En el procesamiento de señales , el ruido blanco es una señal aleatoria que tiene la misma intensidad a diferentes frecuencias , lo que le da una densidad espectral de potencia constante . [1] El término se utiliza, con éste u otros significados similares, en muchas disciplinas científicas y técnicas, incluidas la física , la ingeniería acústica , las telecomunicaciones y la predicción estadística . El ruido blanco se refiere a un modelo estadístico para señales y fuentes de señales, más que a una señal específica. El ruido blanco recibe su nombre de la luz blanca , [2] aunque la luz que parece blanca generalmente no tiene una densidad espectral de potencia plana sobre la banda visible.
Colores de ruido |
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blanco |
Rosa |
Rojo (browniano) |
Púrpura |
Gris |
En tiempo discreto , el ruido blanco es una señal discreta cuyas muestras se consideran como una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas en serie con media cero y varianza finita ; una sola realización de ruido blanco es un impacto aleatorio . Dependiendo del contexto, también se puede requerir que las muestras sean independientes y tengan una distribución de probabilidad idéntica (en otras palabras, las variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas son la representación más simple del ruido blanco). [3] En particular, si cada muestra tiene una distribución normal con media cero, se dice que la señal es ruido gaussiano blanco aditivo . [4]
Las muestras de una señal de ruido blanco pueden ser secuenciales en el tiempo o dispuestas a lo largo de una o más dimensiones espaciales. En el procesamiento de imágenes digitales , los píxeles de una imagen de ruido blanco se organizan típicamente en una cuadrícula rectangular y se supone que son variables aleatorias independientes con una distribución de probabilidad uniforme en algún intervalo. El concepto se puede definir también para señales distribuidas en dominios más complicados, como una esfera o un toro .
Una señal de ruido blanco de ancho de banda infinito es una construcción puramente teórica. El ancho de banda del ruido blanco está limitado en la práctica por el mecanismo de generación de ruido, por el medio de transmisión y por las capacidades de observación finitas. Por lo tanto, las señales aleatorias se consideran "ruido blanco" si se observa que tienen un espectro plano en el rango de frecuencias que son relevantes para el contexto. Para una señal de audio , el rango relevante es la banda de frecuencias de sonido audible (entre 20 y 20.000 Hz ). El oído humano escucha dicha señal como un silbido , parecido al sonido / h / en una aspiración sostenida. Por otro lado, el sonido "sh" / ʃ / en "ash" es un ruido de color porque tiene una estructura formante. En música y acústica , el término "ruido blanco" se puede utilizar para cualquier señal que tenga un silbido similar.
El término ruido blanco se utiliza a veces en el contexto de métodos estadísticos basados en la filogenia para referirse a la falta de un patrón filogenético en los datos comparativos. [5] A veces se usa de manera análoga en contextos no técnicos para significar "conversación aleatoria sin contenido significativo". [6] [7]
Propiedades estadísticas
Es posible cualquier distribución de valores (aunque debe tener un componente de CC cero ). Incluso una señal binaria que solo puede tomar los valores 1 o 0 será blanca si la secuencia no está correlacionada estadísticamente. Por supuesto, el ruido que tiene una distribución continua, como una distribución normal , puede ser blanco.
A menudo se asume incorrectamente que el ruido gaussiano (es decir, ruido con una distribución de amplitud gaussiana - ver distribución normal ) necesariamente se refiere al ruido blanco, pero ninguna propiedad implica a la otra. Gaussianity se refiere a la distribución de probabilidad con respecto al valor, en este contexto la probabilidad de que la señal caiga dentro de cualquier rango particular de amplitudes, mientras que el término 'blanco' se refiere a la forma en que la potencia de la señal se distribuye (es decir, independientemente) a lo largo del tiempo o entre frecuencias.
El ruido blanco es la derivada cuadrática media generalizada del proceso de Wiener o movimiento browniano .
Una generalización a elementos aleatorios en espacios de dimensión infinita, como campos aleatorios , es la medida del ruido blanco .
Aplicaciones prácticas
Música
El ruido blanco se usa comúnmente en la producción de música electrónica , generalmente ya sea directamente o como entrada para un filtro para crear otros tipos de señal de ruido. Se utiliza ampliamente en síntesis de audio , normalmente para recrear instrumentos de percusión como platillos o tambores que tienen un alto contenido de ruido en su dominio de frecuencia. Un ejemplo simple de ruido blanco es una estación de radio inexistente (estática).
Ingeniería electronica
El ruido blanco también se utiliza para obtener la respuesta al impulso de un circuito eléctrico, en particular de amplificadores y otros equipos de audio. No se utiliza para probar altavoces ya que su espectro contiene una cantidad demasiado grande de contenido de alta frecuencia. El ruido rosa , que se diferencia del ruido blanco en que tiene la misma energía en cada octava, se utiliza para probar transductores como altavoces y micrófonos.
Informática
El ruido blanco se utiliza como base de algunos generadores de números aleatorios . Por ejemplo, Random.org utiliza un sistema de antenas atmosféricas para generar patrones de dígitos aleatorios a partir del ruido blanco.
Tratamiento de acúfenos
El ruido blanco es una fuente de ruido sintético común que un enmascarador de tinnitus utiliza para enmascarar el sonido . [8] Las máquinas de ruido blanco y otras fuentes de ruido blanco se venden como potenciadores de la privacidad y ayudas para dormir (ver música y sueño ) y para enmascarar el tinnitus . [9] El Marpac Sleep-Mate (ahora llamado Dohm ) es la primera máquina de ruido blanco para uso doméstico construida en 1962 por el vendedor ambulante Jim Buckwalter. [10] Alternativamente, el uso de una radio FM sintonizada en frecuencias no utilizadas ("estáticas") es una fuente de ruido blanco más simple y rentable. [11] Sin embargo, el ruido blanco generado por un receptor de radio comercial común sintonizado en una frecuencia no utilizada es extremadamente vulnerable a ser contaminado con señales espúreas, como estaciones de radio adyacentes, armónicos de estaciones de radio no adyacentes, equipos eléctricos en las cercanías del antena receptora que causa interferencias, o incluso eventos atmosféricos como erupciones solares y especialmente rayos.
Existe evidencia de que las terapias de exposición al ruido blanco pueden inducir cambios desadaptativos en el cerebro que degradan la salud neurológica y comprometen la cognición. [12]
Ambiente de trabajo
Los efectos del ruido blanco sobre la función cognitiva son mixtos. Recientemente, un pequeño estudio encontró que la estimulación de fondo con ruido blanco mejora el funcionamiento cognitivo entre los estudiantes de secundaria con trastorno por déficit de atención con hiperactividad (TDAH), mientras que disminuye el rendimiento de los estudiantes sin TDAH. [13] [14] Otro trabajo indica que es eficaz para mejorar el estado de ánimo y el rendimiento de los trabajadores al enmascarar el ruido de fondo de la oficina, [15] pero disminuye el rendimiento cognitivo en tareas complejas de clasificación de tarjetas. [dieciséis]
De manera similar, se llevó a cabo un experimento en sesenta y seis participantes sanos para observar los beneficios de usar ruido blanco en un entorno de aprendizaje. El experimento involucró a los participantes identificando diferentes imágenes mientras tenían diferentes sonidos de fondo. En general, el experimento mostró que el ruido blanco de hecho tiene beneficios en relación con el aprendizaje. Los experimentos mostraron que el ruido blanco mejoró ligeramente las habilidades de aprendizaje de los participantes y su memoria de reconocimiento. [17]
Definiciones matemáticas
Vector de ruido blanco
Se dice que un vector aleatorio (es decir, un proceso parcialmente indeterminado que produce vectores de números reales) es un vector de ruido blanco o un vector aleatorio blanco si sus componentes tienen cada uno una distribución de probabilidad con media cero y varianza finita , y son estadísticamente independientes : es decir, su distribución de probabilidad conjunta debe ser el producto de las distribuciones de los componentes individuales. [18]
Una condición necesaria (pero, en general, no suficiente ) para la independencia estadística de dos variables es que no estén correlacionadas estadísticamente ; es decir, su covarianza es cero. Por lo tanto, la matriz de covarianza R de los componentes de un vector de ruido blanco w con n elementos debe ser una matriz diagonal de n por n , donde cada elemento diagonal R ii es la varianza del componente w i ; y la matriz de correlación debe ser la matriz identidad de n por n .
Si, además de ser independiente, toda variable en w también tiene una distribución normal con media cero y la misma varianza, w se dice que es un vector de ruido blanco gaussiano. En ese caso, la distribución conjunta de w es una distribución normal multivariante ; la independencia entre las variables implica entonces que la distribución tiene simetría esférica en el espacio n -dimensional. Por lo tanto, cualquier transformación ortogonal del vector resultará en un vector aleatorio blanco gaussiano. En particular, en la mayoría de los tipos de transformadas discretas de Fourier , como FFT y Hartley , la transformada W de w también será un vector de ruido blanco gaussiano; es decir, los n coeficientes de Fourier de w serán variables gaussianas independientes con media cero y la misma varianza.
El espectro de potencia P de un vector aleatorio w se puede definir como el valor esperado del módulo al cuadrado de cada coeficiente de su transformada de Fourier W , es decir, P i = E (| W i | 2 ). Bajo esa definición, un vector de ruido blanco gaussiano tendrá un espectro de potencia perfectamente plano, con P i = σ 2 para todo i .
Si w es un vector aleatorio blanco, pero no gaussiano, sus coeficientes de Fourier W i no serán completamente independientes entre sí; aunque para n grandes y distribuciones de probabilidad común, las dependencias son muy sutiles, y se puede suponer que sus correlaciones por pares son cero.
A menudo, la condición más débil "estadísticamente no correlacionada" se utiliza en la definición de ruido blanco, en lugar de "estadísticamente independiente". Sin embargo, algunas de las propiedades comúnmente esperadas del ruido blanco (como el espectro de potencia plana) pueden no ser válidas para esta versión más débil. Bajo este supuesto, la versión más estricta puede denominarse explícitamente vector de ruido blanco independiente. [19] : p.60 Otros autores utilizan en su lugar un blanco fuerte y un blanco débil. [20]
Un ejemplo de un vector aleatorio que es "ruido blanco gaussiano" en el sentido débil pero no en el fuerte es x = [ x 1 , x 2 ] donde x 1 es una variable aleatoria normal con media cero y x 2 es igual a + x 1 o hacia - x 1 , con igual probabilidad. Estas dos variables no están correlacionadas y tienen una distribución normal individual, pero no tienen una distribución normal conjunta y no son independientes. Si x se gira 45 grados, sus dos componentes seguirán sin correlacionarse, pero su distribución ya no será normal.
En algunas situaciones, uno puede relajar la definición permitiendo que cada componente de un vector aleatorio blanco w tenga un valor esperado distinto de cero. En procesamiento de imágenes , especialmente, donde las muestras son típicamente restringidas a valores positivos, a menudo se tomaser la mitad del valor máximo de la muestra. En ese caso, el coeficiente de Fourier W 0 correspondiente al componente de frecuencia cero (esencialmente, el promedio de w i ) también tendrá un valor esperado distinto de cero; y el espectro de potencia P será plano solo en las frecuencias distintas de cero.
Ruido blanco de tiempo discreto
Un proceso estocástico de tiempo discreto es una generalización de vectores aleatorios con un número finito de componentes a un número infinito de componentes. Un proceso estocástico de tiempo discreto se llama ruido blanco si su media no depende del tiempo y es igual a cero, es decir y si la función de autocorrelación tiene un valor distinto de cero solo para , es decir .
Ruido blanco de tiempo continuo
Para definir la noción de "ruido blanco" en la teoría de las señales de tiempo continuo , se debe reemplazar el concepto de un "vector aleatorio" por una señal aleatoria de tiempo continuo; es decir, un proceso aleatorio que genera una función de un parámetro de valor real .
Se dice que tal proceso es ruido blanco en el sentido más fuerte si el valor para cualquier momento es una variable aleatoria que es estadísticamente independiente de todo su historial antes . Una definición más débil requiere independencia solo entre los valores y en cada par de momentos distintos y . Una definición aún más débil solo requiere que tales pares y no estar correlacionado. [21] Como en el caso discreto, algunos autores adoptan la definición más débil de "ruido blanco" y utilizan el calificador independiente para referirse a cualquiera de las definiciones más fuertes. Otros usan débilmente blanco y fuertemente blanco para distinguir entre ellos.
Sin embargo, una definición precisa de estos conceptos no es trivial, porque algunas cantidades que son sumas finitas en el caso discreto finito deben ser reemplazadas por integrales que pueden no converger. De hecho, el conjunto de todas las instancias posibles de una señal ya no es un espacio de dimensión finita , sino un espacio funcional de dimensión infinita . Además, por cualquier definición, una señal de ruido blancotendría que ser esencialmente discontinuo en todos los puntos; por lo tanto, incluso las operaciones más simples en, como la integración en un intervalo finito, requiere maquinaria matemática avanzada.
Algunos autores requieren cada valor ser una variable aleatoria de valor real con expectativa y alguna varianza finita . Entonces la covarianza entre los valores en dos momentos y está bien definido: es cero si los tiempos son distintos, y si son iguales. Sin embargo, según esta definición, la integral
sobre cualquier intervalo con ancho positivo sería simplemente el ancho multiplicado por la expectativa: . Esta propiedad haría que el concepto fuera inadecuado como modelo de señales físicas de "ruido blanco".
Por tanto, la mayoría de los autores definen la señal indirectamente especificando valores distintos de cero para las integrales de y en cualquier intervalo , en función de su ancho . En este enfoque, sin embargo, el valor deen un momento aislado no se puede definir como una variable aleatoria de valor real [ cita requerida ] . También la covarianza se vuelve infinito cuando ; y la función de autocorrelación debe definirse como , dónde es una constante real y es la "función" de Dirac .
En este enfoque, generalmente se especifica que la integral de durante un intervalo es una variable aleatoria real con distribución normal, media cero y varianza ; y también que la covarianza de las integrales , es , dónde es el ancho de la intersección de los dos intervalos . Este modelo se denomina señal (o proceso) de ruido blanco gaussiano.
Aplicaciones matemáticas
Análisis y regresión de series de tiempo
En estadística y econometría, a menudo se asume que una serie observada de valores de datos es la suma de una serie de valores generados por un proceso lineal determinista , dependiendo de ciertas variables independientes (explicativas) y de una serie de valores de ruido aleatorio. Luego, el análisis de regresión se utiliza para inferir los parámetros del proceso del modelo a partir de los datos observados, por ejemplo, mediante mínimos cuadrados ordinarios , y para probar la hipótesis nula de que cada uno de los parámetros es cero frente a la hipótesis alternativa de que no es cero. La prueba de hipótesis generalmente asume que los valores de ruido no están correlacionados entre sí con la media cero y tienen la misma distribución de probabilidad gaussiana; en otras palabras, que el ruido es blanco gaussiano (no solo blanco). Si existe una correlación distinta de cero entre los valores de ruido subyacentes a las diferentes observaciones, los parámetros estimados del modelo siguen siendo insesgados , pero las estimaciones de sus incertidumbres (como los intervalos de confianza ) estarán sesgadas (no serán precisas en promedio). Esto también es cierto si el ruido es heterocedástico , es decir, si tiene diferentes variaciones para diferentes puntos de datos.
Alternativamente, en el subconjunto de análisis de regresión conocido como análisis de series de tiempo, a menudo no hay variables explicativas que no sean los valores pasados de la variable que se modela (la variable dependiente ). En este caso, el proceso de ruido a menudo se modela como un proceso de promedio móvil , en el que el valor actual de la variable dependiente depende de los valores actuales y pasados de un proceso secuencial de ruido blanco.
Transformaciones vectoriales aleatorias
Estas dos ideas son cruciales en aplicaciones como la estimación de canales y la ecualización de canales en comunicaciones y audio . Estos conceptos también se utilizan en la compresión de datos .
En particular, mediante una transformación lineal adecuada (una transformación de coloración ), se puede usar un vector aleatorio blanco para producir un vector aleatorio "no blanco" (es decir, una lista de variables aleatorias) cuyos elementos tienen una matriz de covarianza prescrita . A la inversa, un vector aleatorio con una matriz de covarianza conocida se puede transformar en un vector aleatorio blanco mediante una transformación de blanqueamiento adecuada .
Generacion
El ruido blanco se puede generar digitalmente con un procesador de señal digital , microprocesador o microcontrolador . La generación de ruido blanco normalmente implica alimentar un flujo apropiado de números aleatorios a un convertidor de digital a analógico . La calidad del ruido blanco dependerá de la calidad del algoritmo utilizado. [22]
Ver también
Colores de ruido |
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blanco |
Rosa |
Rojo (browniano) |
Púrpura |
Gris |
- Teorema de Bochner-Minlos
- Ruido browniano
- Función delta de Dirac
- Ruido electronico
- Análisis de componentes independientes
- Ruido (física)
- Ruido (video)
- Análisis de componentes principales
- Enmascaramiento de sonido
- Ruido blanco (jerga)
Referencias
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La luz blanca es aproximadamente una mezcla igual de todas las frecuencias visibles de luz, lo cual fue demostrado por Isaac Newton.
- ^ Stein, Michael L. (1999). Interpolación de datos espaciales: alguna teoría para Kriging . Springer Series en Estadística. Saltador. pag. 40. doi : 10.1007 / 978-1-4612-1494-6 . ISBN 978-1-4612-7166-6.
El proceso generalizado más conocido es el ruido blanco, que puede considerarse como un tiempo continuo análogo a una secuencia de observaciones independientes e idénticamente distribuidas.
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