En física de partículas , materia atómica y condensada , un potencial Yukawa (también llamado potencial de Coulomb filtrado ) es un potencial de la forma
donde g es una constante de escala de magnitud, es decir, es la amplitud del potencial, m es la masa de la partícula, r es la distancia radial a la partícula y α es otra constante de escala, de modo quees el rango aproximado. El potencial aumenta monótonamente en r y es negativo, lo que implica que la fuerza es atractiva. En el sistema SI, la unidad del potencial Yukawa es (1 / metro).
El potencial de Coulomb del electromagnetismo es un ejemplo de un potencial Yukawa con elfactor igual a 1, en todas partes. Esto puede interpretarse en el sentido de que la masa del fotón m es igual a 0.
En las interacciones entre un campo de mesones y un campo de fermiones , la constante g es igual a la constante de acoplamiento de calibre entre esos campos. En el caso de la fuerza nuclear , los fermiones serían un protón y otro protón o un neutrón .
Historia
Antes del artículo de Hideki Yukawa de 1935, [1] los físicos lucharon por explicar los resultados del modelo atómico de James Chadwick , que consistía en protones y neutrones cargados positivamente dentro de un núcleo pequeño, con un radio del orden de 10-14 metros. . Los físicos sabían que las fuerzas electromagnéticas en estas longitudes harían que estos protones se repelen entre sí y que el núcleo se desintegre. [2] De ahí surgió la motivación para explicar con más detalle las interacciones entre partículas elementales. En 1932, Werner Heisenberg propuso una interacción "Platzwechsel" (migración) entre los neutrones y protones dentro del núcleo, en la que los neutrones eran partículas compuestas de protones y electrones. Estos neutrones compuestos emitirían electrones, creando una fuerza atractiva con los protones, y luego se convertirían en protones ellos mismos. Cuando, en 1933 en la Conferencia de Solvay , Heisenberg propuso su interacción, los físicos sospecharon que tenía dos formas:
debido a su corto alcance. [3] Sin embargo, hubo muchos problemas con su teoría. Es decir, es imposible que un electrón de espín1/2 y un protón de espín 1/2 para sumar al giro de neutrones de 1/2. La forma en que Heisenberg trató este tema pasaría a formar las ideas de isospin .
La idea de Heisenberg de una interacción de intercambio (en lugar de una fuerza de Coulombic) entre partículas dentro del núcleo llevó a Fermi a formular sus ideas sobre la desintegración beta en 1934. [3] La interacción neutrón-protón de Fermi no se basó en la "migración" de neutrones y protones entre sí. En cambio, Fermi propuso la emisión y absorción de dos partículas de luz: el neutrino y el electrón, en lugar de solo el electrón (como en la teoría de Heisenberg). Si bien la interacción de Fermi resolvió el problema de la conservación del momento lineal y angular, los físicos soviéticos Igor Tamm y Dmitri Ivaneko demostraron que la fuerza asociada con la emisión de neutrinos y electrones no era lo suficientemente fuerte como para unir los protones y neutrones en el núcleo. [4]
En su artículo de febrero de 1935, Hideki Yukawa combina la idea de la interacción de fuerzas de corto alcance de Heisenberg y la idea de Fermi de una partícula de intercambio para solucionar el problema de la interacción neutrón-protón. Dedujo un potencial que incluye un término de desintegración exponencial () y un término electromagnético (). En analogía con la teoría cuántica de campos , Yukawa sabía que el potencial y su campo correspondiente deben ser el resultado de una partícula de intercambio. En el caso de QED , esta partícula de intercambio era un fotón de masa 0. En el caso de Yukawa, la partícula de intercambio tenía algo de masa, que estaba relacionada con el rango de interacción (dado por). Dado que se conocía el rango de la fuerza nuclear, Yukawa usó su ecuación para predecir la masa de la partícula mediadora como aproximadamente 200 veces la masa del electrón. Los físicos llamaron a esta partícula el " mesón " , ya que su masa estaba en el medio del protón y el electrón. El mesón de Yukawa se encontró en 1947 y llegó a ser conocido como el pión . [4]
Relación con el potencial de Coulomb
Si la partícula no tiene masa (es decir, m = 0 ), entonces el potencial de Yukawa se reduce a un potencial de Coulomb, y se dice que el rango es infinito. De hecho, tenemos:
En consecuencia, la ecuación
se simplifica a la forma del potencial de Coulomb
donde establecemos la constante de escala en: [5]
En la Figura 2 se muestra una comparación de la fuerza potencial de largo alcance para Yukawa y Coulomb. Se puede ver que el potencial de Coulomb tiene efecto en una distancia mayor mientras que el potencial de Yukawa se acerca a cero con bastante rapidez. Sin embargo, cualquier potencial de Yukawa o potencial de Coulomb es distinto de cero para cualquier r grande .
Transformada de Fourier
La forma más fácil de entender que el potencial de Yukawa está asociado con un campo masivo es examinando su transformada de Fourier . Uno tiene
donde la integral se realiza sobre todos los valores posibles de los momentos k de 3 vectores . De esta forma, y estableciendo el factor de escala en uno,, la fracción se considera que es el propagador o función de Green de la ecuación de Klein-Gordon .
Amplitud de Feynman
El potencial de Yukawa se puede derivar como la amplitud de orden más bajo de la interacción de un par de fermiones. La interacción Yukawa acopla el campo fermión. al campo de mesones con el término de acoplamiento
La amplitud de dispersión de dos fermiones, uno con impulso inicial y el otro con impulso , intercambiando un mesón con momento k , viene dado por el diagrama de Feynman de la derecha.
Las reglas de Feynman para cada vértice asocian un factor de g con la amplitud; dado que este diagrama tiene dos vértices, la amplitud total tendrá un factor de. La línea del medio, que conecta las dos líneas de fermiones, representa el intercambio de un mesón. La regla de Feynman para un intercambio de partículas es utilizar el propagador; el propagador de un mesón masivo es. Por lo tanto, vemos que la amplitud de Feynman para este gráfico no es más que
En la sección anterior, se ve que esta es la transformada de Fourier del potencial Yukawa.
Autovalores de la ecuación de Schrödinger
La ecuación radial de Schrödinger con potencial de Yukawa se puede resolver de forma perturbativa. [6] [7] [8] ( cap. 16 ) Usando la ecuación radial de Schrödinger en la forma
y el potencial de Yukawa en la forma de poder expandido
y ambientación , se obtiene para el momento angular la expresion
por , dónde
Establecer todos los coeficientes excepto igual a cero, se obtiene la expresión conocida para el valor propio de Schrödinger para el potencial de Coulomb, y el número cuántico radial es un número entero positivo o cero como consecuencia de las condiciones de contorno que deben satisfacer las funciones de onda del potencial de Coulomb. En el caso del potencial Yukawa, la imposición de condiciones de frontera es más complicada. Así, en el caso de Yukawa es solo una aproximación y el parámetro que reemplaza el número entero n es realmente una expansión asintótica como la anterior con una primera aproximación del valor entero del caso de Coulomb correspondiente. La expansión anterior para el momento angular orbital o trayectoria de Regge puede invertirse para obtener los valores propios de la energía o de manera equivalente . Se obtiene: [9]
La anterior expansión asintótica del momento angular en poderes descendentes de también se puede derivar con el método WKB . En ese caso, sin embargo, como en el caso del potencial de Coulomb, la expresión en el término centrífugo de la ecuación de Schrödinger tiene que ser reemplazado por , como fue argumentado originalmente por Langer, [10] la razón es que la singularidad es demasiado fuerte para una aplicación sin cambios del método WKB . Que este razonamiento es correcto se sigue de la derivación WKB del resultado correcto en el caso Coulomb (con la corrección de Langer ), [8] ( p404 ) e incluso de la expansión anterior en el caso Yukawa con aproximaciones WKB de orden superior. [11]
Sección transversal
Podemos calcular la sección transversal diferencial entre un protón o neutrón y el pión haciendo uso del potencial Yukawa. Usamos la aproximación de Born , que nos dice que, en un potencial esféricamente simétrico, podemos aproximar la función de onda dispersa saliente como la suma de la función de onda plana entrante y una pequeña perturbación:
dónde es el impulso entrante de la partícula. La función es dado por:
dónde es el momento disperso saliente de la partícula y es la masa de las partículas entrantes (no confundir con masa del pión). Calculamos conectando :
Evaluar la integral da
La conservación de energía implica
así que eso
Conectándonos, obtenemos:
Así obtenemos una sección transversal diferencial de: [5]
Integrando, la sección transversal total es:
Ver también
- Interacción Yukawa
- Ecuación de Poisson filtrada
- Potencial de Bessel
Referencias
- ↑ Yukawa, H. (1935). "Sobre la interacción de partículas elementales". Proc. Phys. Matemáticas. Soc. Japón . 17 : 48.
- ^ Lincoln, Don (2004). Entendiendo el Universo: de los quarks al cosmos . Singapur: World Scientific. págs. 75 –78. ISBN 978-9812387035.
- ^ a b Miller, Arthur I. (1985). "Werner Heisenberg y el comienzo de la física nuclear". Física hoy . 38 (11): 60–68. Código bibliográfico : 1985PhT .... 38k..60M . doi : 10.1063 / 1.880993 .
- ^ a b Brown, Laurie M. (1986). "Hideki Yukawa y la teoría del mesón". Física hoy . 39 (12): 55–62. Código Bibliográfico : 1986PhT .... 39l..55B . doi : 10.1063 / 1.881048 .
- ^ a b Griffiths, David J. (2017). Introducción a la Mecánica Cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 415. ISBN 978-1-107-17986-8.
- ^ Müller, HJW (1965). "Regge-Pole in der nichtrelativistischen Potentialstreuung". Annalen der Physik (en alemán). 470 (7–8): 395–411. Código Bibliográfico : 1965AnP ... 470..395M . doi : 10.1002 / yp.19654700708 .
- ^ Müller, HJW; Schilcher, K. (febrero de 1968). "Dispersión de alta energía para potenciales Yukawa". Revista de Física Matemática . 9 (2): 255–259. doi : 10.1063 / 1.1664576 .
- ^ a b Müller-Kirsten, Harald JW (2012). Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria (2ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-9814397735.
- ^ Müller, HJW (1965). "Sobre el cálculo de las trayectorias de Regge en la dispersión potencial no relativista". Physica . 31 (5): 688–692. Bibcode : 1965Phy .... 31..688M . doi : 10.1016 / 0031-8914 (65) 90006-6 .
- ^ Langer, Rudolph E. (1937). "Sobre las fórmulas de conexión y las soluciones de la ecuación de onda". Revisión física . 51 (8): 669–676. Código Bibliográfico : 1937PhRv ... 51..669L . doi : 10.1103 / PhysRev.51.669 .
- ^ Boukema, JI (1964). "Cálculo de trayectorias Regge en teoría potencial por WKB y técnicas variacionales". Physica . 30 (7): 1320-1325. Bibcode : 1964Phy .... 30.1320B . doi : 10.1016 / 0031-8914 (64) 90084-9 .
Fuentes
- Brown, GE ; Jackson, AD (1976). La interacción nucleón-nucleón . Amsterdam: Editorial de Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0335-9.