la fase también se genera, pero suele ser menos preocupante y, por lo tanto, a menudo no se traza). La transformada de Fourier también se puede utilizar para analizar funciones no periódicas como transitorios (por ejemplo, impulsos) y funciones aleatorias. La transformada de Fourier casi siempre se calcula utilizando el algoritmo informático de la transformada de Fourier rápida (FFT) en combinación con una función de ventana .

En el caso de nuestra fuerza de onda cuadrada, el primer componente es en realidad una fuerza constante de 0,5 newton y está representado por un valor a 0 Hz en el espectro de frecuencia. El siguiente componente es una onda sinusoidal de 1 Hz con una amplitud de 0,64. Esto se muestra mediante la línea a 1 Hz. Los componentes restantes tienen frecuencias impares y se necesita una cantidad infinita de ondas sinusoidales para generar la onda cuadrada perfecta. Por lo tanto, la transformada de Fourier le permite interpretar la fuerza como una suma de fuerzas sinusoidales que se aplican en lugar de una fuerza más "compleja" (por ejemplo, una onda cuadrada).

En la sección anterior, la solución de vibración se dio para una sola fuerza armónica, pero la transformada de Fourier en general da múltiples fuerzas armónicas. La segunda herramienta matemática, "el principio de superposición" , permite la suma de las soluciones de múltiples fuerzas si el sistema es lineal . En el caso del modelo resorte-masa-amortiguador, el sistema es lineal si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la amortiguación es proporcional a la velocidad en el rango de movimiento de interés. Por lo tanto, la solución al problema con una onda cuadrada es sumar la vibración predicha de cada una de las fuerzas armónicas encontradas en el espectro de frecuencia de la onda cuadrada.

Modelo de respuesta de frecuencia

La solución de un problema de vibración puede verse como una relación de entrada / salida, donde la fuerza es la entrada y la salida es la vibración. Representar la fuerza y ​​la vibración en el dominio de la frecuencia (magnitud y fase) permite la siguiente relación:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$se llama función de respuesta de frecuencia (también conocida como función de transferencia , pero técnicamente no es tan precisa) y tiene un componente de magnitud y de fase (si se representa como un número complejo , un componente real e imaginario). La magnitud de la función de respuesta de frecuencia (FRF) se presentó anteriormente para el sistema masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

La fase del FRF también se presentó anteriormente como:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

Modelo de respuesta de frecuencia

Por ejemplo, calculando el FRF para un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 1 kg, rigidez del resorte de 1,93 N / mm y una relación de amortiguación de 0,1. Los valores del resorte y la masa dan una frecuencia natural de 7 Hz para este sistema específico. La aplicación de la onda cuadrada de 1 Hz de antes permite el cálculo de la vibración predicha de la masa. La figura ilustra la vibración resultante. Sucede en este ejemplo que el cuarto armónico de la onda cuadrada cae a 7 Hz. Por lo tanto, la respuesta de frecuencia del amortiguador de masa-resorte genera una vibración alta de 7 Hz a pesar de que la fuerza de entrada tiene un armónico relativamente bajo de 7 Hz. Este ejemplo destaca que la vibración resultante depende tanto de la función de fuerza como del sistema al que se aplica la fuerza.

La figura también muestra la representación en el dominio del tiempo de la vibración resultante. Esto se hace realizando una transformada de Fourier inversa que convierte los datos en el dominio de la frecuencia en el dominio del tiempo. En la práctica, esto rara vez se hace porque el espectro de frecuencias proporciona toda la información necesaria.

La función de respuesta de frecuencia (FRF) no tiene que calcularse necesariamente a partir del conocimiento de la masa, la amortiguación y la rigidez del sistema, pero puede medirse experimentalmente. Por ejemplo, si se aplica una fuerza conocida sobre un rango de frecuencias, y si se miden las vibraciones asociadas, se puede calcular la función de respuesta de frecuencia, caracterizando así el sistema. Esta técnica se utiliza en el campo del análisis modal experimental para determinar las características de vibración de una estructura.

Múltiples grados de sistemas de libertad y formas de modo

Modelo de dos grados de libertad

El modelo simple de masa-resorte-amortiguador es la base del análisis de vibraciones, pero ¿qué pasa con los sistemas más complejos? El modelo masa-resorte-amortiguador descrito anteriormente se denomina modelo de un solo grado de libertad (SDOF) ya que se supone que la masa solo se mueve hacia arriba y hacia abajo. En sistemas más complejos, el sistema debe estar discretizado en más masas que se mueven en más de una dirección, agregando grados de libertad. Los conceptos principales de múltiples grados de libertad (MDOF) se pueden entender observando solo un modelo de 2 grados de libertad como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de movimiento del sistema 2DOF son:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

Esto se puede reescribir en formato de matriz :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Una forma más compacta de esta ecuación matricial se puede escribir como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

dónde ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$ y ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$son matrices simétricas denominadas respectivamente matrices de masa, amortiguación y rigidez. Las matrices son matrices cuadradas NxN donde N es el número de grados de libertad del sistema.

El siguiente análisis involucra el caso en el que no hay amortiguación ni fuerzas aplicadas (es decir, vibración libre). La solución de un sistema viscosamente amortiguado es algo más complicada. ^[10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación diferencial se puede resolver asumiendo el siguiente tipo de solución:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

Nota: Usando la solución exponencial de ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$es un truco matemático que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Usando la fórmula de Euler y tomando solo la parte real de la solución, es la misma solución de coseno para el sistema 1 DOF. La solución exponencial solo se usa porque es más fácil de manipular matemáticamente.

Entonces, la ecuación se convierte en:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

Desde ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ no puede ser igual a cero, la ecuación se reduce a lo siguiente.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Problema de valor propio

Esto se refiere a un problema de valor propio en matemáticas y se puede poner en el formato estándar multiplicando previamente la ecuación por${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

y si: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$ y ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

La solución al problema da como resultado N valores propios (es decir,${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$), donde N corresponde al número de grados de libertad. Los valores propios proporcionan las frecuencias naturales del sistema. Cuando estos valores propios se sustituyen de nuevo en el conjunto original de ecuaciones, los valores de${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$que corresponden a cada valor propio se denominan vectores propios . Estos autovectores representan las formas modales del sistema. La solución de un problema de valores propios puede ser bastante engorrosa (especialmente para problemas con muchos grados de libertad), pero afortunadamente la mayoría de los programas de análisis matemático tienen rutinas de valores propios.

Los autovalores y autovectores a menudo se escriben en el siguiente formato de matriz y describen el modelo modal del sistema:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Un ejemplo simple usando el modelo 2 DOF puede ayudar a ilustrar los conceptos. Sea que ambas masas tengan una masa de 1 kg y la rigidez de los tres resortes sea igual a 1000 N / m. Entonces, la matriz de masa y rigidez para este problema es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ y ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Luego ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Los valores propios para este problema dados por una rutina de valores propios son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

Las frecuencias naturales en unidades de hercios son entonces (recordando ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$) ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$ y ${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

Las dos formas de modo para las respectivas frecuencias naturales se dan como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

Dado que el sistema es un sistema de 2 DOF, hay dos modos con sus respectivas frecuencias y formas naturales. Los vectores de formas modales no son el movimiento absoluto, solo describen el movimiento relativo de los grados de libertad. En nuestro caso, el primer vector de forma de modo dice que las masas se mueven juntas en fase ya que tienen el mismo valor y signo. En el caso del vector de forma del segundo modo, cada masa se mueve en dirección opuesta a la misma velocidad.

Ilustración de un problema de DOF múltiple

Cuando hay muchos grados de libertad, un método para visualizar las formas de modo es animarlas usando un software de análisis estructural como Femap , ANSYS o VA One de ESI Group . Un ejemplo de la animación de formas de los modos se muestra en la figura siguiente para un voladizo I -beam como se demuestra usando análisis modal en ANSYS. En este caso, se utilizó el método de elementos finitos para generar una aproximación de las matrices de masa y rigidez mallando el objeto de interés para resolver un problema de valores propios discretos . Tenga en cuenta que, en este caso, el método de elementos finitos proporciona una aproximación de la superficie mallada (para la cual existe un número infinito de modos y frecuencias de vibración). Por lo tanto, este modelo relativamente simple que tiene más de 100 grados de libertad y, por lo tanto, tantas frecuencias naturales y formas modales, proporciona una buena aproximación para las primeras frecuencias naturales y modos ^† . Generalmente, solo los primeros modos son importantes para aplicaciones prácticas.

En esta tabla se visualizan el primer y el segundo (arriba y abajo respectivamente) modos vibratorios de flexión horizontal (izquierda), torsión (centro) y flexión vertical (derecha) de una viga I. También existen otros tipos de modos vibratorios en los que el haz se comprime / estira en las direcciones de altura, anchura y longitud, respectivamente.
Las formas modales de una viga en I en voladizo

^ Tenga en cuenta que al realizar una aproximación numérica de cualquier modelo matemático, se debe determinar la convergencia de los parámetros de interés.

Problema de DOF múltiple convertido en un solo problema de DOF

Los vectores propios tienen propiedades muy importantes llamadas propiedades de ortogonalidad. Estas propiedades se pueden utilizar para simplificar enormemente la solución de modelos de varios grados de libertad. Se puede demostrar que los vectores propios tienen las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$ y ${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$son matrices diagonales que contienen los valores modales de masa y rigidez para cada uno de los modos. (Nota: Dado que los vectores propios (formas modales) se pueden escalar arbitrariamente, las propiedades de ortogonalidad se utilizan a menudo para escalar los vectores propios, por lo que el valor de masa modal para cada modo es igual a 1. La matriz de masa modal es, por lo tanto, una matriz de identidad )

Estas propiedades se pueden utilizar para simplificar enormemente la solución de modelos de varios grados de libertad al realizar la siguiente transformación de coordenadas.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

El uso de esta transformación de coordenadas en la ecuación diferencial de vibración libre original da como resultado la siguiente ecuación.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Aprovechando las propiedades de ortogonalidad premultiplicando esta ecuación por ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Las propiedades de ortogonalidad luego simplifican esta ecuación a:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación es la base del análisis de vibraciones para sistemas de múltiples grados de libertad. Se puede obtener un tipo de resultado similar para los sistemas amortiguados. ^[10] La clave es que las matrices modales de masa y rigidez son matrices diagonales y, por lo tanto, las ecuaciones han sido "desacopladas". En otras palabras, el problema se ha transformado de un gran y difícil problema de múltiples grados de libertad a muchos problemas de un solo grado de libertad que pueden resolverse utilizando los mismos métodos descritos anteriormente.

Resolver para x se reemplaza por resolver para q , lo que se conoce como coordenadas modales o factores de participación modal.

Puede ser más claro entender si ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$ está escrito como:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

Escrito de esta forma, se puede ver que la vibración en cada uno de los grados de libertad es solo una suma lineal de las formas modales. Además, cuánto "participa" cada modo en la vibración final está definido por q, su factor de participación modal.

Modo de cuerpo rígido

Un sistema sin restricciones de varios grados de libertad experimenta traslación del cuerpo rígido y / o rotación y vibración. La existencia de un modo de cuerpo rígido da como resultado una frecuencia natural cero. La forma de modo correspondiente se denomina modo de cuerpo rígido.

Ver también

• Ingeniería acústica
• Compuesto antivibraciones
• Equilibradora
• Aislamiento de la base
• Amortiguación
• Velocidad critica
• Relación de amortiguación
• El método de Dunkerley
• Ingeniería Sísmica
• Péndulo elástico
• Transformada rápida de Fourier
• Ingeniería Mecánica
• Resonancia mecánica
• Análisis modal
• Forma de modo
• Ruido y vibración en embarcaciones marítimas
• Ruido, vibración y aspereza
• Pallesthesia
• Compensación pasiva de levantamiento
• Péndulo
• Vibración cuántica
• Vibración aleatoria
• Calidad de conducción
• Cociente de Rayleigh en el análisis de vibraciones
• Shaker (dispositivo de prueba)
• Choque
• Registrador de datos de golpes y vibraciones
• Oscilador armónico simple
• Sonar
• Acústica estructural
• Dinámica estructural
• Equilibrio de neumáticos
• Vibración torsional
• Amortiguador de masa sintonizado
• Calibrador de vibraciones
• Control de vibraciones
• Aislamiento de vibraciones
• Onda
• Vibración de cuerpo entero

Referencias

1. Tustin, Wayne. Dónde colocar el acelerómetro de control: una de las decisiones más críticas en el desarrollo de pruebas de vibraciones aleatorias también es la más descuidada , EE-Evaluation Engineering, 2006
2. "Polytec InFocus 1/2007" (PDF) .
3. Tony Araujo. La evolución de las fijaciones de vibraciones para automóviles , EE-Evaluation Engineering, 2019
4. Espacios en blanco, HS, "Técnicas de equivalencia para pruebas de vibración", Notas de SVIC, págs. 17.
5. Crawford, Arte; Manual simplificado de análisis de vibraciones
6. Eshleman, R 1999, Vibraciones básicas de maquinaria: una introducción a las pruebas, análisis y monitoreo de máquinas
7. Instituto Mobius; Analista de vibraciones Categoría 2 - Notas del curso 2013
8. "Importancia del análisis de vibraciones en mantenimiento" . 2021-01-05 . Consultado el 8 de enero de 2021 .
9. Simionescu, PA (2014). Herramientas de simulación y gráficos asistidos por computadora para usuarios de AutoCAD (1ª ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
10. Maia, Silva. Análisis modal teórico y experimental , Research Studies Press Ltd., 1997, ISBN  0-471-97067-0

Otras lecturas

• Tongue, Benson, Principios de vibración , Oxford University Press, 2001, ISBN  0-19-514246-2
• Inman, Daniel J., Ingeniería de vibraciones , Prentice Hall, 2001, ISBN  0-13-726142-X
• Thompson, WT, Teoría de las vibraciones , Nelson Thornes Ltd, 1996, ISBN  0-412-78390-8
• Hartog, Den, Mechanical Vibrations , Dover Publications, 1985, ISBN  0-486-64785-4
• Reynolds, Douglas D. (2016). Principios de ingeniería de la vibración mecánica (4ª ed.). Bloomington, Indiana, EE.UU .: Trafford On Demand Publishing. pag. 485. ISBN 978-1490714370.
• [1]
• Instituto de Seguridad y Salud en el Trabajo del Seguro Social de Accidentes de Alemania : Vibración de cuerpo entero y mano-brazo

enlaces externos

• Hojas de Excel gratuitas para estimar parámetros modales
• Referencia de análisis de vibraciones - Mobius Institute
• Monitoreo de condición y protección de maquinaria - Siemens AG

• [2]