Transformada Z

Para obtener el puntaje z estándar en estadísticas, consulte Puntaje estándar . Para la transformación z de Fisher en estadísticas, consulte Transformación de Fisher .

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada Z convierte una señal de tiempo discreto , que es una secuencia de números reales o complejos , en una representación compleja en el dominio de la frecuencia .

Puede considerarse como un equivalente en tiempo discreto de la transformada de Laplace . Esta similitud se explora en la teoría del cálculo de escala de tiempo .

Historia

Laplace conocía la idea básica ahora conocida como la transformada Z , y fue reintroducida en 1947 por W. Hurewicz ^{[1] [2]} y otros como una forma de tratar los sistemas de control de datos muestreados usados ​​con radar. Proporciona una forma manejable de resolver ecuaciones lineales en diferencias de coeficiente constante . Más tarde, Ragazzini y Zadeh la denominaron "la transformada z" en el grupo de control de datos muestreados de la Universidad de Columbia en 1952. ^{[3] [4]}

La transformación Z modificada o avanzada fue desarrollada y popularizada más tarde por EI Jury . ^{[5] [6]}

La idea contenida en la transformada Z también se conoce en la literatura matemática como el método de generación de funciones que se remonta a 1730 cuando fue introducido por De Moivre junto con la teoría de la probabilidad. ^[7] Desde un punto de vista matemático, la transformada Z también se puede ver como una serie de Laurent donde uno ve la secuencia de números bajo consideración como la expansión (de Laurent) de una función analítica.

Definición

La transformada Z se puede definir como una transformada de un lado o de dos lados . ^[8]

Transformada Z bilateral

La bilaterales o dos caras transformada Z de una señal discreta en el tiempo es la serie de poder formales definidos como${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

( Ecuación 1 )

donde es un número entero y es, en general, un número complejo :${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

donde es la magnitud de , es la unidad imaginaria y es el argumento complejo (también denominado ángulo o fase ) en radianes .${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \phi }$

Transformada Z unilateral

Alternativamente, en los casos en que se define sólo para , el de una sola cara o unilateral transformada Z se define como${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

( Ecuación 2 )

En el procesamiento de señales , esta definición se puede utilizar para evaluar la transformada Z de la respuesta de impulso unitario de un sistema causal de tiempo discreto .

Un ejemplo importante de la transformada Z unilateral es la función generadora de probabilidad , donde el componente es la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome el valor , y la función generalmente se escribe en términos de . Las propiedades de las transformadas Z (abajo) tienen interpretaciones útiles en el contexto de la teoría de la probabilidad.${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle s=z^{-1}}$

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa es

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$

( Ecuación 3 )

donde C es una trayectoria cerrada en sentido antihorario que rodea el origen y está completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso de que la ROC sea causal (ver Ejemplo 2 ), esto significa que la ruta C debe rodear todos los polos de .${\displaystyle X(z)}$

Un caso especial de esta integral de contorno ocurre cuando C es el círculo unitario. Este contorno se puede utilizar cuando la ROC incluye el círculo unitario, que siempre está garantizado cuando es estable, es decir, cuando todos los polos están dentro del círculo unitario. Con este contorno, la transformada Z inversa se simplifica a la transformada de Fourier de tiempo discreto inverso , o serie de Fourier , de los valores periódicos de la transformada Z alrededor del círculo unitario:${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}$

La transformada Z con un rango finito de ny un número finito de valores z uniformemente espaciados se puede calcular de manera eficiente mediante el algoritmo FFT de Bluestein . La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que no debe confundirse con la transformada de Fourier discreta (DFT), es un caso especial de dicha transformada Z obtenida al restringir z para que se encuentre en el círculo unitario.

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) es el conjunto de puntos en el plano complejo para el cual converge la suma de la transformada Z.

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Ejemplo 1 (sin ROC)

Sea x [n] = (0.5) ⁿ . Expandiendo x [n] en el intervalo (−∞, ∞) se convierte en

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Por tanto, no existen valores de z que satisfagan esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC se muestra en azul, el círculo unitario como un círculo gris punteado y el círculo | z | = 0.5 se muestra como un círculo negro punteado

Let (donde u es la función escalonada de Heaviside ). Expandiendo x [n] en el intervalo (−∞, ∞) se convierte en${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

La última igualdad surge de la serie geométrica infinita y la igualdad solo se cumple si | 0.5 z ⁻¹ | <1 que se puede reescribir en términos de z como | z | > 0,5. Por tanto, la República de China es | z | > 0,5. En este caso, la ROC es el plano complejo con un disco de radio 0,5 en el origen "perforado".

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC se muestra en azul, el círculo unitario como un círculo gris punteado y el círculo | z | = 0.5 se muestra como un círculo negro punteado

Let (donde u es la función escalonada de Heaviside ). Expandiendo x [n] en el intervalo (−∞, ∞) se convierte en${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

Usando la serie geométrica infinita , nuevamente, la igualdad solo se cumple si | 0.5 ⁻¹ z | <1 que se puede reescribir en términos de z como | z | <0,5. Por tanto, la República de China es | z | <0,5. En este caso, la ROC es un disco centrado en el origen y de radio 0,5.

Lo que diferencia este ejemplo del ejemplo anterior es solo la República de China. Esto es intencional para demostrar que el resultado de la transformación por sí solo es insuficiente.

Conclusión de ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada Z X (z) de x [n] es única cuando y solo cuando se especifica la ROC. La creación de la gráfica de polo cero para el caso causal y anticausal muestra que la ROC para cualquier caso no incluye el polo que está en 0.5. Esto se extiende a los casos con varios polos: la República de China nunca contendrá polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal produce una ROC que incluye | z | = ∞ mientras que el sistema anticausal en el ejemplo 3 produce una ROC que incluye | z | = 0.

ROC se muestra como un anillo azul 0.5 <| z | <0,75

En sistemas con múltiples polos es posible tener un ROC que no incluya ni | z | = ∞ ni | z | = 0. La República de China crea una banda circular. Por ejemplo,

${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}$

tiene polos en 0.5 y 0.75. La República de China será 0,5 <| z | <0,75, que no incluye ni el origen ni el infinito. Tal sistema se denomina sistema de causalidad mixta porque contiene un término causal (0.5) ⁿ u [ n ] y un término anticausal - (0.75) ⁿ u [- n −1].

La estabilidad de un sistema también se puede determinar conociendo solo la ROC. Si la ROC contiene el círculo unitario (es decir, | z | = 1), entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal (ejemplo 2) es estable porque | z | > 0.5 contiene el círculo unitario.

Supongamos que se nos proporciona una transformada Z de un sistema sin una ROC (es decir, una x [n] ambigua ). Podemos determinar un x [n] único siempre que deseemos lo siguiente:

• Estabilidad
• Causalidad

Para la estabilidad, la República de China debe contener el círculo unitario. Si necesitamos un sistema causal, entonces la ROC debe contener infinito y la función del sistema será una secuencia del lado derecho. Si necesitamos un sistema anticausal, entonces la ROC debe contener el origen y la función del sistema será una secuencia del lado izquierdo. Si necesitamos tanto estabilidad como causalidad, todos los polos de la función del sistema deben estar dentro del círculo unitario.

Entonces se puede encontrar la única x [n] .

Propiedades

Propiedades de la transformada z

	Dominio del tiempo	Dominio Z	Prueba	República de China
Notación	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}$
Linealidad	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Contiene ROC 1 ∩ ROC 2
Expansión del tiempo	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}}$ con ${\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}$	${\displaystyle X(z^{K})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}$
Ejecución	${\displaystyle x[Kn]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}$	ohio-state.edu   o   ee.ic.ac.uk
Tiempo de retardo	${\displaystyle x[n-k]}$ con y${\displaystyle k>0}$${\displaystyle x:x[n]=0\ \forall n<0}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}$	ROC, excepto z = 0 si k > 0 y z = ∞ si k <0
Avance de tiempo	${\displaystyle x[n+k]}$ con ${\displaystyle k>0}$	Transformada Z bilateral: $${\displaystyle z^{k}X(z)}$$ Transformada Z unilateral: [9] $${\displaystyle z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}}$$
Primera diferencia al revés	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$ con x [ n ] = 0 para n <0	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}$		Contiene la intersección de ROC de X 1 (z) y z ≠ 0
Primera diferencia adelante	${\displaystyle x[n+1]-x[n]}$	${\displaystyle (z-1)X(z)-zx[0]}$
Inversión del tiempo	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}$
Escalado en el dominio z	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}$
Conjugación compleja	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}$
Parte real	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$
Parte imaginaria	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$
Diferenciación	${\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$	ROC, si es racional;${\displaystyle X(z)}$ República de China posiblemente excluya el límite, si es irracional [10]${\displaystyle X(z)}$
Circunvolución	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Contiene ROC 1 ∩ ROC 2
Correlación cruzada	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}$		Contiene la intersección de ROC de y${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$${\displaystyle X_{2}(z)}$
Acumulación	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}$
Multiplicación	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}$		-

Teorema de Parseval

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Teorema del valor inicial : si x [ n ] es causal, entonces

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Teorema del valor final : si los polos de ( z −1) X ( z ) están dentro del círculo unitario, entonces

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Tabla de pares de transformadas Z comunes

Aquí:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

es la función de paso de la unidad (o Heaviside) y

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

es la función de impulso de la unidad de tiempo discreto (véase la función delta de Dirac, que es una versión de tiempo continuo). Las dos funciones se eligen juntas de modo que la función de paso unitario sea la acumulación (total acumulado) de la función de impulso unitario.

	Señal, ${\displaystyle x[n]}$	Transformada Z, ${\displaystyle X(z)}$	República de China
1	${\displaystyle \delta [n]}$	1	todo z
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
5	${\displaystyle nu[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
6	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
7	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
8	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
9	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
11	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
12	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
13	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
14	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
15	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
dieciséis	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
17	${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, para entero positivo [10]${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
18	${\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, para entero positivo [10]${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
19	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
20	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
21	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
22	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

Relación con la serie de Fourier y la transformada de Fourier

Artículo principal: Transformada de Fourier de tiempo discreto

Para los valores de en la región , conocida como círculo unitario , podemos expresar la transformación como una función de una única variable real, ω, definiendo . Y la transformación bilateral se reduce a una serie de Fourier :${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}$

( Ecuación 4 )

que también se conoce como la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia. Esta función periódica de 2 π es la suma periódica de una transformada de Fourier , lo que la convierte en una herramienta de análisis muy utilizada. Para entender esto, sea ​​la transformada de Fourier de cualquier función, cuyas muestras en algún intervalo, T , sean iguales a la secuencia x [ n ]. Entonces, la DTFT de la secuencia x [ n ] se puede escribir de la siguiente manera.${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}$

( Ecuación 5 )

Cuando T tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . La comparación de las dos series revela que     es una frecuencia normalizada con unidades de radianes por muestra . El valor ω = 2 π corresponde a Hz. Y ahora, con la sustitución, la   ecuación 4 se puede expresar en términos de la transformada de Fourier, X (•) :${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi fT}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {1}{T}}}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$ 

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}$

( Ecuación 6 )

A medida que cambia el parámetro T, los términos individuales de la ecuación 5 se alejan o se acercan más a lo largo del eje f. En Eq.6 Sin embargo, los centros permanecen 2 π aparte, mientras que sus anchuras se expanden o contraen. Cuando la secuencia x ( nT ) representa la respuesta al impulso de un sistema LTI , estas funciones también se conocen como su respuesta de frecuencia . Cuando la secuencia es periódica, su DTFT es divergente en una o más frecuencias armónicas y cero en todas las demás frecuencias. Esto a menudo se representa mediante el uso de delta de Dirac variante de amplitud${\displaystyle x(nT)}$funciona en las frecuencias armónicas. Debido a la periodicidad, solo hay un número finito de amplitudes únicas, que se calculan fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier (DFT), mucho más simple . (Ver DTFT § Datos periódicos ).

Relación con la transformada de Laplace

Transformada bilineal

Artículo principal: Transformada bilineal

La transformada bilineal se puede utilizar para convertir filtros de tiempo continuo (representados en el dominio de Laplace) en filtros de tiempo discreto (representados en el dominio Z) y viceversa. Se utiliza la siguiente sustitución:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

convertir alguna función en el dominio de Laplace en una función en el dominio Z ( transformación de Tustin ), o${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

del dominio Z al dominio de Laplace. Mediante la transformación bilineal, el plano s complejo (de la transformada de Laplace) se asigna al plano z complejo (de la transformada z). Si bien este mapeo es (necesariamente) no lineal, es útil porque mapea todo el eje del plano s sobre el círculo unitario en el plano z. Como tal, la transformada de Fourier (que es la transformada de Laplace evaluada en el eje) se convierte en la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto supone que existe la transformada de Fourier; es decir, que el eje está en la región de convergencia de la transformada de Laplace.${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$

Transformación destacada

Artículo principal: Transformación destacada

Dada una transformada Z unilateral, X (z), de una función muestreada en el tiempo, la transformada con estrella correspondiente produce una transformada de Laplace y restaura la dependencia del parámetro de muestreo, T :

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

La transformada de Laplace inversa es una abstracción matemática conocida como función muestreada por impulsos .

Ecuación de diferencia lineal de coeficiente constante

La ecuación de diferencia lineal de coeficiente constante (LCCD) es una representación de un sistema lineal basado en la ecuación de media móvil autorregresiva .

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}$

Ambos lados de la ecuación anterior se pueden dividir por α ₀ , si no es cero, normalizando α ₀ = 1 y la ecuación LCCD se puede escribir

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

Esta forma de la ecuación LCCD es favorable para hacer más explícito que la salida "actual" y [n] es una función de las salidas pasadas y [n − p] , la entrada actual x [n] y las entradas anteriores x [n− q] .

Función de transferencia

Tomando la transformada Z de la ecuación anterior (usando las leyes de linealidad y cambio de tiempo) se obtiene

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

y reorganizar los resultados en

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Ceros y polos

Del teorema fundamental del álgebra, el numerador tiene M raíces (correspondientes a ceros de H) y el denominador tiene N raíces (correspondientes a polos). Reescribiendo la función de transferencia en términos de ceros y polos

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}$

donde q _k es el k -ésimo cero y p _k es el k -ésimo polo. Los ceros y los polos son comúnmente complejos y cuando se grafican en el plano complejo (plano z) se llama gráfico de polo cero .

Además, también pueden existir ceros y polos en z = 0 y z = ∞. Si tomamos en consideración estos polos y ceros, así como los ceros y polos de orden múltiple, el número de ceros y polos es siempre igual.

Al factorizar el denominador, se puede utilizar la descomposición de fracciones parciales , que luego se puede transformar de nuevo al dominio del tiempo. Hacerlo daría como resultado la respuesta al impulso y la ecuación de diferencia de coeficiente constante lineal del sistema.

Respuesta de salida

Si tal sistema H (z) es impulsado por una señal X (z) entonces la salida es Y (z) = H (z) X (z) . Al realizar la descomposición de fracciones parciales en Y (z) y luego tomar la transformada Z inversa, se puede encontrar la salida y [n] . En la práctica, a menudo es útil descomponer fraccionalmente antes de multiplicar esa cantidad por z para generar una forma de Y (z) que tenga términos con transformadas Z inversas fácilmente computables.${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$

Ver también

• Transformada Z avanzada
• Transformada bilineal
• Ecuación de diferencia (relación de recurrencia)
• Convolución discreta
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Respuesta de impulso finito
• Serie de poder formal
• Función generadora
• Generando transformación de función
• Transformada de Laplace
• Serie Laurent
• Función generadora de probabilidad
• Transformación de estrella
• Transformación Zak
• Regularización de la función Zeta

Referencias

1. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencias de tiempo en geofísica . Universidad de Alberta. págs. 186, 249. ISBN 978-0-88864-074-1.
2. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencias de tiempo en geofísica (3ª ed.). Universidad de Alberta. págs. 185-186. ISBN 978-0-88864-074-1.
3. Ragazzini, JR; Zadeh, LA (1952). "El análisis de sistemas de datos muestreados". Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, Parte II: Aplicaciones e Industria . 71 (5): 225–234. doi : 10.1109 / TAI.1952.6371274 . S2CID 51674188 . 
4. Cornelius T. Leondes (1996). Implementación de sistemas de control digital y técnicas computacionales . Prensa académica. pag. 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
5. Jurado de Eliahu Ibrahim (1958). Sistemas de control de datos muestreados . John Wiley e hijos.
6. Jurado de Eliahu Ibrahim (1973). Teoría y aplicación del método Z-Transform . Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.
7. Jurado de Eliahu Ibrahim (1964). Teoría y aplicación del método Z-Transform . John Wiley e hijos. pag. 1.
8. Al igual que tenemos la transformada de Laplace de un lado y la transformada de Laplace de dos lados .
9. Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (en italiano). Educación de MC Graw Hill. ISBN 978-88-386-6882-1.
10. A. R. Forouzan (2016). "Región de convergencia de la derivada de la transformada Z". Cartas de electrónica . 52 (8): 617–619. doi : 10.1049 / el.2016.0189 .

Lectura adicional

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X . 
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5 . 
• Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto, segunda edición, serie de procesamiento de señales de Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 . 

Enlaces externos

• "Transformada Z" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Inversión numérica de la transformada Z
• Tabla de transformación Z de algunas transformadas de Laplace comunes
• Entrada de Mathworld sobre la transformación Z
• Hilos de transformación Z en Comp.DSP
• Un gráfico de la relación entre el plano s de la transformada de Laplace y el plano Z de la transformada Z
• Una explicación en video de Z-Transform para ingenieros
• ¿Qué es la transformación z?