Sustitución de Weierstrass

Cambio de variable para integrales que involucran funciones trigonométricas

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En el cálculo integral , la sustitución Weierstrass o sustitución tangente medio-ángulo es un método para evaluar las integrales , que convierte una función racional de funciones trigonométricas de en una función racional ordinaria de por el ajuste . ^{[1] [2]} No se pierde ninguna generalidad al considerar que estas son funciones racionales del seno y el coseno. La fórmula de transformación general es${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=\tan(x/2)}$

${\displaystyle \int f(\sin(x),\cos(x))\,dx=\int {\frac {2}{1+t^{2}}}f\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,dt.}$

Lleva el nombre de Karl Weierstrass (1815-1897), ^{[3] [4] [5]} aunque se puede encontrar en un libro de Leonhard Euler de 1768. ^[6] Michael Spivak escribió que este método era la "sustitución más furtiva" en el mundo. ^[7]

La sustitución

Comenzando con una función racional de senos y cosenos, se reemplaza y con funciones racionales de la variable  y se relacionan las diferenciales y de la siguiente manera.${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dt}$

Vamos , donde . Entonces ^{[1] [8]}${\displaystyle t=\tan(x/2)}$${\displaystyle -\pi <x<\pi }$

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.}$

Por eso,

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$

Derivación de las fórmulas

Por las fórmulas de doble ángulo ,

${\displaystyle \sin x=2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2\cdot {\frac {t}{\sqrt {t^{2}+1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}={\frac {2t}{t^{2}+1}},}$

y

${\displaystyle \cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)-1={\frac {2}{t^{2}+1}}-1={\frac {2-(t^{2}+1)}{t^{2}+1}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Finalmente, ya que ,${\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle dt={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {dx}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {dx}{2\cdot {\frac {1}{t^{2}+1}}}}\qquad \Rightarrow \qquad dx={\frac {2}{t^{2}+1}}dt.}$

Ejemplos

Primer ejemplo: la integral cosecante

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}$

Podemos confirmar el resultado anterior usando un método estándar para evaluar la integral cosecante multiplicando el numerador y el denominador y realizando las siguientes sustituciones en la expresión resultante: y . Esta sustitución se puede obtener de la diferencia de las derivadas de la cosecante y la cotangente, que tienen la cosecante como factor común.${\displaystyle \csc x-\cot x}$${\displaystyle u=\csc x-\cot x}$${\displaystyle du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {(\csc ^{2}x-\csc x\cot x)\,dx}{\csc x-\cot x}}&&u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x)\,dx\\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C.\end{aligned}}}$

Ahora, las fórmulas de medio ángulo para senos y cosenos son

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\quad {\text{and}}\quad \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}.}$

Ellos dan

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C=\ln {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\cdot {\frac {1-\cos x}{1-\cos x}}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\frac {(1-\cos x)^{2}}{\sin ^{2}x}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1-\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {\left({\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\right)^{2}}}+C\\[6pt]&=\ln {\sqrt {(\csc x-\cot x)^{2}}}+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C,\end{aligned}}}$

por lo que las dos respuestas son equivalentes. La expresion

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}}$

es una fórmula de medio ángulo tangente . La integral secante se puede evaluar de manera similar.

Segundo ejemplo: una integral definida

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}$

En la primera línea, no se sustituyen simplemente ambos límites de integración . La singularidad (en este caso, una asíntota vertical ) de al debe tenerse en cuenta. Alternativamente, primero evalúe la integral indefinida y luego aplique los valores de frontera.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}$${\displaystyle x=\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{\left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)^{2}+1}}&&u={\frac {t}{\sqrt {3}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left[{\frac {\tan(x/2)}{\sqrt {3}}}\right]+C.\end{aligned}}}$

Por simetría,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan x/2}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan b/2}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}}$

que es lo mismo que la respuesta anterior.

Tercer ejemplo: seno y coseno

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan {\frac {(c-a)\tan {\frac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}+C\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle 4E=4(c-a)(c+a)-(2b)^{2}=4(c^{2}-(a^{2}+b^{2}))>0.}$

Geometría

La sustitución de Weierstrass parametriza el círculo unitario centrado en (0, 0). En lugar de + ∞ y −∞, solo tenemos un ∞, en ambos extremos de la línea real. Eso suele ser apropiado cuando se trata de funciones racionales y funciones trigonométricas. (Esta es la compactación de un punto de la línea).

A medida que x varía, el punto (cos  x , sen  x ) se enrolla repetidamente alrededor del círculo unitario centrado en (0, 0). El punto

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

da una sola vuelta al círculo cuando t va de −∞ a + ∞, y nunca alcanza el punto (−1, 0), que se aproxima como un límite cuando t se acerca a ± ∞. Cuando t va de −∞ a −1, el punto determinado por t pasa por la parte del círculo en el tercer cuadrante, de (−1, 0) a (0, −1). Cuando t va de -1 a 0, el punto sigue la parte del círculo en el cuarto cuadrante desde (0, -1) a (1, 0). Cuando t va de 0 a 1, el punto sigue la parte del círculo en el primer cuadrante desde (1, 0) a (0, 1). Finalmente, cuando t va de 1 a + ∞, el punto sigue la parte del círculo en el segundo cuadrante desde (0, 1) a (−1, 0).

Aquí hay otro punto de vista geométrico. Dibuja el círculo unitario y deja que P sea ​​el punto (-1, 0) . Una línea que pasa por P (excepto la línea vertical) está determinada por su pendiente. Además, cada una de las líneas (excepto la línea vertical) interseca el círculo unidad en exactamente dos puntos, uno de los cuales es P . Esto determina una función desde puntos en el círculo unitario hasta pendientes. Las funciones trigonométricas determinan una función de ángulos a puntos en el círculo unitario, y al combinar estas dos funciones tenemos una función de ángulos a pendientes.

Galería

• (1/2) La sustitución de Weierstrass relaciona un ángulo con la pendiente de una línea.

• (2/2) La sustitución de Weierstrass ilustrada como proyección estereográfica del círculo.

Funciones hiperbólicas

Al igual que con otras propiedades compartidas entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, es posible usar identidades hiperbólicas para construir una forma similar de sustitución:

${\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\qquad \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\qquad \tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \coth x={\frac {1+t^{2}}{2t}},\qquad \operatorname {sech} x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad \operatorname {csch} x={\frac {1-t^{2}}{2t}},\qquad {\text{and}}\qquad dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt.}$

Ver también

• Curva racional
• Proyección estereográfica
• Fórmula de medio ángulo tangente
• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Euler

Lectura adicional

• Edwards, Joseph (1921). "Capítulo VI". Un tratado sobre el cálculo integral con aplicaciones, ejemplos y problemas . Londres: Macmillan and Co, Ltd.

Notas y referencias

1. Stewart, James (2012). Cálculo: principios trascendentales (7ª ed.). Belmont, CA, EE.UU .: Cengage Learning. págs.  493 . ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Weisstein, Eric W. " Sustitución de Weierstrass ". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. Consultado el 1 de abril de 2020.
3. Gerald L. Bradley y Karl J. Smith, Cálculo , Prentice Hall, 1995, páginas 462, 465, 466
4. Christof Teuscher, Alan Turing: vida y legado de un gran pensador , Springer, 2004, páginas 105–6
5. James Stewart, Cálculo: principios trascendentales , Brooks / Cole, 1 de abril de 1991, página 436
6. Euler, Leonard (1768). "Institutiionum calculi integralis volumen primum. E342, Caput V, párrafo 261" (PDF) . Archivo Euler . Asociación Matemática de América (MAA) . Consultado el 1 de abril de 2020 .
7. Michael Spivak, Cálculo , Cambridge University Press , 2006, páginas 382–383.
8. James Stewart, Cálculo: principios trascendentales , Brooks / Cole, 1991, página 439

Enlaces externos

• Fórmulas de sustitución de Weierstrass en PlanetMath