Una función de ponderación es un dispositivo matemático que se utiliza al realizar una suma, integral o promedio para dar a algunos elementos más "ponderación" o influencia en el resultado que a otros elementos del mismo conjunto. El resultado de esta aplicación de una función de ponderación es una suma ponderada o promedio ponderado . Las funciones de ponderación ocurren con frecuencia en estadísticas y análisis , y están estrechamente relacionadas con el concepto de medida . Las funciones de peso se pueden emplear tanto en configuraciones discretas como continuas. Se pueden utilizar para construir sistemas de cálculo llamados "cálculo ponderado" [1] y "metacálculo". [2]
Pesos discretos
Definición general
En la configuración discreta, una función de peso es una función positiva definida en un conjunto discreto , que suele ser finito o contable . La función de pesocorresponde a la situación no ponderada en la que todos los elementos tienen el mismo peso. Entonces se puede aplicar este peso a varios conceptos.
Si la función es una verdadera -valued función , entonces el no ponderado suma de en Se define como
pero dada una función de peso , la suma ponderada o combinación cónica se define como
Una aplicación común de las sumas ponderadas surge en la integración numérica .
Si B es un subconjunto finito de A , se puede reemplazar la cardinalidad no ponderada | B | de B por la cardinalidad ponderada
Si A es un conjunto finito no vacío, se puede reemplazar la media no ponderada o el promedio
por la media ponderada o el promedio ponderado
En este caso, solo son relevantes los pesos relativos .
Estadísticas
Las medias ponderadas se utilizan comúnmente en estadísticas para compensar la presencia de sesgos . Por una cantidad medido múltiples tiempos independientes con varianza , la mejor estimación de la señal se obtiene promediando todas las mediciones con peso , y la varianza resultante es menor que cada una de las medidas independientes. El método de máxima verosimilitud pondera la diferencia entre el ajuste y los datos usando los mismos pesos.
El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los posibles valores que podría tomar, siendo los pesos las respectivas probabilidades . De manera más general, el valor esperado de una función de una variable aleatoria es el promedio ponderado por la probabilidad de los valores que toma la función para cada valor posible de la variable aleatoria.
En regresiones en las que se supone que la variable dependiente se ve afectada por los valores actuales y rezagados (pasados) de la variable independiente , se estima una función de rezago distribuida , siendo esta función un promedio ponderado de los valores actuales y de varias variables independientes rezagadas. De manera similar, un modelo de promedio móvil especifica una variable en evolución como un promedio ponderado de los valores actuales y varios rezagados de una variable aleatoria.
Mecánica
La función de ponderación terminológica surge de la mecánica : si uno tiene una colección deobjetos en una palanca , con pesas(donde el peso ahora se interpreta en el sentido físico) y ubicaciones, entonces la palanca estará en equilibrio si el fulcro de la palanca está en el centro de masa
que es también el promedio ponderado de las posiciones .
Pesos continuos
En el ajuste continuo, un peso es una medida positiva comoen algún dominio , que suele ser un subconjunto de un espacio euclidiano , por ejemplo podría ser un intervalo . Aquíes la medida de Lebesgue yes una función medible no negativa . En este contexto, la función de pesoa veces se denomina densidad .
Definición general
Si es una verdadera -valued función , entonces el no ponderado integral
se puede generalizar a la integral ponderada
Tenga en cuenta que es posible que necesite ser absolutamente integrable con respecto al peso para que esta integral sea finita.
Volumen ponderado
Si E es un subconjunto de, entonces el volumen vol ( E ) de E se puede generalizar al volumen ponderado
Peso promedio
Si tiene un volumen ponderado finito distinto de cero, entonces podemos reemplazar el promedio no ponderado
por el promedio ponderado
Forma bilineal
Si y son dos funciones, se puede generalizar la forma bilineal no ponderada
a una forma bilineal ponderada
Consulte la entrada sobre polinomios ortogonales para ver ejemplos de funciones ortogonales ponderadas .
Ver también
- Centro de masa
- Integracion numerica
- Ortogonalidad
- Media ponderada
- Combinación lineal
- Kernel (estadísticas)
- Medir (matemáticas)
- Integral de Riemann – Stieltjes
Referencias
- ^ Jane Grossman, Michael Grossman, Robert Katz. Los primeros sistemas de cálculo diferencial e integral ponderado , ISBN 0-9771170-1-4 , 1980.
- ^ Jane Grossman. Metacálculo: diferencial e integral , ISBN 0-9771170-2-2 , 1981.