En matemáticas , un elemento de volumen proporciona un medio para integrar una función con respecto al volumen en varios sistemas de coordenadas, como coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas . Por tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma
donde el son las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto puede ser calculado por
Por ejemplo, en coordenadas esféricas , y entonces .
La noción de elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones a menudo se lo conoce como elemento de área , y en este contexto es útil para hacer integrales de superficie . Bajo cambios de coordenadas, el elemento de volumen cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano de la transformación de coordenadas (por la fórmula de cambio de variables ). Este hecho permite definir los elementos de volumen como una especie de medida en un colector . En un colector diferenciable orientable , un elemento de volumen surge típicamente de una forma de volumen : una forma diferencial de grado superior . En un colector no orientable, el elemento de volumen es típicamente el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente): define una densidad 1 .
En el espacio euclidiano , el elemento de volumen está dado por el producto de las diferenciales de las coordenadas cartesianas.
En diferentes sistemas de coordenadas de la forma , , , el elemento de volumen cambia por el jacobiano (determinante) del cambio de coordenadas:
Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática)
el determinante jacobiano es
así que eso
Esto puede verse como un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman a través de un retroceso. como
Considere el subespacio lineal del espacio euclidiano n- dimensional R n que está atravesado por una colección de vectores linealmente independientes
Para encontrar el elemento de volumen del subespacio, es útil conocer el hecho del álgebra lineal de que el volumen del paralelepípedo generado por el es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Gramian del:
Cualquier punto p en el subespacio puede recibir coordenadas tal que
En un punto p , si formamos un pequeño paralelepípedo con lados, entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz de Grammy
Por lo tanto, esto define la forma del volumen en el subespacio lineal.
En una variedad riemanniana orientada de dimensión n , el elemento de volumen es una forma de volumen igual al dual de Hodge de la función constante unitaria,:
De manera equivalente, el elemento de volumen es precisamente el tensor de Levi-Civita . [1] En coordenadas,
dónde es el determinante del tensor métrico g escrito en el sistema de coordenadas.
Elemento de área de una superficie
Se puede explorar un ejemplo simple de un elemento de volumen considerando una superficie bidimensional incrustada en un espacio euclidiano n- dimensional . Este elemento de volumen a veces se denomina elemento de área . Considere un subconjunto y una función de mapeo
definiendo así una superficie incrustada en . En dos dimensiones, el volumen es solo área y un elemento de volumen permite determinar el área de partes de la superficie. Por tanto, un elemento de volumen es una expresión de la forma
que permite calcular el área de un conjunto B que se encuentra en la superficie calculando la integral
Aquí encontraremos el elemento de volumen en la superficie que define el área en el sentido habitual. La matriz jacobiana del mapeo es
con el índice i que va de 1 an , yj que va de 1 a 2. La métrica euclidiana en el espacio n -dimensional induce una métricaen el conjunto U , con elementos de matriz
El determinante de la métrica está dado por
Para una superficie regular, este determinante no desaparece; de manera equivalente, la matriz jacobiana tiene rango 2.
Ahora considere un cambio de coordenadas en U , dado por un difeomorfismo
para que las coordenadas se dan en términos de por . La matriz jacobiana de esta transformación está dada por
En las nuevas coordenadas, tenemos
y entonces la métrica se transforma como
dónde es la métrica de retroceso en el sistema de coordenadas v . El determinante es
Dada la construcción anterior, ahora debería ser sencillo comprender cómo el elemento de volumen es invariante bajo un cambio de coordenadas que conserva la orientación.
En dos dimensiones, el volumen es solo el área. El área de un subconjunto viene dada por la integral
Por lo tanto, en cualquier sistema de coordenadas, el elemento de volumen toma la misma expresión: la expresión del elemento de volumen es invariante bajo un cambio de coordenadas.
Tenga en cuenta que no hubo nada particular en dos dimensiones en la presentación anterior; lo anterior se generaliza trivialmente a dimensiones arbitrarias.
Ejemplo: esfera
Por ejemplo, considere la esfera con radio r centrada en el origen en R 3 . Esto se puede parametrizar usando coordenadas esféricas con el mapa.
Luego
y el elemento de área es