En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene asociado un entero positivo s tal que cada número natural sea la suma de como máximo s números naturales elevados a la potencia k . Por ejemplo, cada número natural es la suma de como máximo 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring , de quien lleva su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como el teorema de Hilbert-Waring , fue proporcionada por Hilbert en 1909. [1] El problema de Waring tiene su propia clasificación de materias matemáticas., 11P05, "Problema y variantes de Waring".
Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si cada entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta cuestión se conoció más tarde como la conjetura de Bachet, después de la traducción de Diofanto de 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac , y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados en 1770, el mismo año que Waring hizo su conjetura. Waring buscó generalizar este problema tratando de representar todos los enteros positivos como la suma de cubos, enteros a la cuarta potencia, etc., para mostrar que cualquier entero positivo puede representarse como la suma de otros enteros elevados a un exponente específico, y que siempre hubo un número máximo de enteros elevado a un cierto exponente requerido para representar todos los enteros positivos de esta manera.
El número g ( k )
Para cada , dejar denotar el número mínimo de Los poderes de los naturales necesarios para representar todos los números enteros positivos. Cada entero positivo es la suma de una primera potencia, en sí misma, por lo que. Algunos cálculos simples muestran que 7 requiere 4 cuadrados, 23 requiere 9 cubos, [2] y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran que, , y . Waring conjeturó que estos límites inferiores eran de hecho valores exactos.
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange de 1770 establece que todo número natural es la suma de cuatro cuadrados como máximo. Dado que tres cuadrados no son suficientes, este teorema establece. Teorema de los cuatro cuadrados se conjeturó en Bachet 's edición 1621 de Diofanto ' s Aritmética ; Fermat afirmó tener una prueba, pero no la publicó. [3]
A lo largo de los años, se establecieron varios límites, utilizando técnicas de prueba cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville demostró quees como máximo 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de como máximo 19 cuartas potencias.
Que fue establecido desde 1909 hasta 1912 por Wieferich [4] y AJ Kempner , [5] en 1986 por R. Balasubramanian , F. Dress y J.-M. Deshouillers , [6] [7] en 1964 por Chen Jingrun , yen 1940 por Pillai . [8]
Dejar y respectivamente denotan la parte integral y fraccionaria de un número real positivo. Dado el numero, solo y se puede utilizar para representar ; la representación más económica requiere términos de y términos de . Resulta que es al menos tan grande como . Esto fue observado por JA Euler, el hijo de Leonhard Euler , alrededor de 1772. [9] Trabajos posteriores de Dickson , Pillai , Rubugunday , Niven [10] y muchos otros han demostrado que
Sin valor de es conocido por lo que . Mahler [11] demostró que sólo puede haber un número finito de tales, y Kubina y Wunderlich [12] han demostrado que tales debe satisfacer 471,600,000. Así se conjetura que esto nunca sucede, es decir, por cada entero positivo .
Los primeros valores de están:
El número G ( k )
A partir del trabajo de Hardy y Littlewood , la cantidad relacionada G ( k ) se estudió con g ( k ). G ( k ) se define como el número entero menos positivo s de modo que todo entero suficientemente grande (es decir, todo entero mayor que alguna constante) se puede representar como una suma de como máximo s enteros positivos a la potencia de k . Claramente, G (1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8), ningún entero congruente con 7 (mod 8) se puede representar como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G (2) ≥ 4 . Dado que G ( k ) ≤ g ( k ) para todo k , esto muestra que G (2) = 4 . Davenport demostró que G (4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente de 1 a 14 mod 16 podría escribirse como una suma de 14 cuartos poderes (Vaughan en 1985 y 1989 redujo el 14 sucesivamente a 13 y 12 ). El valor exacto de G ( k ) se desconoce para cualquier otro k , pero existen límites.
Límites inferiores para G ( k )
Límites |
---|
1 = G (1) = 1 |
4 = G (2) = 4 |
4 ≤ G (3) ≤ 7 |
16 = G (4) = 16 |
6 ≤ G (5) ≤ 17 |
9 ≤ G (6) ≤ 24 |
8 ≤ G (7) ≤ 33 |
32 ≤ G (8) ≤ 42 |
13 ≤ G (9) ≤ 50 |
12 ≤ G (10) ≤ 59 |
12 ≤ G (11) ≤ 67 |
16 ≤ G (12) ≤ 76 |
14 ≤ G (13) ≤ 84 |
15 ≤ G (14) ≤ 92 |
16 ≤ G (15) ≤ 100 |
64 ≤ G (16) ≤ 109 |
18 ≤ G (17) ≤ 117 |
27 ≤ G (18) ≤ 125 |
20 ≤ G (19) ≤ 134 |
25 ≤ G (20) ≤ 142 |
El número G ( k ) es mayor o igual que
- 2 r +2 si k = 2 r con r ≥ 2, o k = 3 × 2 r ;
- p r +1 si p es un primo mayor que 2 y k = p r ( p - 1);
- ( p r +1 - 1) / 2 si p es un primo mayor que 2 y k = p r (p - 1) / 2;
- k + 1 para todos los enteros k mayores que 1.
En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G ( k ) debería ser igual a k + 1 .
Límites superiores para G ( k )
G (3) es al menos cuatro (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números menores de 1.3 × 10 9 , 1290740 es el último que requiere seis cubos, y el número de números entre N y 2N que requieren cinco cubos disminuye al aumentar N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G (3) = 4 ; [13] el número más grande que ahora se sabe que no es una suma de cuatro cubos es 7373170279850, [14] y los autores dan argumentos razonables allí de que puede ser el mayor posible. El límite superior G (3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. [15] (Todos los enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y se conjetura que los enteros más grandes que requieren 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042, 1290740 y 7373170279850, respectivamente.)
13792 es el número más grande para requerir diecisiete cuartas potencias (Deshouillers, HENNECART y Landreau mostraron en 2000 [16] que cada número entre 13793 y 10 245 requiere como máximo dieciséis años, y Kawada, Wooley y Deshouillers extendieron 1939 resultado de Davenport para demostrar que todos los números por encima de 10 220 no se requieren más de dieciséis). Siempre se necesitan dieciséis cuartos potencias para escribir un número de la forma 31 · 16 n .
617597724 es el último número menor que 1.3 × 10 9 que requiere diez quintas potencias, y 51033617 es el último número menor que 1.3 × 10 9 que requiere once.
Los límites superiores a la derecha con k = 5, 6, ..., 20 se deben a Vaughan y Wooley . [17]
Usando su método mejorado de Hardy-Littlewood , MI Vinogradov publicó numerosos refinamientos que llevaron a
en 1947 y, finalmente,
para una constante C no especificada y k suficientemente grande en 1959.
Aplicando su forma p-ádica del método de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se toma sobre números con divisores primos pequeños, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo [18] (1985) una nueva estimación de Hardy función (por ):
Vaughan [1989] obtuvo más refinamientos.
Wooley luego estableció que para alguna constante C , [19]
Vaughan y Wooley han escrito un artículo de encuesta completo. [17]
Ver también
- Teorema del número poligonal de Fermat , el teorema de cada entero positivo es una suma de como máximo n de los n números -gonales
- Problema de Waring-Goldbach , el problema de representar números como sumas de potencias de primos
- Problema de suma de subconjuntos , un problema algorítmico que se puede usar para encontrar la representación más corta de un número dado como una suma de potencias
- Sumas de tres cubos , analiza qué números son la suma de tres cubos no necesariamente positivos
Notas
- ^ Hilbert, David (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Problema de Waringsches)" . Mathematische Annalen . 67 (3): 281–300. doi : 10.1007 / bf01450405 . Señor 1511530 .
- ^ Recuerde que nos restringimos a los números naturales. Con enteros generales, no es difícil escribir 23 como la suma de 4 cubos, p. Ej. o .
- ^ Dickson, Leonard Eugene (1920). "Capítulo VIII". Historia de la Teoría de los Números, Volumen II: Análisis Diofántico . Instituto Carnegie de Washington .
- ^ Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt" . Mathematische Annalen . 66 (1): 95–101. doi : 10.1007 / BF01450913 .
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Referencias
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- Hans Rademacher y Otto Toeplitz , El disfrute de las matemáticas (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Tiene una prueba del teorema de Lagrange, accesible para estudiantes de secundaria.
enlaces externos
- "Problema de Waring" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]