Ecuación de onda

Ecuación diferencial lineal de segundo orden importante en física

No confundir con la función Wave .

Ondas esféricas provenientes de una fuente puntual.

Una solución a la ecuación de onda 2D

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para la descripción de ondas, como ocurren en la física clásica , como las ondas mecánicas (por ejemplo , ondas de agua , ondas de sonido y ondas sísmicas ) u ondas de luz . Surge en campos como la acústica , electromagnética y dinámica de fluidos .

Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como la de un instrumento musical fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} En 1746, d'Alembert descubrió la ecuación de onda unidimensional, y en diez años Euler descubrió la ecuación de onda tridimensional. ^[6]

Introducción

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial que puede restringir alguna función escalar u = u ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ; t ) de una variable de tiempo ty una o más variables espaciales x ₁ , x ₂ ,…, x _n . La cantidad u puede ser, por ejemplo, la presión en un líquido o gas, o el desplazamiento, a lo largo de alguna dirección específica, de las partículas de un sólido vibrante lejos de sus posiciones de reposo. La ecuación es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)}$

donde c es un coeficiente real fijo no negativo .

Usando las notaciones de la mecánica newtoniana y el cálculo vectorial , la ecuación de onda se puede escribir de manera más compacta como

${\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$

donde el punto doble denota la derivada de tiempo doble de u , ∇ es el operador nabla y ∇ ² = ∇ · ∇ es el operador laplaciano (espacial) :

${\displaystyle {\ddot {u}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\quad \quad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)\quad \quad \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$

Una solución de esta ecuación puede ser bastante complicada, pero se puede analizar como una combinación lineal de soluciones simples que son ondas planas sinusoidales con varias direcciones de propagación y longitudes de onda, pero todas con la misma velocidad de propagación c . Este análisis es posible porque la ecuación de onda es lineal ; de modo que cualquier múltiplo de una solución también es una solución, y la suma de dos soluciones cualesquiera es nuevamente una solución. Esta propiedad se llama principio de superposición en física.

La ecuación de onda por sí sola no especifica una solución física; Por lo general, se obtiene una solución única planteando un problema con condiciones adicionales, como las condiciones iniciales , que prescriben la amplitud y la fase de la onda. Otra clase importante de problemas ocurre en espacios cerrados especificados por condiciones de contorno , para los cuales las soluciones representan ondas estacionarias , o armónicos , análogos a los armónicos de los instrumentos musicales.

La ecuación de onda es el ejemplo más simple de una ecuación diferencial hiperbólica . Este, y sus modificaciones, juegan un papel fundamental en la mecánica del continuo , la mecánica cuántica , la física del plasma , la relatividad general , la geofísica y muchas otras disciplinas científicas y técnicas.

Ecuación de onda en una dimensión espacial

El científico francés Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (n. 1717) descubrió la ecuación de onda en una dimensión espacial. ^[6]

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}$.

Esta ecuación se describe típicamente como teniendo solo una dimensión espacial x , porque la única otra variable independiente es el tiempo t . No obstante, la variable dependiente u puede representar una segunda dimensión espacial, si, por ejemplo, el desplazamiento u se produce en la dirección y , como en el caso de una cuerda que se ubica en el plano x - y .

Derivación de la ecuación de onda

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede derivar en una variedad de entornos físicos diferentes. Lo más famoso es que se puede derivar para el caso de una cuerda que vibra en un plano bidimensional, con cada uno de sus elementos tirados en direcciones opuestas por la fuerza de la tensión . ^[7]

Otro escenario físico para la derivación de la ecuación de onda en una dimensión espacial utiliza la Ley de Hooke . En la teoría de la elasticidad , la ley de Hooke es una aproximación para ciertos materiales, que establece que la cantidad por la cual se deforma un cuerpo de material (la deformación ) está relacionada linealmente con la fuerza que causa la deformación (la tensión ).

De la ley de Hooke

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar de la ley de Hooke de la siguiente manera: imagine una matriz de pequeños pesos de masa m interconectados con resortes sin masa de longitud h . Los resortes tienen una constante de resorte de k :

Aquí la variable dependiente u ( x ) mide la distancia desde el equilibrio de la masa situada en x , de modo que u ( x ) mide esencialmente la magnitud de una perturbación (es decir, deformación) que viaja en un material elástico. Las fuerzas ejercidas sobre la masa m en el lugar x + h son:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\rm {Newton}}&=m\cdot a(t)=m\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)\\F_{\rm {Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]\end{aligned}}}$

La ecuación de movimiento para el peso en la ubicación x + h se obtiene al igualar estas dos fuerzas:

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={k \over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}$

donde la dependencia temporal de u ( x ) se ha hecho explícita.

Si la matriz de pesos consta de N pesos espaciados uniformemente sobre la longitud L = Nh de la masa total M = Nm , y la constante de resorte total de la matriz K = k / N , podemos escribir la ecuación anterior como:

${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}.}$

Tomando el límite N → ∞, h → 0 y asumiendo suavidad se obtiene:

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}},}$

que es de la definición de una segunda derivada . KL ² / M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.

Onda estacionaria 1-d como superposición de dos ondas que viajan en direcciones opuestas

Pulso de estrés en un bar

En el caso de un impulso de tensión que se propaga longitudinalmente a través de una barra, la barra actúa como un número infinito de resortes en serie y puede tomarse como una extensión de la ecuación derivada de la ley de Hooke. Una barra uniforme, es decir, de sección transversal constante, hecha de un material elástico lineal tiene una rigidez K dada por

${\displaystyle K={EA \over L},}$

Donde A es el área de la sección transversal y E es el módulo de Young del material. La ecuación de onda se convierte en

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={EAL \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}.}$

AL es igual al volumen de la barra y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},}$

donde ρ es la densidad del material. La ecuación de onda se reduce a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={E \over \rho }{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}.}$

Por tanto, la velocidad de una onda de tensión en una barra es √ E / ρ .

Solución general

Enfoque algebraico

La ecuación de onda unidimensional es inusual para una ecuación diferencial parcial en el sentido de que se puede encontrar una solución general relativamente simple. Definición de nuevas variables: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct\\\eta &=x+ct\end{aligned}}}$

cambia la ecuación de onda en

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0,}$

que conduce a la solución general

${\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}$

o equivalente:

${\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).}$

En otras palabras, las soluciones de la ecuación de onda 1D son sumas de una función de desplazamiento a la derecha F y una función de desplazamiento izquierda G . "Viajar" significa que la forma de estas funciones arbitrarias individuales con respecto ax permanece constante, sin embargo, las funciones se trasladan de izquierda a derecha con el tiempo a la velocidad c . Esto fue derivado por Jean le Rond d'Alembert . ^[9]

Otra forma de llegar a este resultado es observar que la ecuación de onda se puede "factorizar":

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}$

Como resultado, si definimos v así,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=v,}$

entonces

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}$

De esto, v debe tener la forma G ( x + ct ) , y de esto se puede deducir la forma correcta de la solución completa u . ^[10]

Para un problema de valor inicial, las funciones arbitrarias F y G se pueden determinar para satisfacer las condiciones iniciales:

${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}$

El resultado es la fórmula de d'Alembert :

${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\mathrm {d} s}$

En el sentido clásico, si f ( x ) ∈ C ^k y g ( x ) ∈ C ^{k −1} entonces u ( t , x ) ∈ C ^k . Sin embargo, las formas de onda F y G también pueden ser funciones generalizadas, como la función delta. En ese caso, la solución puede interpretarse como un impulso que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal y, por lo tanto, se adherirá al principio de superposición . Esto significa que el desplazamiento neto causado por dos o más ondas es la suma de los desplazamientos que habría causado cada onda individualmente. Además, el comportamiento de una onda se puede analizar dividiendo la onda en componentes, por ejemplo, la transformada de Fourier rompe una onda en componentes sinusoidales.

Modos propios de onda plana

Otra forma de resolver las soluciones de la ecuación de onda unidimensional es analizar primero sus modos propios de frecuencia . Un llamado modo propio es una solución que oscila en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω, de modo que la parte temporal de la función de onda toma la forma e ^−iωt = cos ( ωt ) - i sin ( ωt ) , y la amplitud es una función f ( x ) de la variable espacial x , dando una separación de variables para la función de onda:

${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}$

Esto produce una ecuación diferencial ordinaria para la parte espacial f ( x ) :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right),}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),}$

que es precisamente una ecuación de valor propio para f ( x ) , de ahí el nombre modo propio. Tiene las conocidas soluciones de onda plana .

${\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},}$

con número de onda k = ω / c .

La función de onda total para este modo propio es entonces la combinación lineal

${\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},}$

donde los números complejos A, B dependen en general de cualquier condición inicial y de frontera del problema.

Los modos propios son útiles para construir una solución completa de la ecuación de onda, porque cada uno de ellos evoluciona trivialmente en el tiempo con el factor de fase . para que una solución completa se pueda descomponer en una expansión de modo propio${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\mathrm {d} \omega }$

o en términos de ondas planas,

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\mathrm {d} \omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\mathrm {d} \omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\mathrm {d} \omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct)\end{aligned}}}$

que está exactamente en la misma forma que en el enfoque algebraico. Las funciones s _± ( ω ) se conocen como componente de Fourier y están determinadas por las condiciones iniciales y de contorno. Este es un método denominado en el dominio de la frecuencia , alternativo a las propagaciones directas en el dominio del tiempo , como el método FDTD , del paquete de ondas u ( x , t ), que es completo para representar ondas en ausencia de dilataciones en el tiempo. La integridad de la expansión de Fourier para representar ondas en presencia de dilataciones de tiempo ha sido desafiada por soluciones de onda de chirrido que permiten la variación de tiempo de ω . ^[11] Las soluciones de onda chirp parecen estar particularmente implícitas en residuales de radar muy grandes pero previamente inexplicables en la anomalía de sobrevuelo , y difieren de las soluciones sinusoidales en que se pueden recibir a cualquier distancia solo en frecuencias desplazadas proporcionalmente y dilataciones de tiempo, correspondientes a estados pasados ​​de chirp de la fuente.

Ecuación de onda escalar en tres dimensiones espaciales

El matemático y físico suizo Leonhard Euler (n. 1707) descubrió la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales. ^[6]

Se puede obtener una solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales a partir de la solución correspondiente para una onda esférica. El resultado también se puede utilizar para obtener la misma solución en dos dimensiones espaciales.

Ondas esféricas

La ecuación de onda se puede resolver mediante la técnica de separación de variables . Para obtener una solución con frecuencias constantes, primero transformemos de Fourier la ecuación de onda en el tiempo como

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ({\vec {r}},\omega )e^{-i\omega t}\mathrm {d} \omega .}$

Entonces obtenemos,

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi ({\vec {r}},\omega )=0.}$

Esta es la ecuación de Helmholtz y se puede resolver mediante la separación de variables. Si se utilizan coordenadas esféricas para describir un problema, entonces la solución a la parte angular de la ecuación de Helmholtz viene dada por armónicos esféricos y la ecuación radial ahora se convierte en ^[12]

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0}$

Aquí k ≡ ω / cy la solución completa ahora está dada por

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}},\omega )=\sum _{lm}\left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]Y_{lm}(\theta ,\phi ),}$

donde h⁽¹⁾
_l( KR ) y h⁽²⁾
_l( kr ) son las funciones esféricas de Hankel .

Ejemplo

Para comprender mejor la naturaleza de estas ondas esféricas, retrocedamos y observemos el caso en el que l = 0. En este caso, no hay dependencia angular y la amplitud depende solo de la distancia radial, es decir, Ψ ( r → , t ) → u ( r , t ). En este caso, la ecuación de onda se reduce a

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi ({\vec {r}},t)=0\rightarrow \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0}$

Esta ecuación se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0;\,}$

donde la cantidad ru satisface la ecuación de onda unidimensional. Por tanto, existen soluciones en la forma

${\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),}$

donde F y G son soluciones generales a la ecuación de onda unidimensional y pueden interpretarse como una onda esférica entrante o saliente, respectivamente. Dichas ondas son generadas por una fuente puntual y hacen posible señales nítidas cuya forma se altera solo por una disminución en la amplitud a medida que aumenta r (ver una ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Tales ondas existen solo en casos de espacio con dimensiones impares. ^{[ cita requerida ]}

Para ver ejemplos físicos de soluciones de ondas no esféricas para la ecuación de ondas 3D que poseen dependencia angular, consulte radiación dipolo .

Onda esférica monocromática

Corte de frentes de onda esféricos, con una longitud de onda de 10 unidades, que se propagan desde una fuente puntual.

Aunque la palabra "monocromática" no es exactamente exacta ya que se refiere a la luz o radiación electromagnética con una frecuencia bien definida, el espíritu es descubrir el modo propio de la ecuación de onda en tres dimensiones. Siguiendo la derivación en la sección anterior sobre modos propios de onda plana , si nuevamente restringimos nuestras soluciones a ondas esféricas que oscilan en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida ω, entonces la función transformada ru ( r , t ) tiene simplemente soluciones de onda plana,

${\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},}$ o

${\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i\left(\omega t\pm kr\right)}.}$

De esto podemos observar que la intensidad máxima de la oscilación de la onda esférica, caracterizada como la amplitud de la onda cuadrada

${\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}}}$.

cae a una tasa proporcional a 1 / r ² , un ejemplo de la ley del cuadrado inverso .

Solución de un problema de valor inicial general

La ecuación de onda es lineal en u y no se ve alterada por las traslaciones en el espacio y el tiempo. Por tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones traduciendo y sumando ondas esféricas. Sea φ ( ξ , η , ζ ) una función arbitraria de tres variables independientes, y sea la forma de onda esférica F una función delta: es decir, sea F un límite débil de funciones continuas cuya integral es la unidad, pero cuyo soporte (la región donde la función no es cero) se reduce al origen. Sea una familia de ondas esféricas con centro en ( ξ , η , ζ ), y sea r la distancia radial desde ese punto. Por lo tanto

${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}$

Si u es una superposición de tales ondas con función de ponderación φ , entonces

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta \,\mathrm {d} \zeta ;}$

el denominador 4 πc es una conveniencia.

De la definición de la función delta, u también se puede escribir como

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\mathrm {d} \omega ,}$

donde α, β , y γ son coordenadas en la unidad de esfera S , y ω es el elemento de área en S . Este resultado tiene la interpretación de que u ( t , x ) es t multiplicado por el valor medio de φ en una esfera de radio ct centrada en x :

${\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].}$

Resulta que

${\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).}$

El valor medio es una función par de t , y por tanto si

${\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),}$

entonces

${\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}$

Estas fórmulas proporcionan la solución al problema del valor inicial de la ecuación de onda. Ellos muestran que la solución en un punto dado P , dado ( t , x , y , z ) sólo depende de los datos de la esfera de radio ct que está intersectado por las cono de luz hacia atrás extraídas de P . No , no depende de los datos en el interior de esta esfera. Así, el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno se llama principio de Huygens.. Es cierto para números impares de dimensión espacial, donde para una dimensión la integración se realiza sobre el límite de un intervalo con respecto a la medida de Dirac. No se satisface incluso en dimensiones espaciales. El fenómeno de las lagunas se ha investigado ampliamente en Atiyah , Bott y Gårding (1970, 1973).

Ecuación de onda escalar en dos dimensiones espaciales

En dos dimensiones espaciales, la ecuación de onda es

${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$

Podemos usar la teoría tridimensional para resolver este problema si consideramos u como una función en tres dimensiones que es independiente de la tercera dimensión. Si

${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$

entonces la fórmula de solución tridimensional se convierte en

${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\mathrm {d} \omega ,}$

donde α y β son las dos primeras coordenadas en la esfera unitaria, y d ω es el elemento de área en la esfera. Esta integral se puede reescribir como una integral doble sobre el disco D con centro ( x , y ) y radio ct :

${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi ct}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta .}$

Es evidente que la solución en ( t , x , y ) depende no solo de los datos del cono de luz donde

${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$

pero también en datos que son internos a ese cono.

Ecuación de onda escalar en dimensión general y fórmulas de Kirchhoff

Queremos encontrar soluciones para u _tt - Δ u = 0 para u  : R ⁿ × (0, ∞) → R con u ( x , 0) = g ( x ) y u _t ( x , 0) = h ( x ) . Consulte a Evans para obtener más detalles.

Dimensiones impares

Suponga que n ≥ 3 es un número entero impar y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) para m = ( n + 1) / 2 . Sea γ _n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ ( n - 2) y sea

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}gdS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}hdS\right)\right]}$

entonces

u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))

u _tt - Δ u = 0 en R ⁿ × (0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}$

Incluso dimensiones

Suponga que n ≥ 2 es un número entero par y g ∈ C ^{m +1} ( R ⁿ ) , h ∈ C ^m ( R ⁿ ) , para m = ( n + 2) / 2 . Sea γ _n = 2 ⋅ 4 ⋅… ⋅ ny sea

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\mathrm {d} y\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\mathrm {d} y\right)\right]}$

entonces

u ∈ C ² ( R ⁿ × [0, ∞))

u _tt - Δ u = 0 en R ⁿ × (0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}$

Problemas con los límites

Una dimensión espacial

La formulación de Sturm-Liouville

Una cuerda flexible que se estira entre dos puntos x = 0 y x = L satisface la ecuación de onda para t > 0 y 0 < x < L . En los puntos limítrofes, u puede satisfacer diversas condiciones limítrofes. Un formulario general que es apropiado para las aplicaciones es

${\displaystyle -u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,}$

${\displaystyle u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,}$

donde un y b son no negativo. El caso donde u se requiere para desaparecer en un punto final es el límite de esta condición cuando el respectivo una o b se acerca al infinito. El método de separación de variables consiste en buscar soluciones a este problema en la forma especial

${\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}$

Una consecuencia es que

${\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}$

El valor propio λ debe determinarse de modo que no exista una solución trivial del problema del valor en la frontera

${\displaystyle v''+\lambda v=0,}$

${\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.}$

Este es un caso especial del problema general de la teoría de Sturm-Liouville . Si un y b son positivos, los valores propios son todos positivos, y las soluciones son funciones trigonométricas. Se puede obtener una solución que satisfaga las condiciones iniciales integrables al cuadrado para u y u _{t a} partir de la expansión de estas funciones en la serie trigonométrica apropiada.

Investigación por métodos numéricos

Aproximando la cuerda continua con un número finito de puntos de masa equidistantes, se obtiene el siguiente modelo físico:

Figura 1: Tres puntos de masa consecutivos del modelo discreto para una cuerda

Si cada punto de masa tiene la masa m , la tensión de la cuerda es f , la separación entre los puntos de masa es Δ x y u _i , i = 1,…, n son el desplazamiento de estos n puntos de sus puntos de equilibrio (es decir, su posición en una línea recta entre los dos puntos de unión de la cuerda) la componente vertical de la fuerza hacia el punto i + 1 es

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x}}f}$

( 1 )

y la componente vertical de la fuerza hacia el punto i - 1 es

${\displaystyle {\frac {u_{i-1}-u_{i}}{\Delta x}}f}$

( 2 )

Tomando la suma de estas dos fuerzas y dividiendo por la masa m se obtiene el movimiento vertical:

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{m\Delta x}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 3 )

Como la densidad de masa es

${\displaystyle \rho ={\frac {m}{\Delta x}}}$

esto se puede escribir

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{\rho {\Delta x}^{2}}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 4 )

La ecuación de onda se obtiene dejando Δ x → 0, en cuyo caso u _i ( t ) toma la forma u ( x , t ) donde u ( x , t ) es una función continua de dos variables,··tu _yotoma la forma ∂ ² u / ∂ t ² y

${\displaystyle {\frac {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{{\Delta x}^{2}}}\to {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

Pero la formulación discreta ( 3 ) de la ecuación de estado con un número finito de puntos de masa es la adecuada para una propagación numérica del movimiento de la cuerda. La condición de frontera

${\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}$

donde L es la longitud de la cuerda toma en la formulación discreta la forma que para los puntos más externos u ₁ y u _n las ecuaciones de movimiento son

${\displaystyle {\ddot {u}}_{1}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{2}-2u_{1}\right)}$

( 5 )

y

${\displaystyle {\ddot {u}}_{n}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{n-1}-2u_{n}\right)}$

( 6 )

mientras que para 1 < i < n

${\displaystyle {\ddot {u}}_{i}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}$

( 7 )

donde c = √ f / ρ .

Si la cuerda se aproxima con 100 puntos de masa discretos, se obtienen las 100 ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas ( 5 ), ( 6 ) y ( 7 ) o, de manera equivalente, 200 ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas.

Propagando estos hasta los tiempos

${\displaystyle {\frac {L}{c}}k(0.05),\,k=0,\cdots ,5}$

Utilizando un método multipaso de octavo orden , se encuentran los 6 estados que se muestran en la figura 2:

Figura 2: La cuerda en 6 épocas consecutivas, la primera (roja) correspondiente al tiempo inicial con la cuerda en reposo

Figura 3: La cuerda en 6 épocas consecutivas

Figura 4: La cuerda en 6 épocas consecutivas

Figura 5: La cuerda en 6 épocas consecutivas

Figura 6: La cuerda en 6 épocas consecutivas

Figura 7: La cuerda en 6 épocas consecutivas

La curva roja es el estado inicial en el tiempo cero en el que la cuerda se "suelta" en una forma predefinida ^[13] con todo . La curva azul es el estado en el tiempo, es decir, después de un tiempo que corresponde al tiempo que necesitaría una onda que se mueve con la velocidad de onda nominal c = √ f / ρ para un cuarto de la longitud de la cuerda.${\displaystyle {\dot {u}}_{i}=0}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}(0.25),}$

La Figura 3 muestra la forma de la cuerda en esos momentos . La onda viaja en la dirección derecha con la velocidad c = √ f / ρ sin estar activamente restringida por las condiciones de contorno en los dos extremos de la cuerda. La forma de la onda es constante, es decir, la curva tiene la forma f ( x - ct ) .${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\cdots ,11}$

La Figura 4 muestra la forma de la cuerda en esos momentos . La restricción en el extremo derecho comienza a interferir con el movimiento evitando que la ola suba el extremo de la cuerda.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\cdots ,17}$

La Figura 5 muestra la forma de la cuerda en los momentos en que se invierte la dirección del movimiento. Las curvas roja, verde y azul son los estados en los momentos, mientras que las 3 curvas negras corresponden a los estados en los momentos en que la onda comienza a moverse hacia la izquierda.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\cdots ,23}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\cdots ,20}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\cdots ,23}$

La figura 6 y la figura 7 finalmente muestran la forma de la cuerda en los tiempos y . La ola ahora viaja hacia la izquierda y las restricciones en los puntos finales ya no están activas. Cuando finalmente se encuentre en el otro extremo de la cuerda, la dirección se invertirá nuevamente de una manera similar a lo que se muestra en la figura 6.${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\cdots ,29}$${\displaystyle {\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\cdots ,35}$

Varias dimensiones de espacio

Una solución de la ecuación de onda en dos dimensiones con una condición de límite de desplazamiento cero a lo largo de todo el borde exterior.

La teoría del valor de frontera inicial unidimensional puede extenderse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Considere un dominio D en m -dimensional x espacio, con frontera B . Entonces, la ecuación de onda debe satisfacerse si x está en D y t > 0. En el límite de D, la solución u debe satisfacer

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}$

donde n es la unidad normal exterior a B , y una es una función no negativa definida en B . El caso en el que u desaparece en B es un caso límite para un infinito que se aproxima. Las condiciones iniciales son

${\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),\,}$

donde f y g se definen en D. Este problema puede resolverse expandiendo f y g en las funciones propias del laplaciano en D, que satisfacen las condiciones de contorno. Por tanto, la función propia v satisface

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}$

en D, y

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}$

en B.

En el caso de dos dimensiones espaciales, las funciones propias pueden interpretarse como los modos de vibración de una piel de tambor estirada sobre el límite B. Si B es un círculo, a continuación, estas funciones propias tienen un componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar θ , multiplicado por una función de Bessel (de orden entero) del componente radial. Más detalles se encuentran en la ecuación de Helmholtz .

Si el límite es una esfera en tres dimensiones espaciales, los componentes angulares de las funciones propias son armónicos esféricos y los componentes radiales son funciones de Bessel de orden medio entero.

Ecuación de onda no homogénea en una dimensión

Ver también: Ecuación de onda electromagnética no homogénea

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es la siguiente:

${\displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)\,}$

con condiciones iniciales dadas por

${\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)\,}$

La función s ( x , t ) a menudo se denomina función fuente porque en la práctica describe los efectos de las fuentes de ondas en el medio que las transporta. Los ejemplos físicos de funciones de fuente incluyen la fuerza que impulsa una onda en una cuerda, o la carga o densidad de corriente en el medidor de electromagnetismo de Lorenz .

Un método para resolver el problema del valor inicial (con los valores iniciales como se planteó anteriormente) es aprovechar una propiedad especial de la ecuación de onda en un número impar de dimensiones espaciales, a saber, que sus soluciones respetan la causalidad. Es decir, para cualquier punto ( x _i , t _i ) , el valor de u ( x _i , t _i ) sólo depende de los valores de f ( x _i + ct _i ) y f ( x _i - ct _i ) y la valores de la funcióng ( x ) entre ( x _i - ct _i ) y ( x _i + ct _i ) . Esto se puede ver en la fórmula de d'Alembert , enunciada anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella. Físicamente, si la velocidad de propagación máxima es c , entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un punto dado en un tiempo dado puede afectar la amplitud en el mismo punto y tiempo.

En términos de encontrar una solución, esta propiedad de causalidad significa que para cualquier punto dado de la línea que se está considerando, la única área que debe considerarse es el área que abarca todos los puntos que podrían afectar causalmente al punto que se está considerando. Denotan el área que casualmente afecta a punto ( x _i , t _i ) como R _C . Suponga que integramos la ecuación de onda no homogénea en esta región.

${\displaystyle \iint \limits _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

Para simplificar esto en gran medida, podemos usar el teorema de Green para simplificar el lado izquierdo y obtener lo siguiente:

${\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\mathrm {d} x\right)=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

El lado izquierdo es ahora la suma de tres integrales de línea a lo largo de los límites de la región de causalidad. Estos resultan ser bastante fáciles de calcular

${\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,\mathrm {d} x=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$

En lo anterior, el término a integrar con respecto al tiempo desaparece porque el intervalo de tiempo involucrado es cero, por lo que d t = 0.

Para los otros dos lados de la región, vale la pena señalar que x ± ct es una constante, es decir, x _i ± ct _i , donde el signo se elige apropiadamente. Usando esto, podemos obtener la relación d x ± c d t = 0 , nuevamente eligiendo el signo correcto:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\,\mathrm {d} x\right)&=\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)\,\mathrm {d} x+cu_{t}(x,t)\,\mathrm {d} t\right)\\&=c\int _{L_{1}}\,\mathrm {d} u(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}}$

Y de manera similar para el segmento de límite final:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,\mathrm {d} t-u_{t}(x,t)\,\mathrm {d} x\right)&=-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)\,\mathrm {d} x+cu_{t}(x,t)\,\mathrm {d} t\right)\\&=-c\int _{L_{2}}\,\mathrm {d} u(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}}$

Sumando los tres resultados y volviéndolos a poner en la integral original:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Resolviendo para u ( x _i , t _i ) llegamos a

${\displaystyle u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t.}$

En la última ecuación de la secuencia, los límites de la integral sobre la función fuente se han hecho explícitos. Al observar esta solución, que es válida para todas las opciones ( x _i , t _i ) compatibles con la ecuación de onda, está claro que los dos primeros términos son simplemente la fórmula de d'Alembert, como se indicó anteriormente como la solución de la ecuación de onda homogénea en una dimensión. La diferencia está en el tercer término, la integral sobre la fuente.

Otros sistemas de coordenadas

En tres dimensiones, la ecuación de onda, cuando se escribe en coordenadas cilíndricas elípticas , puede resolverse mediante la separación de variables, lo que conduce a la ecuación diferencial de Mathieu .

Más generalizaciones

Ondas elásticas

La ecuación de onda elástica (también conocida como ecuación de Navier-Cauchy ) en tres dimensiones describe la propagación de ondas en un medio elástico homogéneo isótropo . La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esta ecuación describe fenómenos como las ondas sísmicas en la Tierra y las ondas ultrasónicas que se utilizan para detectar defectos en los materiales. Si bien es lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas anteriormente, ya que debe tener en cuenta tanto el movimiento longitudinal como el transversal:

${\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

dónde:

• λ y μ son los llamados parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio,
• ρ es la densidad,
• f es la función de la fuente (fuerza motriz),
• y u es el vector de desplazamiento.

Al usar ∇ × (∇ × u ) = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∇ ⋅ ∇ u = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∆ u, la ecuación de onda elástica se puede reescribir en la forma más común de la ecuación de Navier-Cauchy.

Tenga en cuenta que en la ecuación de onda elástica, tanto la fuerza como el desplazamiento son cantidades vectoriales . Por lo tanto, esta ecuación a veces se conoce como ecuación de onda vectorial. Como ayuda para la comprensión, el lector observará que si f y ∇ ⋅ u se ponen a cero, esto se convierte (efectivamente) en la ecuación de Maxwell para la propagación del campo eléctrico E , que solo tiene ondas transversales.

Relación de dispersión

En los fenómenos de ondas dispersivas , la velocidad de propagación de las ondas varía con la longitud de onda de la onda, lo que se refleja en una relación de dispersión.

${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} ),}$

donde ω es la frecuencia angular y k es el vector de onda que describe las soluciones de onda plana . Para ondas de luz, la relación de dispersión es ω = ± c | k | , pero en general, la velocidad constante c se reemplaza por una velocidad de fase variable :

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega (k)}{k}}.}$

Ver también

• Atenuación acústica
• Ecuación de ondas acústicas
• Transformación de Bateman
• Ecuación de ondas electromagnéticas
• Ecuación de Helmholtz
• Ecuación de onda electromagnética no homogénea
• Operador de Laplace
• Matemáticas de oscilación
• Ecuaciones de Maxwell
• Ecuación de onda unidireccional
• Ecuación de Schrödinger
• Onda estacionaria
• Vibraciones de una membrana circular
• Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman

Notas

1. Cannon, John T .; Dostrovsky, Sigalia (1981). La evolución de la dinámica, teoría de la vibración desde 1687 hasta 1742 . Estudios de Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas. 6 . Nueva York: Springer-Verlag. págs. ix + 184 págs. ISBN 978-0-3879-0626-3.
2. GRIS, JW (julio de 1983). "RESEÑAS DE LIBROS". Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 9 (1). (consultado el 13 de noviembre de 2012).
3. Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy , (consultado el 13 de noviembre de 2012). Soy. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.
4. Para obtener una colección especial de los 9 artículos innovadores de los tres autores, consulte Primera aparición de la ecuación de onda: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - la controversia sobre las cuerdas vibrantes (consultado el 13 de noviembre de 2012). Herman HJ Lynge e hijo.
5. Para las contribuciones de De Lagrange a la ecuación de ondas acústicas, se puede consultar Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; página 18 (consultado el 9 de diciembre de 2012).
6. Speiser, David. Descubriendo los principios de la mecánica 1600–1800 , pág. 191 (Basilea: Birkhäuser, 2008).
7. Tipler, Paul y Mosca, Gene. Física para científicos e ingenieros, Volumen 1: Mecánica, oscilaciones y ondas; Termodinámica , págs. 470–471 (Macmillan, 2004).
8. Eric W. Weisstein . "Solución de d'Alembert" . MathWorld . Consultado el 21 de enero de 2009 .
9. D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlín , vol. 3, páginas 214–219.
   • Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Más investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, páginas 220–249.
   • Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, páginas 355–360.
10. http://math.arizona.edu/~kglasner/math456/linearwave.pdf .
11. V Guruprasad (2015), "Evidencia de observación de los modos de onda viajera con cambios proporcionales de distancia", EPL , 110 (5): 54001, arXiv : 1507.08222 , Bibcode : 2015EL .... 11054001G , doi : 10.1209 / 0295-5075 / 110/54001 , S2CID 42285652 
12. Jackson, John David. Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. pag. 425. ISBN 978-0-471-30932-1.
13. El estado inicial de "Investigación por métodos numéricos" se establece con splines cuadráticos de lasiguiente manera:

    ${\displaystyle u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)}$ por ${\displaystyle 0\leq x\leq x_{2}}$

    ${\displaystyle u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}}$ por ${\displaystyle x_{2}\leq x\leq x_{3}}$

    ${\displaystyle u(0,x)=0}$ por ${\displaystyle x_{3}\leq x\leq L}$

    con ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}}$

Referencias

• MF Atiyah, R. Bott, L. Garding, " Lagunas para operadores diferenciales hiperbólicos con coeficientes constantes I ", Acta Math. , 124 (1.970), 109-189.
• MF Atiyah, R. Bott y L. Garding, " Lagunas para operadores diferenciales hiperbólicos con coeficientes II constantes ", Acta Math. , 131 (1973), 145-206.
• R. Courant, D. Hilbert, Métodos de física matemática, vol II . Interscience (Wiley) Nueva York, 1962.
• L. Evans, "Ecuaciones diferenciales parciales". Providencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, 1998.
• " Ecuaciones de onda lineal ", EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• " Ecuaciones de onda no lineales ", EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• William C. Lane, " MISN-0-201 La ecuación de onda y sus soluciones ", Proyecto PHYSNET .

Enlaces externos

• Ecuaciones de onda no lineales de Stephen Wolfram y Rob Knapp, Explorador de ecuaciones de onda no lineal de Wolfram Demonstrations Project .
• Los aspectos matemáticos de las ecuaciones de onda se discuten en Dispersive PDE Wiki .
• Graham W Griffiths y William E. Schiesser (2009). Ondas lineales y no lineales . Scholarpedia , 4 (7): 4308. doi: 10.4249 / scholarpedia.4308

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