En teoría de números , un número extraño es un número natural que es abundante pero no semiperfecto . [1] [2]
En otras palabras, la suma de los divisores propios (divisores que incluyen 1 pero no él mismo) del número es mayor que el número, pero ningún subconjunto de esos divisores suma al número en sí.
Ejemplos de
El número extraño más pequeño es 70. Sus divisores propios son 1, 2, 5, 7, 10, 14 y 35; estos suman 74, pero ningún subconjunto de estas sumas a 70. El número 12, por ejemplo, es abundante pero no extraño, porque los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, que suman 16; pero 2 + 4 + 6 = 12.
Los primeros números extraños son
Propiedades
¿Hay números raros e impares?
Existen infinitos números extraños. [3] Por ejemplo, 70 p es extraño para todos los números primos p ≥ 149. De hecho, el conjunto de números extraños tiene una densidad asintótica positiva . [4]
No se sabe si existen números extraños e impares. Si es así, deben ser superiores a 10 21 . [5]
Sidney Kravitz ha demostrado que para k un entero positivo, Q un primo superior a 2 k , y
también primo y mayor que 2 k , entonces
es un número extraño. [6] Con esta fórmula, encontró un gran número extraño
Números raros primitivos
Una propiedad de los números extraños es que si n es extraño y p es un primo mayor que la suma de los divisores σ ( n ), entonces pn también es extraño. [4] Esto conduce a la definición de números raros primitivos , es decir, números raros que no son múltiplos de otros números raros (secuencia A002975 en la OEIS ). Solo hay 24 números raros primitivos menores que un millón, en comparación con 1765 números raros hasta ese límite. La construcción de Kravitz produce números extraños primitivos, ya que todos los números extraños de la formason primitivos, pero no se garantiza la existencia de un número infinito de k y Q que producen un R primo . Se conjetura que existen infinitos números raros primitivos, y Melfi ha demostrado que la infinitud de los números raros primitivos es una consecuencia de la conjetura de Cramér . [7] Se han encontrado números extraños primitivos con hasta 16 factores primos y 14712 dígitos. [8]
Ver también
Referencias
- ^ Benkoski, Stan (agosto-septiembre de 1972). "E2308 (en Problemas y Soluciones)". The American Mathematical Monthly . 79 (7): 774. doi : 10.2307 / 2316276 . JSTOR 2316276 .
- ^ Richard K. Guy (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248 . Sección B2.
- ^ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 113-114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .
- ^ a b Benkoski, Stan; Erdős, Paul (abril de 1974). "Sobre números extraños y pseudoperfectos" . Matemáticas de la Computación . 28 (126): 617–623. doi : 10.2307 / 2005938 . Señor 0347726 . Zbl 0279.10005 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006037 (números extraños: abundante (A005101) pero no pseudoperfecto (A005835))" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS. - comentarios sobre números extraños e impares
- ^ Kravitz, Sidney (1976). "Una búsqueda de números grandes y extraños". Revista de matemáticas recreativas . Publicación de Baywood. 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003 .
- ^ Melfi, Giuseppe (2015). "Sobre la infinitud condicional de los números raros primitivos" . Revista de teoría de números . Elsevier. 147 : 508–514. doi : 10.1016 / j.jnt.2014.07.024 .
- ^ Amato, Gianluca; Hasler, Maximiliano; Melfi, Giuseppe; Parton, Maurizio (2019). "Números primitivos abundantes y extraños con muchos factores primos". Revista de teoría de números . Elsevier. 201 : 436–459. arXiv : 1802.07178 . doi : 10.1016 / j.jnt.2019.02.027 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número extraño" . MathWorld .