En matemáticas , una expresión se denomina bien definida o inequívoca si su definición le asigna una interpretación o un valor únicos. De lo contrario, se dice que la expresión no está bien definida , mal definida o ambigua . [1] Una función está bien definida si da el mismo resultado cuando se cambia la representación de la entrada sin cambiar el valor de la entrada. Por ejemplo, si f toma números reales como entrada, y si f (0.5) no es igual a f (1/2), entonces f no está bien definida (y por lo tanto no es una función). [2] El términobien definido también se puede utilizar para indicar que una expresión lógica es inequívoca o no contradictoria. [3]
Una función que no está bien definida no es lo mismo que una función que no está definida . Por ejemplo, si f ( x ) = 1 / x , entonces el hecho de que f (0) no esté definido no significa que f no esté bien definido, sino que 0 simplemente no está en el dominio de f .
Ejemplo
Dejar ser conjuntos, dejar y "definir" como Si y Si .
Luego está bien definido si . Por ejemplo, siy , luego estaría bien definido e igual a .
Sin embargo, si , luego no estaría bien definido porque es "ambiguo" para . Por ejemplo, si y , luego tendría que ser tanto 0 como 1, lo que lo hace ambiguo. Como resultado, este último no está bien definido y, por lo tanto, no es una función.
"Definición" como anticipación de la definición
Para evitar los apóstrofos alrededor de "definir" en el ejemplo simple anterior, la "definición" de podría dividirse en dos sencillos pasos lógicos:
- La definición de la relación binaria : en el ejemplo
- ,
- La afirmación : la relación binariaes una función; en el ejemplo
- .
Si bien la definición del paso 1 se formula con la libertad de cualquier definición y es ciertamente eficaz (sin la necesidad de clasificarla como "bien definida"), la afirmación del paso 2 debe probarse. Es decir, es una función si y solo si , en ese caso - como función - está bien definido. Por otro lado, si, luego por un , tendríamos eso y , lo que hace que la relación binaria no funcional (como se define en Relación binaria # Tipos especiales de relaciones binarias ) y, por lo tanto, no está bien definido como función. Coloquialmente, la "función" también se llama ambiguo en el punto (aunque, por definición, nunca hay una "función ambigua"), y la "definición" original no tiene sentido. A pesar de estos sutiles problemas lógicos, es bastante común usar anticipadamente el término definición (sin apóstrofos) para "definiciones" de este tipo, por tres razones:
- Proporciona una práctica abreviatura del enfoque de dos pasos.
- El razonamiento matemático relevante (es decir, el paso 2) es el mismo en ambos casos.
- En los textos matemáticos, la afirmación es "hasta el 100%" verdadera.
Independencia del representante
La cuestión de la bien definida de una función surge clásicamente cuando la ecuación definitoria de una función no (solo) se refiere a los argumentos en sí mismos, sino (también) a elementos de los argumentos. Esto a veces es inevitable cuando los argumentos son clases laterales y la ecuación se refiere a representantes de clases laterales.
Funciones con un argumento
Por ejemplo, considere la siguiente función
dónde y son los enteros módulo m ydenota la clase de congruencia de n mod m .
NÓTESE BIEN: es una referencia al elemento , y es el argumento de .
La función está bien definido, porque
Como contraejemplo, la definición inversa
no conduce a una función bien definida, ya que, por ejemplo, es igual a en , pero el primero sería mapeado por a , mientras que el segundo se asignaría a , y y son desiguales en .
Operaciones
En particular, el término bien definido se utiliza con respecto a operaciones (binarias) en clases laterales. En este caso se puede ver la operación como una función de dos variables y la propiedad de estar bien definida es la misma que la de una función. Por ejemplo, la suma en el módulo de números enteros algunos n se puede definir naturalmente en términos de suma de números enteros.
El hecho de que esto esté bien definido se deriva del hecho de que podemos escribir cualquier representante de como , dónde es un entero. Por lo tanto,
y de manera similar para cualquier representante de , haciendo así lo mismo independientemente de la elección del representante. [3]
Notación bien definida
Para números reales, el producto es inequívoco porque (y por lo tanto se dice que la notación está bien definida ). [1] Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no dependa de la secuencia de multiplicaciones, por lo que se puede omitir una especificación de la secuencia.
La operación de resta , por otro lado, no es asociativa. Sin embargo, existe una convención que es una abreviatura de , por lo que está "bien definido".
La división también es no asociativa. Sin embargo, en el caso de, las convenciones de paréntesis no están tan bien establecidas, por lo que esta expresión a menudo se considera mal definida .
A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación pueden superarse más o menos fácilmente mediante definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C, el operador -
de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-c
se define como (a-b)-c
, y el operador =
de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=c
se define como a=(b=c)
. [4] En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero entre paréntesis.
Otros usos del término
Se dice que una solución a una ecuación diferencial parcial está bien definida si está determinada por las condiciones de contorno de forma continua a medida que cambian las condiciones de contorno. [1]
Ver también
Referencias
Notas
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Bien definido" . De MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 2 de enero de 2013 .
- ^ Joseph J. Rotman, La teoría de grupos: una introducción , p. 287 "... una función es de" valor único "o, como preferimos decir ... una función está bien definida ", Allyn y Bacon, 1965.
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 18 de octubre de 2019 .
- ^ "Precedencia de operador y asociatividad en C" . GeeksforGeeks . 2014-02-07 . Consultado el 18 de octubre de 2019 .